2021届高考二轮复习数学专题训练：立体几何（2018-2020年全国卷高考题选）

2018-2020年高考全国卷数学之立体几何专题训练

一.选择题（共13小题）

1.（2018•新课标I）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M

在正视图上的对应点为4,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧

面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

A.2717B.2MC.3D.2

2.（2018•新课标III）设4,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，△4BC为等边

三角形且面积为9«,则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）

A.12匾B.18aC.24V3D.54^/3

3.（2020•新课标I）已知4,B,C为球O的球面上的三个点，。01为/XABC的外接圆.若

001的面积为4n,AB=BC=AC=OO\,则球。的表面积为（）

A.64nB.48nC.36nD.32n

4.（2020•新课标I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四

棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其

侧面三角形底边上的高与底面上方形的边长的比值为（）

5.（2020•新课标H）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图

中对应的点为M,在俯视图中对应的点为M则该端点在侧视图中对应的点为（）

A.EB.FC.GD.H

6.（2020•新课标IH）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A.6+4V2B.4+4及C.6+2近D.4+2近

7.（2020•新课标II）已知aABC是面积为2匹的等边三角形,

且其顶点都在球O的球面

4

上.若球O的表面积为16n,则O到平面A8C的距离为（）

A.V3B.旦C.1D.取

22

8.（2019•新课标I）已知三棱锥尸・ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC,△

ABC是边长为2的正三角形，E,尸分别是外，月8的中点，ZCEF=90°,则球。的体

积为（）

A.8A/6^B.4^6^C.D.V&r

9.（2019•新课标IH）如图，点N为正方形A8CO的中心，AECD为正三角形,平面EC。

_L平面ABC。，M是线段E£＞的中点，贝I］（）

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BMWEN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,是异面直线

D.BM手EN,且直线BM,EN是异面直线

10.（2019•全国）正三棱锥尸-ABC的侧面都是直角三角形，E,尸分别是AB,8c的中点,

则PB与平面PE产所成角的正弦为（）

A.返B.返C.返D.返

6633

11.（2019•全国）经过点（1,-1,3）且与平面2x+y・z+4=0平行的平面方程为（）

A.2x+y-z+2=0B.2x+y+z-6=0C.2x+y+z-4=0D.2x+y-z-3=0

12.（2018•新课标II）在正方体ABCZ）-4BICIDI中，E为棱CCi的中点，则异面直线AE

与CQ所成角的正切值为（）

A.返B.返C.逅D.2ZZ

2222

13.（2018•新课标I）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，

则a截此正方体所得截面面积的最大值为（）

A.逗B.c.3V20.运

4342

二.填空题（共10小题）

14.（2018•全国）已知三棱锥O-A8C的体积为1,Ai、Bi、。分别为04、OB、OC的中

点，则三棱锥O-A\B\C\的体积为.

15.（2018•全国）长方体A3C£）-48ICIOI,AB=AD=4,A4i=8,E、F、G为A3、4Bi、

0G的中点，以为4D1上一点，则Ai〃=l,求异面直线FH与EG所成角的余弦值.

16.（2020•新课标I）如图，在三棱锥的平面展开图中，AC=\,AB=AD=^3,

AB_LAC,ABA.AD,ZCAE=30°，则cos/产CB=.

17.（2020•新课标I）设向量a=（1，-1），b=（6+1，2/n-4）,若a-Lb»则m=.

18.（2020•新课标HI）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的

体积为.

19.（2019•新课标I）已知N4CB=90°,P为平面ABC外一点，尸C=2,点尸到NACB

两边AC,的距离均为“，那么P到平面48c的距离为.

20.（2019•新课标H）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多

为长方休、正方体或圆柱休，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面休”（图

1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学

的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面

上，且此正方体的棱长为I.则该半正多面体共有个面，其棱长为.

图1图2

21.（2019•新课标HI）学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型为

长方体ABCD-AiB\CiD\挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中

心，E,F,G,〃分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4i=4cw.3Q打印所用原料密

度为0.9嫄自不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.

22.（2019•全国）已知平面a截球。的球面所得圆的面积为m。到a的距离为3,则球O

的表面积为.

23.（2018•新课标H）已知圆锥的顶点为S,母线SA,58互相垂直，SA与圆锥底面所成角

为30°.若ASAB的面积为8,则该圆锥的体积为.

