2020年新高考数题型详解：73 组合人教选修

7.3组合

思维导图

一般地，从n个不同元素中取出m(msn)个元素合成一组,

定义

叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

(1)组合的恃点是只取不排

组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，

即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.

(2)组合的特性

特点元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的

要求

(3)相同的组合

根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管II原序

如何)，就是相同的组合.

组合

从〃个不同元素中取出必小，加个元素的所

组合散定义及表示有不同组合的个数，叫做从“个不同元素中取

出m个元素的组合数，用符号C麋示.

n(n-iXn-/n+1)

JU积形式c»=

组合数m!

组合数

公式n\

阶乘形式cr=

m\(n-m)\

4=CL

备注

题型讲解1

题型一组合数及其运用

[例1](1)(2020•浙江高三专题练习)已知用一C+0!=4,则m=()

A.0B.1C.2或3D.3

(2)：2019•广东高二期末(理))Cf+《+《+...+&：的值等于()

A.7351B.7355C.7513D.7315

(3)：2019•上海财经大学附属北郊高级中学高二期末)满足方程的解为

(4)设左〃wN*,且〃之2,求证：kC：=〃C3；

1O

(5)求满足一C：+-C^+...+-C；<100的正整数/;的最大值；

nnn

【答案】(1)C(2)D(3)x=2或x=5,(4)略;(5)7

【解析】(1)==6当帆=2时成立；当加=3时也成立；

故选：C.

(2)原式等于C+C+G+……+喘=©=7315,故选以

(3)因为C•=6；2,所以根据组合数的性质可得21=X+2或2x+x+2=17,

解得x=2或工=5,经检验均符合题意.故答案为：x=2或x=5.

*n\n\

(4)\n-k)\k\~[n-k)\{k-^\

=〃♦(〃f!=川

〃T(〃一1一人+1)!(女一1)!

.••当时，kC：=献丈：

1o

(5)+HP：C；+2C：+…十几C：vl00〃

nnn

又C：+2C：+…+几C；；=+<-1+…+"C二:+七二；=〃•2"T

〃・2〃T<100«,即2”T<100又"为正整数..n<7,即正整数n的最大值为：7

【举一反三】

1.（2019•云南省泸西县第一中学高二期中（理））若&=3《|,则〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

3（〃一1）（〃一2）

【解析】因为£=3C；T，所以〃（〃—1）=，即〃=6故选：C

2

2.（2019•上海高二期末）已知〃，加EN*,下面哪一个等式是恒成立的（）

加

A.黑哈B.A；

（n-m）l

c.c+c-yD.cr+cry

【答案】B

n\

【解析】由组合数的定义可知c：=版八选项错误;

n\

由排列数的定义可知A：二E'B选项正确;

由组合数的性质可知G；+£>=C；,则C、D选项均错误.故选B.

3.（2019•上海市延安中学高二期末）计算：。+C；+C；+L+嘲=

【答案】2039190

【解析】C：+C”=C：：；5wV,kwN,k口+1）,

「C+C+C+L+嘲=UW+L+嘲=G+C；++。就=嗡=2039190.

故答案为：2039190.

4.（2919•林芝市第二高级中学高二期末（理））若$=苦”-3,则x的值为

【答案】3或4

【解析】由组合数的公式和性质得彳=2%-3,或产2才-3=9,

得x=3或x=4,经检验*=3或x=4都成立，

故答案为：3或4.

%/2=3（,求〃的值.

5.（2017•湖北省松滋市第一中学高二课时练习）（1）已知

C”_35

ex

(2)已知〈求"'〃的值.

【答案】(1)〃=9(2)x=5,w=15

r54

【解析】(1)原方程化为毋+1=3不，变形得5GT=14C3,展开可得:

J.33

(n-l)(«-2)(/?-3)(n-4)(n-5)(;?-3)(«-4)(«-5)

解得(九一=56即n?-3n-54=0,解

5x4x3x2xl-3x2x1

得〃=9或〃=一6(舍去).

(2)♦.•3之0,%+1之0,工一120,.・.xNl,由C；=G：7=Cf,J〃一x=2x,〃=3x,由C："=£c；:

得3(1一3+1)(〃一月=11(%+1)］将〃=3%代入得％=5,则〃=15.

题型二组合概念的判断

【例2】给出下列问题：

(I)从a6,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法？

(2)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法？

(3)a,仇d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场？

(4)&6,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果？

⑸某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,不同的结果有多少种？

(6)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪中恰有3枪连中,不同的结果有多少种？

在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？

【答案】见解析

【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题.

(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序,是排列问题.

(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序,是组合问题.

(4)冠亚军是有顺序的,是排列问题.

(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素,没有顺序,是组合问题.

(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪,有顺序,是排列问题.

【举一反三】

1.下列问题不是组合问题的是()

A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B.平面上有2015个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段？

C.集合｛a,…,a｝的含有三个元素的子集有多少个？

D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？

【答案】D

【解析】组合问题与次序无关，排列问题与次序有关,D项中,选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独

唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题,不是组合问题，选D.

题型三组合的运用一有限制条件

【例3】(2020•全国高三专题练习)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35

种商品中选取3种.

⑴其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种？

【答案】(1)561；(2)5984；(3)2100；(4)2555；(5)6090.

【解析】(1)从余下的34种商品中，选取2种有告生=561(种)，

・•・某一种假货必须在内的不同取法有561种.

(2)从余下的34种可选商品中,选取3种,有U=5984(种).

3x2x1

・•・某一种假货不能在内的不同取法有5984种.

(3)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件有=20xl|^i=2100(种).

・•・恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.

15x1415x14x13

(4)选取2种假货有4此=20x——=2100种,选取3种假货叱=..,=455种,共有选取

方式Go*+0=2100+455=25551种).

・•・至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.

(5燧取3种的总数为C*=35x3;x33=6545,选取3种假货有黑==455种，因此共有选

3x2x13x2x1

取方式啜一或=6545—455=6090(种).

・•・至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

【思路总结】

有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类：

一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所I

指元素去掉再取，分步计数；

二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不

重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.

I___________________________________I

【举一反三】

1.(2019•西藏拉萨那曲第二高级中学高二期中)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5

人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法.

(1)任选5人

(2)男运动员3名，女运动员2名

(3)至少有1名女运动员

(4)队长至少有一人参加

(5)既要有队长，又要有女运动员

【答案】(1)252(2)120(3)246(4)196(5)191

【解析】(1)男运动员6名，女运动员4名，共10名

10x9x8x7x6

任选5人的选法为:=252

5x4x3x2xl

.•任选5人，共有252种选法.

(2)选派男运动员3名，女运动员2名.

・••首先选3名男运动员，有C；种选法,再选2名女运动员，有C：种选法

根据分步计数乘法原理

选派男运动员3名，女运动员2名，共有穹•=120种选法.

(3)至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

••・由分类加法计数原理可得有：CC+窃C+CC+CC=246.

至少有1名女运动员有246种选法.

(4)只有男队长的选法为。选法,只有女队长的选法为选法

又男、女队长都入选的选法为C；选法.

共有2《+烯=196种选法.

・••队长至少有•人参加有：196种选法.

（5）当有女队长，其他人选法任意，共有。种选法，

不选女队长时,必选男队长,共有C；种选法，

选男队长且不含女运动员有C；种选法.

•••不比女队长时共有G种选法.

，既有队长乂有女运动员共有：C+C-C=191种选法.

题型四分组分配

【例4-1】（2019•固镇县第一中学高二月考（理））按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配

方式？

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份，1份4本,另外两份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；

【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15：（6）90.

【解析】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法；

再从利余5本书中选择2本，有C；种分配方法

剩余的就是2本书,有种分配方法

所以总共有CCC=60种分配方法.

（2）由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有

CCC&=360种.

（3）从6本书中选择2本书，有种分配方法；

再从剩余4本书中选择2本书,有C：种分配方法;

剩余的就是2本书，有C；种分配方法;

所以有盘=90种分配方法.

但是，该过程有重复.假如6本书分别为A、B、C、D、E、F,若三个步骤分别选出的是（48）,（8）,（所）.则

所有情况为（A8,C3,EF）,（A8,E£C。），（CD,AB,EF）,（C£>,反,A3）,（EF,AB,CD）,

（EF,CD,AB）.

C；C：C；

所以分配方式共有=15种

（4）由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为

=90种

（5）从6本书中选4本书的方法有《种

从剩余2本书中选1本书有C；种

因为在最后两本书选择中发生重复了隹

c4。］

所以息共有一为2=15种

4

（6）由（5）可知,将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即

-^xA：=90种.