三.解答题（共17小题）

24.（2018•新课标I）如图，在平行四边形4BCM中，AB=AC=3,NACM=90°,以AC

为折痕将△ACM折起，使点M到达点。的位置，且A8_LD4.

(1)证明：平面AC0_L平面人BC；

(2)Q为线段AD上一点，尸为线段8C上一点，且BP=OQ=~|OA,求三棱锥Q-4BP

的体积.

25.(2020•新课标I)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE

=AD./XABC是底面的内接正三角形，P为OO上一点，PO=^-DO.

6

(1)证明："1_L平面PBC；

(2)求二面角8-PC-E的余弦值.

26.(2020•新课标I)如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内

接正三角形，P为DO上一点,ZAPC=90°.

(1)证明：平面以B_L平面朋C；

(2)设。。=加,圆锥的侧面积为标，求三棱锥尸-A8C的体积.

D

27.(2020•新课标H)如图，已知三棱柱ABC-A\B\C\的底面是正三角形，侧面BBiCiC

是矩形，M,N分别为BC,BiCi的中点，尸为AM上一点.过81cl和P的平面交48于

E,交AC于尸.

(1)证明：M/IMN,且平面Ai4MN_L平面尸;

(2)设。为△481。的中心.若40〃平面EBiCiF,且40=48,求直线BE与平面

A1AMN所成角的正弦值.

B

28.(2020•新课标ffl)如图，在长方体中,点E,F分别在棱DDi,BBi

上，且2。七=瓦力，BF=2FB\.

(1)证明：点Cl在平面AE尸内;

(2)若48=2,AD=\,A4=3,求二面角A-E尸-4的正弦值.

c

B

/\

29.(2020•新课标III)如图，在长方体ABCD・4DCiDi中,点、E,尸分别在棱。Oi,BB\

上，且2OE=EOi,BF=2FBi.证明：

(1)当AB=BC时，E/_LAC；

(2)点Ci在平面AEF内.

二C|B

AA

30.（2020•新课标II）如图，已知三棱柱ABC-A\B\C\的底面是正三角形，侧面BB\C\C

是矩形，M,N分别为8C,BiCi的中点，尸为AM上一点.过与。和P的平面交4B于

E,交AC于2.

(1)证明：AA\//MN,且平面4AMN_L平面E81C1R

(2)设O为△481。的中心.若AO=AB=6,AO〃平面EBiCiH且NMPN=』_,求

3

四棱锥B-EBiC1的体积.

B

31.(2019•新课标I)如图，直四棱柱ABCD-48C1D1的底面是菱形，A4=4,AB=2,

NB4O=60°，E,M,N分别是BC,BB\,4。的中点.

(1)证明：MN〃平面ClDE：

(2)求点C到平面CiOE的距离.

32.(2019•新课标I)如图，直四棱柱A8CO-48iCiOi的底面是菱形，A4i=4,AB=2,

NB4Z)=60°,E,M,N分别是BC,BBT,4。的中点.

(1)证明：MN〃平面CiDE；

(2)求二面角A-M41-N的正弦值.

33.(2019•新课标H)如图，长方体A8CQ-4B1C15的底面48CO是正方形，点石在棱

AA\±,BELECx.

(1)证明：BE_L平面EBi。；

(2)若4E=4E,求二面角8-EC-Ci的正弦值.

34.(2019•新课标H)如图，长方体48。。-4181。。的底面48。。是正方形，点£：在棱

M上，BE±EC\,

(1)证明：8E_L平面EB\Ci；

(2)若AE=4E,AB=3,求四棱锥E-881。。的体积.

35.(2019•新课标HI)图1是由矩形AOEB、Rt/XABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，

其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°.将其沿AB,8C折起使得8E与8尸重合，连

结OG,如图2.

图2

(1)证明：图2中的4,C,G,。四点共面，且平面4BC_L平面BCGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

36.(2019•新课标IH)图1是由矩形AOEB,RlAABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，

其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°.将其沿A8,8c折起使得BE与B尸重合，连

结OG,如图2.

GB

图1图2

（1）证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC_L平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGZ）的面积.

37.（2018•新课标H）如图，在三棱锥P-A8C中，AB=BC=2®,M=PB=PC=AC=4,

。为AC的中点.

（1）证明：PO_L平面A8C；

（2）若点M在棱8c上，且MC=2MB,求点。到平面POM的距离.