*

【例4-2）将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列方法的种数.

（D每个盒子都不空;

（2）恰有一个空盒子；

（3）恰有两个空盒子.

【答案】（1）10（2）40（3）30

【解析】（1）先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选

3个空隙各插一块隔板,有煜=10（种）.

（2）恰有一个空盒子,插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选2个空隙各插

一块隔板,如010001001,有6种插法,然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒,如10100011001,

有C；种插法,故共有Cl・C；=40(种).

(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行.

先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板,有C；种插法,如100100001,然

后将剩下的两块隔板插入形成空盒.

①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，

如||00|00001,有点种插法.

②将两块板与前面三块板之一并放,如IoolIloooo,有C种插法.

故共有(C+C；)=30(种).

【思路总结】1

一.不同元素的分组分配

一般地，〃个不同的元素分成夕组，各组内元素数目分别为股，…，咻，其中A组元素数目

C/nnCntn一阳C周〃一册—应:砌^

相等，那么分组方法数是

AJ

二.(D隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空

隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入

盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.

(2)将〃个相同的元素分给切个不同的对象(〃2加，有CT；种方法.可描述为〃一1个空中插入

m—l块板.

【举一反三】

1(2018•青海高二月考(理))按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式?

(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本,一人得2本,一人得3本：

(3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

(5)分成三份，1份4本,另外两份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.

【答案】(1)60；(2)360；(3)15：(4)90；(5)15：(6)90；(7)30

【解析】(1)无序不均匀分组问题.先选1本有种选法;再从余下的5本中选2本有C；种选法;最后余下的

3本全选有种选法.故共有C《《=6O(种)选法.

（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人，在1题的基础上，还应考虑再分配，共有

C《《6=360.

（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法，但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,BC

D,E,尸，若第一步取了AB,笫二步取了CO,第三步取了E尸，记该种分法为（AB,CD,£尸），则

武《仁种分法中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）ACD,EF,AB）AEFtCD,AB）,（EF,

AB,CO）,共有用种情况,而这用种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分

配方式有年"

有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式缺电■•闻=90（种）.

(4)

A

无序部分均匀分组问题.共有£§^=15（种）分法.

(5)

4

有序部分均匀分组问题.在5题的基册上再分配给3个人，共有分配方式与=9（）（种）.

(6)

（7）宜接分配问题.甲选1本有C：种选法，乙从余下5本中选1本有C；种选法，余下4本留给丙有C：种选法,

共有CC屐=30（种）选法.

2.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本，则不同的赠

送方法共有（）

A.4种B.10种

C.18种I）.20种

【答案】B

【解析】由于只剩一本书,且这些画册、集邮册分别相同,可以从剩余的书的类别进行分析.又由于排列、

组合针对的是不同的元素,应从4位朋友中进行选取.

第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到

画册.即把4位朋友分成人数为1,3的两队,有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C：种分法.

第二类：当剩余的一本是集邮册时,相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友,有2位朋

友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队,一队分给画册,另一队分给集邮册,有仁种分法.

因此,满足题意的赠送方法共有C；+&=4+6=10（种）.

3.（2018•黑龙江鹤岗一中高二月考（理））按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（用数字作答）

(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；

(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球:

(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球;

(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒.

【答案】(1)4096(2)1560(3)10(4)2160

【解析】(1)1=4096；

(C；C：C；C：

⑵C；560；

<66

(3)C；+4=1()；或C；=10；

⑷(c汨C：+

+C1&=2160.

强化练习

1.(2020•云南师大附中高三月考(理))在高中阶段,我们学习的数学教材有必修1〜5,选修2系列3册,

选修4系列2册,某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材

的概率是()

【答案】B

【解析】•・•“两本均是必修教材”包含的基本事件个数为C；=^=io,

“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数为0；。=掾=45,

・•・小明今晚复习的两本均是必修教材的概率尸=2=］，故选：B.

459

2.(2017・上海华师大二附中高三期中)若组合数。；'二7x个6x彳5，则实数机=

3x2x1

【答案】3或4

【解析】4=手京=6=e，所以，加=3或4.

3x2x13x2xlx4x3x2xl4!x3!

故答窠为：3或4.