38.（2018•新课标川）如图，矩形A8CO所在平面与半圆弧面所在平面垂直，M是而卜.异

于C,。的点.

（1）证明：平面AMD_L平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P,使得MC〃平面PB。？说明理由.

39.（2018•新课标I）如图，四边形A8CO为正方形，E,尸分别为AD,8c的中点，以

力产为折痕把△。尸。折起，使点C到达点P的位置，且PFLBF.

（1）证明：平面PE凡L平面4BFO；

（2）求OP与平面ABFO所成角的正弦值.

40.（2018•新课标II）如图，在三棱锥尸-ABC中，AB=BC=2^PA=PB=PC=AC=4f

。为AC的中点.

（1）证明：PO_L平面ABC；

（2）若点M在棱8c上，且二面角M-B4-C为30°,求PC与平面以M所成角的正

弦值.

AC

B

答案

一.选择题（共13小题）

1.【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16,高为：2,

直观图以及侧面展开图如图：

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此I员I柱侧面上，从M到N的路径中,

最短路径的长度：亚可不=2遥.

故选：B.

2.【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为外丙，可得牛XAB2=9«，解得A8=6,

球心为0,三角形ABC的外心为O',显然。在O'0的延长线与球的交点如图：

°,。=鼠率义6=2a,00'=次-（2/产2,

则三棱锥。-ABC高的最大值为：6,

则三棱锥。・ABC体积的最大值为：J^x^X63=18V3.

34

故选：B.

D

3.【解答】解：由题意可知图形如图：。。的面积为4m可得。A=2,则

-^4Oi=45sin60°,=^"AB，

2212

：.AB=BC=AC=00\=2a,

外接球的半径为：R=JAO[2+00]2=4,

球。的表面积：4XTrX42=64n.

故选：A.

4.【解答】解：设正四棱锥的高为心底面边长为〃，侧面三角形底边上的高为/?'

I，2/

h丁ah

则依题意有：］,

h2=h'2-（1）2

因此有〃2_（2）2=工力’=4（直一）2-2（&-）-1=0=宜一=逅±1（负值二

22aaa44

舍去）;

故选：C.

5.【解答］解：根据几何体的三视图转换为直观图:

如图所示:

根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对

应的点为M，在俯视图中对应的点为M

所以在侧视图中与点E对应.

故选：A.

6.【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是正方体的一个角，如图:

R\=AB=AC=2,PA.AB.AC两两垂直，

故PB=BC=PC=2近,

几何体的表面积为：3x/x2X24gx(2V2)2=6+2V3»

故选：C.

7.【解答】解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为2匹的等边三角形，可得

4

：.AB=BC=AC=3,

可得：40|=高义坐'3=次，

32

球。的表面积为16K,

外接球的半径为：R；所以4TTR2=I6TT,解得R=2,

所以0到平面A5C的距离为：V4Z3=1.

故选：C.

8.【解答］解：如图,

由以=P8=PC,ZXABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P-A8C为正三棱锥,

则顶点P在底面的射影Oi为底面三角形的中心，连接8。并延长，交AC于G,

则ACJ_BG,又PQ_LAC,PO}QBG=O\,可得ACJ•平面尸8G,贝ljP8_LAC,

VE,产分别是小,A4的中点，:.EF//PB,

又NCE尸=90°,即E/LLCE,・••尸8_LCE,得PB_L平面B4C,

:.正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直,

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径为^=7PA2+PB2+PC2=^-(PA2+PB2+PB2+PC2+PA2+PC2)

=^-(AB2+BC2+AC2)=^1(22+22+22)=V6.

半径为返，则球0的体积为匡冗X(坐)3=7^加

232

故选：。.

9.【解答】解：•・•点N为正方形ASCO的中心，△EC。为正三角形，平面ECD_L平面A8CO,

M是线段石。的中点，

••・SMu平面ENU平面BDE,

••,3M是七中。上边上的中线，EN是△4。£中8。边上的中线，

，直线BM,EN是相交直线,

22

设。E=a,则8。=6a,BE=^_a4^_a=V2

:・BM=^~a,EN=

2

:.BM于EN,

故选：B.

10•【解答】解：•・•正三棱锥尸-ABC的侧面都是直角三角形，E,/分别是AB,BC的中点,

，以P为原点，以为x轴，PB为y轴，尸C为Z轴，建立空间直角坐标系，

设附=PB=PC=2,

则A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1),

PB=(0,2,0),PE=(1,1，0),PF=(0,1,1),

设平面尸石尸的法向量三=(x,y,z),

则二•回=x+y=0,取尸1,得；=(1,-1,1),

n*PF=y+z=0

设PB与平面PE”所成角为0,

:.PB与平面PE尸所成角的正弦值为返.

3

故选：C.

11.【解答】解：设与平面2x+y-z+4=0平行的平面方程为2r+y-z+-0,

代入点(1,-1,3),得2X1・1-3+-0,解得左=2,

则所求的平面方程为2x+y-z+2=0.

故选：A.

12.【解答］解以。为原点，D4为x轴，OC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体ABCD-A\B\C\D\棱长为2,

则A(2,0,0),E(0,2,1),D(0,0,0),

C(0,2,0),

AE=(-2,2,1),CD=(0，-2,0),

设异面直线AE与CD所成角为6,

|标•亘|==

则cos0=4-2

lAEl-ICDlV9-23,

sin0==V5

3

/.tan0=^^.

2

・•・异面直线4E与8所成角的正切值为逅.

2

13.【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面a所

成的角都相等，如图：所示的卫六边形平行的平面，并且正六边形时，a截此正方体所

得截面面积的最大，

此时正六边形的边长返,

2

a截此正方体所得截面最大值为：6X亨x（喙）2=孥.

二.填空题（共10小题）

14.【解答】解：如图,

•••4、Bi.a分别为。4、OB、OC的中点,

AAAifiiCi^AAfiC,则SA40

△/BD：Ci

过。作OGJ•平面ABC,交平面A由Ci于Gi,贝iJoG］』OG.

2

一V三棱锥AAiBiJ卷SjBiC1秘

1„1

=京％-ABC宕

故答案为：工.

15.【解答】解：•・•长方体ABC。-AiBiOOi,AB=AD=4,A4i=8,

E、F、G为A3、AiBi.£>£h的中点,

〃为上一点，则4〃=1,

，以。为原点，OA为x轴，DC为)，轴，。。为z轴，建立空间直角坐标系,

F(4,2,8),H(3,0,8),E(4,2,0),

G(0,0,4),

而=(-1,-2,0),EG=(-4,-2,4),

设异面直线FH与EG所成角为0,

则cosg.二•殴J=越.

IFHI•IEGIV5-V3615

故答案为：性匹.

15

16.【解答】解：由已知得8。=扬B=加，BC=2,

因为。、E、尸三点重合，所以4E=AO=“，BF=BD=4^B=M，

则在△ACE中，由余弦定理可得。炉=4。2+人炉-2AC・AE・cos/CAE=l+3-2V3X—

2

所以CE=CF=1,

则在△BCP中，由余弦定理得COSNFC8=BC2JF2BF2=1+4.6=-1,

2BC-CF2X1X24

故答案为：■工.

4

17.【解答】解：向量Z=(1,-1),b=(〃?+1，2〃[-4),若

则a*b=w+l-(2/M-4)="〃?+5=0,

则机=5,

故答案为：5.

18.【解答】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球,

如图，圆锥母线BS=3,底面半径8C=1,

则其高SC=dBS2-BC2=

不妨设该内切球与母线8S切于点。，

令OO=OC=r,由△SOOs/^SBC,则型=匹，

OSBS

即一7s—=—,解得r=Y0,

2V2-r32

V=—nr?=^^.ir,

33

故答案为：返m

3

s

19.【解答】解：NACB=90°,P为平面48c外一点，PC=2,

点P到NAC8两边AC,BC的距离均为“，

过点尸作尸。J_AC,交4c于以，作尸忙L6C’,交.BC于E,

过P作PO_L平面ABC,交平面A4C于。，

连结OD,0C,则PD=PE=M，

••由题意得CD=CE=0D=0E=J22一，

22=

P。=VPD-OD”3T=V2-

・・・P到平面ABC的距离为证.

故答案为；V2.

B

20.【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2=26个面，设其棱长为",则x+亚i+®=l,

22

解得“—1.

故答案为：26,V2~1-

21.【解答］解：该模型为长方体A3CO-48ICIOI,挖去四棱锥。-EFGH后所得的几何

体，其中。为长方体的中心，

E,F,G,H,分别为所在棱的中点,AB=BC=6cmfAAi=4cmt

・••该模型体积为：

VATCD-AIB】CIDJ"C

=6X6X4-Ax(4X6-4XyX3X2)X3

=144-12=132(cm3),

V3D打印所用原料密度为0.90MA不考虑打印损耗，

，制作该模型所需原料的质量为：132X0.9=118.8(g).