3.(2019•江苏启东中学高一期中)计算:C；+C；+Cj+C；+C：+...+C：；+C：；=

【答案】1140

【解析】C/C；+C；+C；+C：+...+，

=c：+Cg++Cg++...+c*1g+Gg,

UY=C'

.•.c+《+《+…+G；=《+（《一《）一（点一《）+…+（《。・《）=以=2°：T18=ii4。,

3X4

故答案为1140.

4.（2019•上海高二期末）推广组合数公式，定义C：='°T）L（'一〃"1）,其中x_R,「wN"，且规

ml

定C=1.

（1）求C15的值;

。3

（2）设犬＞0,当X为何值时，函数"X）=7-^取得最小值？

C：

【答案】（1）-680；（2）当]=夜时，取得最小值.

(—15)(76)(77)

【解析】（1）由题中组合数的定义得c，==-680：

%3—!寸

（2）由题中组合数的定义得/（%）=1r

因为人＞0,由基本不等式得x+-＞2人，当且仅当“应时,等号成立，

x

a

所以当％=应时，画7取得最小值.

5.（2019•辽河油田第二高级中学高二期中（理））计算：⑴裔+。落）+解।

（2）C；+-

【答案】（1）-（2）330

6

【解析】（1）原式=（G盆+G1户隹产小心41=%+41=1+8=]

u

(2)原式=+...+C=+...+c2=C,+Gi=C=330

6.(2019•湖北高二月考)10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，求各有多少种情况

出现如下结果.

(1)4只袜子没有成双；

(2)4只袜子恰好成双；

(3)4只袜子2只成双,另两只不成双.

【答案】(1)3360；(2)45；(3)1440.

【解析】(1)*4=3360；

(2)C,；=45；

2

(3)C；OC^2=1440.

7.(2019•周口市中英文学校高二期末(理))一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球.

(1)共有多少种不同的取法？

(2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法？

(3)其中不含红球,共有多少种不同的取法？

【答案】(1)56；(2)35；(3)21

8x7x6

【解析】(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是

3x2x1

(2)从口袋里的8个球中任取5个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成：

第一步,从7个白球中任取4个白球，有C；种取法；

第二步,把1个红球取出，有C：种取法.

故不同取法的种数是：CC；=C=G=35

(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，

只需从7个白球中任取5个白球即可，

7x6

不同取法的种数是C^=c^=—=21.

2x1

8.(2018・海林市朝鲜族中学高二课时练习)将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒

子中.

(1)有多少种放法?

(2)若每盒至多一球,则有多少种放法？

(3)若恰好有一个空盒，则有多少种放法？

(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？

【答案】(1)256；(2)24；(3)144；(4)8

【解析】(D每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子，共有4X4X4X

4=4'=256(种)放法.

(2)这是全排列问题,共有Aj=24(种)放法.

(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有或种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三

个盒子，有种投放方法,所以共有C/A：=144(种)放法.

(4)一个球的编号与盒子编号相同的选法有C；种，当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其

余三个球的投入方法有2种,故共有C；X2=8(种)放法.

9.(2017•天津高二期末(理))从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：

(I)如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法？

(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？

(3)如果4人中必须既有男生又有女生,有多少种选法？

【答案】(1)30；(2)91种；(3)120种.

【解析】⑴C；・《二60；

⑵方法1：(间接法)

在9人选4人的选法中,把男甲和女乙都不在内的去掉,就得到符合条件的选法数为：

《—《=91(种)；

方法2：(直接法)

甲在内乙不在内有种，乙在内甲不在内有种，甲、乙都在内有种，所以男生中的甲与女生中的乙至

少有1人在内的选法共有：

2。；+。；=91(种).

(3)方法1：(间接法)

在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数为：

《一右一屐=120(种);

方法2：（直接法）

分别按含男1,2,3人分类,得到符合条件的选法总数为：

CC+c；c：+CC=12（）（种）.

10.（1）计算：①以+尊•啜）；

②U+C+c；+c；+U+以；

③C：LC3的值;

（2）某书店有11种杂志,2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂志（每种至多买一本,10元

钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）.

【答案】⑴①5006,②32,③〃2+〃；（2）266.