故答案为：118.8.

Ci

22.【解答】解：,・•平面a截球。的球面所得圆的面积为n,则圆的半径为1,

该平面与球心的距离d=3,

・.・球半径氏二小吊=倔.

二.球的表面积5=4TT7?2=40H.

故答案为：401r.

23.【解答】解：圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直，ASAB的面积为8,可得：1SA2=8»

2

解得SA=4,

SA与圆锥底面所成角为30°.可得圆锥的底面半径为：2“，圆锥的高为：2,

则该圆锥的体积为：丫=工乂兀X（2«）2X2=8m

3

故答案为：87r.

三.解答题（共17小题）

24.【解答】解：（1）证明：•・•在平行四边形A3CM中，ZACM=90°,/.AB±AC,

又A8_LOA.且AOHAC=A,

ADC,VAficfflABC,

工平面ACDJ•平面ABC；

(2)*：AB=AC=3,NACM=90°,：.AD=AM=3^2t

，BP=DQ=^DA=2血,

由(1)得QC又DCLCA,・・・OC_L而ABC

・•・三棱锥。-A3P的体积V=lSAABpX-^DC

=1X9x11211

7fsAABCjDC=fx|x|x3X3x1x3=l-

25.【解答】解：（1）不妨设圆。的半径为\,OA=OB=OC=\,AE=AD=2,AB=BC=AC=V3,

D0=VDA2-0A2=V3,PO;

PA=PB=PC=7PO2+AO2=率

在△阴。中，R\2+PC2=AC2,故杼1_LPC,

同理可得以，?8,又PBDPC=P

故以J_平面PBC；

（2）建立如图所示的空间直隹坐标系,

则有,，0)9C(~^^,-y,0),P(0,o,E(0,1，0)，

乙乙乙乙乙

故正=(飞，o,0),CE=(^-,y,0),CP=

设平面PCE的法向量为\=（x,y,z），

n*CE=0汨

则由,一一,得，，取x=l,则丫=飞巧，z=-泥,

V31.加

n*CP=0三可亍二°

所以平面PCE的法向量为\=（1,-如，-氓）,

由（1）可知见_L平面尸8C,不妨取平面PBC的法向量为薪=（0,1,

故cos8二回回心&即二面角8-PC-E的余弦值为空£.

IPAIInI55

26.【解答】解：（1）连接OA,OB,OC,ZXABC是底面的内接正三角形,

所以4B=8C=AC.

。是圆锥底面的圆心，所以：OA=OB=OC,

所以AP=BP=CP=OA^+OP1=O^+OP2=Od+OA,

所以△APBg△BPC丝△APC,

由于NAPC=90°,

所以NAPB=NBPC=90°,

所以CPLBP,

由于APCCP=P,

所以3P_L平面4PC,

由于8Pu平面PAB,

所以：平面以3_L平面以C.

（2）设圆锥的底面半径为〃圆锥的母线长为/,

所以］

由于圆锥的侧面积为«TT,

所以兀・r・d^=/§兀，整理得（尸+3）（人1）=0,

解得r=1.

所以AB=J1+1-2XIXIX（二）=

由于人户+^户二人广，解得

财Vp-ABC^X/X

27.【解答】解：（1）证明：・・・M,N分别为5C,出。的中点，底面为正三角形,

:,B\N=BM,四边形3B1NM为矩形,AiNXBiCb

:・BBi〃MN,yAAi//BB\,：,AA\//MNf

•：MN上BTCI,4N_LBi。，MNCAtN=N,

，8ICI_L平面41AMM

・・・BCiu平面EB\C\Ft

・•・平面AiAMN_L平面EB\C\F,

综上，AA\//MN,且平面AiAMALL平面E61C1P.

（2）解：:三棱柱上下底面平行，平面E81C）与上下底面分别交于8i。，EF,

：.EF//B\C\//BC,

••'AO〃面EB1C1F,AOu面AMMAi,而AMN4n面硝|C|F=PN,

：,AO//PN,四边形4PN0为平行四边形，

是正三角形的中心，AO=AB,

:・A\N=3ON,AM=3AP,PN=BC=BiCi=3EF,

由（1）知直线加E在平面AMMN内的投影为PN,

直线加七与平面A\AMN所成角即为等腰梯形EFC\B\中BiE与PN所成角,

在等腰梯形EFCiBi中，令E/=l,过E作EH_181cl于H,

,

则PN=BiCi=EH=3,B\H=\,B1E=V1O

BiHV10

sinNBiE"=」一=丫^,

BtE10

:.直线以E与平面4AMN所成角的正弦值为叵.

10

28.【解答】（1）证明：在44上取点M,使得4M=2AM,连接EM,BiM,ECi,FC\,

在长方体ABC。-AiBCiDi中，有£)DI〃A4I〃8BI,且ODi=A4i=88i.

又2DE=EDi,4M=2AM,BF=2FBif：.DE=AM=FB\.

:.四边形B\FAM和四边形EDAM都是平行四边形.

：.AF//MB\,且AD//ME,且

又在长方体A5C£>・A】BCiDi中,有AQ〃8i。，且AO=Bi。，

:.BiCi〃ME且B\C\=ME,贝!四边形BiCiEM为平行四边形，

:・EC\〃MB\,且ECi=M8i,

又AF〃MB\,RAF=MB\,：,AF//EC\,且A〃=ECI,

则四边形AFCiE为平行四边形，

，点C1在平面4E“内；

(2)解：在长方体ABC。-AIBICIDI中，以。为坐标原点，

分别以C1O1,CiBi,CC所在直线为-y,z轴建立空间直角坐标系.

'：AB=2,AO=1,A4i=3,2DE=EDi,BF=2FB\,

：.A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A\(2,I,0),

则而=(-2,1,-1>AE=(0,-1,T>A[E=(0,-1,2)-

设平面AE尸的一个法向量为£=(x,,,).

▲\人］，vJIAZ-1I/

n1*EF=-2xi+y1-Zi=0

则_______，取用=1，得五=(1,1,-1)；

*AE=-ypzj=0

设平面41E尸的一个法向量为他，,，丫2，工2>

n•EF=-2xo+y-Z2=0

则「2一9、取屹=1，得石=(1,4,2)-

F+

n2A1E=-y22z2=0

nrn21+4-2V7

cos<TT*>=

nn

l，2|£|•忘|百技I'

设二面角A-E尸-4为6,则sin0=jT=2Z^.

・•・二面角A-EF-A］的正弦值为逗.

7

29.【解答】解：(I)因为ABCD-AiBiCiOi是长方体，所以BBi_L平面A3CO,而ACu平

面A8CO,所以ACLBB1,

因为ABCO-A181。。是长方体，且AB=8C,所以A8C。是正方形，所以AC_LBO,

又BDCBBi=B.

所以ACL平面8物。。，又因为点E,F分别在棱。Qi,BBi上,所以EFu平面BBiDiD,

所以E〃_LAC.

(2)取441上靠近4的三等分点M,连接DM,CiF,MF,C\E.

因为点E在。9，且2OE=EDi,所以EO〃AM,且EDi=AM,

所以四边形AEQ1M为平行四边形，所以。1M〃AE,且OiM=4E,

又因为尸在881上，且BF=2FBi,所以尸Bi,且AiM=FBi,

所以A/iFM为平行四边形，

所以FM〃4iBi,FM=A\B\,即FM〃CiOi,FM=C\D\,

所以C1Q1M/为平行四边形,

所以D1M〃C1F,

所以4E〃。扛所以A,E,F,。四点共面.

所以点C1在平面AE尸内.

30.【解答】证明：（1）由题意知A4i〃B8i〃CCi,

又•・,侧面BB1C1C是矩形且M,N分别为BC,8心的中点,

:.MN〃BB\,BBTLBC,

・・・MN〃A4,MNLB\C\,又底面是正三角形，

・・・AM_L8C,AiNLBiCi,

又・.・MNnAM=M,・・・81。_1平面人法用乂

・・・8iC】u平面EB\C\F,

工平面44MN_L平面EB\C\F,

解：（2）;A。〃平面EBiCiF,AOu平面AiAMN,

平面4AMNA平面£物。尸=〃P，：,AO//NP,

•：NO〃AP,：.A0=NP=6,

•・・0为△48C1的中心，

.•，OAr=JL4iCisin60°=Ax6X零“，

332

：.0N=AP=y/~3^

：.AM=3AP=3^J~3f

过M作M”_LNP,垂足为“，

•：平面4AMN_L平面破1C1F,平面AiAMND平面E8ICIF=NRM”u平面A14MM

AMHI平面EWiCiF.