【解析】

⑴①《+*喘=。；+以*=^1+^^=56+4950=5006：

3x2x12x1

②e+C；+《+《+《+C：=2（C；+C+C；）=2G+C»=2X（6+|^）=32（或原式

=25=32）；

③C：'C3=ch•（C：+er）=C；•（1+C；）="+几（或原式=&.《川=〃（〃+1）=〃2+〃）.

（2）10元钱刚好用完有两种情况：①5和2元1本的；②4种2元1本的和2种1元1本的.

分2类完成：第1类，买5种2元1本的，有C：种不同买法；

第2类，买4种2元1本的和2种1元1本的，有C；•《种不同买法，

故共有《十仁•玛=266种不同买法.

11.（2019•江西高安中学高二期中（理））如图，一个正方形花圃被分成5份.

（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的

花,求有多少种不同的种植方法？

（2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？

【答案】（1）96：（2）16800

【解析】（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部

分种植进行分类：

①C若与B相同,D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4x3x1x2x2=48种；

②C若与B不同,C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有

4x3x2x1x2=48种.

综上,共有96种种植方法.

（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：

①若分成2-2-1-1-1的5组，有与品种分法；

②若分成3-1-1-1-1的5组,有4种分法；

将分好的5组全排列,对应5个部分，

12.（2019•北京高二期末）把6本不同的书,全部分给甲，乙,丙三人,在下列不同情形下，各有多少种分法？

（用数字作答）

（I）甲得2本;

（II）每人2本；

（III）有1人4本，其余两人各1本.

【答案】（I）240种（II）90种（HI）90种

【解析】（I）根据题意，分2步进行分析：

①,在6本书中任选2本,分给甲,有以=15种选法，

②,将剩下的4本分给乙、丙,每本书都有2种分法,则有2X2X2X2=16种分法，

则甲得2本的分法有15X16=240种；

（n）根据题意,分2步进行分析：

C氾6

①，将6本书平均分成3组，有=15种分组方法,

②,将分好的3组全排列,分给甲乙丙三人有d=6种情况，

则有15X6=90种分法；

(III)根据题意，分2步进行分析：

①，在6本书中任选4本,分给三人中1人，有康XC・45种分法，

②,将剩下的2本全排列,安排给剩下的2人,有42=2种情况，

则有45X2=90种分法.

13.(2019•江西景德镇一中高二期中(理))一次游戏有10个人参加,现将这10人分为5组，每组两人。

(1)若任意两人可•分为一组，求这样的分组方式有多少种？

(2)若这10人中有5名男生和5名女生,要求各组人员不能为同性,求这样的分组方式有多少种？

(3)若这10人恰为5对夫妻，任意两人均可分为一组，问分组后恰有一对夫妻在同组的概率是多少？

【答案】(1)945；(2)120种；(3)45.

「2厂2厂2厂2厂2

【解析】(将人平均分为组共有=945;

1)1056

(2)将5名男生视为5个不同的小盒,5名女生视为5个不同的小球，问题转化为将5个小球装入5个不同

的盒子,每盒一个球,共有&=120种;

(3)先任选一对夫妻有C；种，再将剩余4对夫妻分组，再将4个丈夫视为4B,C。四个小球,4个妻子分别

视为a,b,c,d四个盒子，

则4个小球装入4个不同的盒子,每盒一个球,且与自己的字母不同，

有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB、BCDA,DCBA,CDBA,共有9种方法,故不同的分组方法有C*X9=45.

14.按下列要求把12个人分成3个小组,各有多少种不同的分法？

(1)各组人数分别为2,4,6人；

(2)平均分成3个小组；

(3)平均分成3个小组,进入3个不同车间.

【答案】(1)13860：(2)5775：(3)34650.

【解析】(D先从12个人中任选2个人作为一组，有Ci种方法,再从余下的10人中任选4个人作为一组，

有C；0种方法，最后余下的6人作为一组，芍种方法，由分步乘法计数原理，共有C%?；o，口3860种方

法.

（2）:•平均分成3个小组，.:不同的分法有c黑::=5775种.

A；

「4次44

⑶第一步:平均分三组,第二步:让三个小组分别进入三个不同车间，故有

%

650种不同的分法.

15.（2020•全国高三专题练习）在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到4氏。〃四个不同的

岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.

（1）求甲、乙两人同时参加力岗位服务的概率；

（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（3）求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.