•・•在等边三角形中国2=£,

BCAM

即所=更呢=返*=2,

AM3>/3

由(1)可知四边形E8i。尸为梯形，

・•・四边形EBiCi尸的面积为5四边形EB©F=』(BICI+EF)・NP=L(6+2)X6=24,

1122

•・•MP=2・AM=2X3相=2a，

33

,:ZMPN=2L,：.MH=MPsinZMPN=273X堂=3,

AVnLCcL=Z四边形EB,C,F・MH=1X24X3=24・

"B-EB'iF3113

31.【解答】解法一：

证明：（1）连结8iC,ME,YM,E分别是B81,8C的中点，

：.ME//BiCt又N为4。的中点，：,ND=X\iD,

2

由题设知AiBiI）DC,：,B\CpiD,；・MERND,

・•・四边形MNDE是平行四边形，

MN//ED,

又MMt平面ClDE,〃平面CiDE.

解：（2）过。作OE的垂线，垂足为“，

由已知可得OE_L8C,DE±C1C,

平面CiCE,itlDElCH,

・・・C”_L平面CiDE,故CH的长即为C到平面C\DE的距离，

由已知可得CE=1,CCi=4,

ACIE=V17»故CH=

・••点C到平面CiDE的距离为2垣.

17

解法二：

证明：（1）•・•直四棱柱A8CO-A/1。。的底面是菱形，

A4=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分别是BC,BBT,4。的中点.

・・・DO1_L平面ABC。，DE1AD,

以。为原点，DA为工轴，。七为），轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

M（1,圾,2）,N（1,0,2〕，D（0,0,0）,E（0,圾,0）,Ci（-1,匾，4）,

m=(0,-V3»0),DC^=(-1,V3，4),DE=(0,V3»0),

设平面C10E的法向量二=(x，y，z),

n•DCi=-x+V3y+4z=0

则_____1,

n・DE=V5y=0

取z=l,得r)=(4,0,1),

VMN-n=0,MMt平面CiOE,

・•・MN〃平面C\DE.

解：(2)C(-1,V3»0),DC=(-1,V3>0)，

平面CiDE的法向量；=(4,0,1),

:.点C到平面ClDE的距离：

|DC-n|-4.4/17

32.【解答】（1）证明：如图，过N作NHLAD,则M7〃A4i,且

2

又M8〃/L4i,，，四边形NMB”为平行四边形，MNM//BH,

21

由N〃〃A4i,N为4。中点，得”为A。中点，而E为8C中点，

:.BE//DH,BE=DH,则四边形为平行四边形，则

:・NM〃DE,

VC\DE,O£u平面ODE,

•'MN〃平面CiDE；

（2）解：以。为坐标原点，以垂直于OC得直线为x轴，以0c所在直线为），轴，以

DD\所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则N（返，二,2）,M（谯,1,2）,Ai（V3»7,4）,

22

而二（零,0），NAJ=（^-，2），

设平面4MN的一个法向量为%=（x,y,z），

m•NMx-^y=O

由，__fz]'取x=&，得m=(«,-1,-1),

m・NA]=~^-x^y+2z=0

又平面MA4的一个法向量为\=(i,0,0)，

・•・二面角4-M4-N的正弦值为H

5

33.【解答】证明：(1)长方体ABCD-AIBICIDI中，BICI_L平面AB481,

：.B\C\A-BE,*：BELEC\,

'：B\C\^EC\=C\,・・・8E_L平面EBCi.

解：(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AE=4E=1,则BE=EBi,〈BE，平面，：,BELEB\,

：.BEL+EB\1=2BEL=55^=4,：,BE1=2,

1221

*：AE+AB=\+AB=BE=2f

则E(l,1,1),A(1,1,0),B\(0,1,2),Ci(0,0,2),C(0,0,0),

,:BC.LEB\,EB\_L面EBC,

故取平面E8C的法向量为ir=5M=(-1,0,1),

设平面ECCi的法向量;=(x,y,z),

n*CCi=0,(z=0,,—

由《1，得|，取x=l,得n=(1,-1,0),

n-CE=0Ix+y+z=0

・•・二面角B-EC-Ci的正弦