193

【答案】(1)—(2)—(3)-

40104

足1

【解析】⑴记“甲、乙两人同时参加力岗位服务”为事件后,那么。（%）=念r=左,

即甲、乙两人同时参加月岗位服务的概率是‘

40

441

（2）记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么尸（E）岛'=6,所以甲、乙两人不在同一

C51U

9

岗位服务的概率是一（后）=1一尸（a=记

（3）因为有两人同时参加A岗位服务的概率P2=卷多=；,所以仅有•人参加A岗位服务的概率4=1一月

3

-4

16.（2020•浙江高三专题练习）用0,1,2,3,4这五个数字组成无重好数字的自然数.

（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?

（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?

（3）在组成的五位数中，若从小到大排列,30124排第几个?

【答案】（1）36个（2）36个（2）49个

【解析】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有GG6=2x3x6=36个；

（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有6c用=2x3x6=36个；

（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列,30124排第几个,则计算出比30124小的五位数的情况,

比30124小的五位数,则万位为1或2,其余位置任意排，即=2x24=48,故在组成的五位数中比

30124小的数有48个,所以在组成的五位数中，若从小到大排列,30124排第49个.

17.（2019•吉林高二期中）从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重生数字的五位数.

试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？

（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？

（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）

【答案】（1）576；（2）576；（3）144

【解析】（1）偶数在末尾,五位偶数共有（JMA%A3=576个.

（2）五位数中，偶数排在一起的有弓肃A^A'=576个.

（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有四品^^=144.

181.〔2019•辽河油田第二高级中学高二期中（理））从8名运动员中选4人参加4x100米接力赛,在下列

条件下,各有多少种不同的排法？

（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒：

（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；

（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；

（4）甲不在第一棒.

【答案】（1）60；（2）480；（3）180；（4）1470

【解析】（1）除甲、乙外还需选择2人参加接力赛共有种选法

则甲、乙跑中间两棒共有种排法；另外2人跑另外两棒共有8种排法

甲、乙两人必须入选且跑中间两棒共有：热片&=60种排法

（2）甲、乙只有一人入选且选另外选3人参加接力赛共有C；C：种选法

甲或乙不跑中间两棒共有种排法；其余3人跑剩余三棒共有另种排法

••・甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒共有：GCCH=480种排法

（3）除甲、乙外还需选择2人参加接力赛共有C；种选法

甲乙跑相邻两棒,其余2人跑剩余两棒共有尺田种排法

甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒共有：《68=180种排法

（4）甲不在第•棒则需选择•人跑第•棒，共有C；种选法

其余三棒共有七种排法

甲不在第一棒共有C；国=1470种排法

19.（2019•江苏高二期中（理））从5本不同的科普书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每

人1本，问：

（1）如果科普书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法？（各问用数字作答）

（2）如果科普书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？

（3）如果选出的4本书中至少有3本科普书,共有多少种不同的送法？

【答案】（1）1440种（2）504种（3）1080种

【解析】（1）从5本科普书中选2本有鬣种选法,从4数学书中选2本有废种选法,再把4本书给4位同学

有父种，

所以科普书和数学书各选2本,共有废废用=1440种不同的送法.

（2）因为科普书甲和数学书乙必须送出，所以再从其余7本书选2本有行种,再把4本书给4位同学有川种,

所以共有=504种不同的送法.

（3）选出4本科普书有箱种,选出3本科普书有戏盘种，再把4本书给4位同学有川种,所以至少有3本科

普书的送法为（仁+磴盘）*=1080种.

20.（2019•无锡市第一中学高二期中（理））现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

（1）共有多少种不同的方法？

（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？

（3）若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？

（4）若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？

【答案】（1）256（2）24（3）144（4）84

【解析】（1）将4个不同的球放入4个不同的盒子，则共有4二256种不同的放法,

(2)将4个不同的球放入4个不同的盒子,若没个盒子不空,则共有A：=24种不同的放法，

(3)将4个不同的球放入4个不同的盒子,恰有一个盒子不放球,则共有C：C：&=144种不同的放法，

(4)将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有两个盒子不放球,则共有C：1C：)=84种不同的放

法，

21.(2019•江苏高二月考)A(1)AB,CD,七五人站一排，8必须站4右边，则不同的排法有多少种；

(2)晚会原定的5个节目已排成节目单，