2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编 数列（学生版+解析版）（共7讲）

2015.2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题25数列第一讲

1.【2021年浙江预赛】设的=0,%==1，。3n=即，。3〃+1=a3n+2=6+1(九—D，则。2021=---------

2.(2021年浙江预赛】设数列即+1=图+图，n=12…,7,这里[x]表示不超过》的最大整数。若。8=8,

则正整数由有种可能的取值情况。

3.[2021年新疆预赛】已知数列｛aj满足%=L&=4g=1。，对任意的九>2有嫌+i-2aJ=anan+2-

2%i-l4i+l，则。21的个位数字是.

4.[2021年全国高中数学联赛A卷一试】等差数列｛an｝满足。202]=。20+«2i=L则％的值为

5.[2021年全国高中数学联赛B卷一试】等差数列5｝的公差d工0,且。2021=。2。+。2]，则守的值为一

6.12020高中数学联赛A卷(第01试)】在等比数列｛%｝中，的=13,a3=1,则log%13的值为.

7.(2020年甘肃预赛】设数列包力满足:ai=：,%+i=an+Q^〃WZ+).记72020=三；+三；+…+

-^―•若72020的值在区间(k,k+l)内，则整数k的值为__________.

@2020+1

8.【2020年广西预赛】设数列｛小｝的前两项分别为为=2。2=4.设%=4+1-%・若数列｛%｝是公差

为1的等差数列，则&。2。=.

9.[2020年吉林预赛】数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现有这样一列数：1,12358,13,…该数列

的特点是:前两个数均为1,从第三个数起，每一个数均等于它前面两个数的和.把这样的一列数组成的数列

｛an｝称为“斐波那契数列''.则

(%的+a2a4+a3a5+…+Q2019a2021)-(a|++aj+…+Q；o2o)=-

10.【2020年四川预赛】已知数列｛斯｝满足以oun.an+iulanl+T1;，其利也]表示不超过实数a的最

大整数,｛a｝=a-[a].则CI2020=-

n

11.【2020年四川预赛】若数列｛0｝满足an=[(2+V5)2](nWZ+)，则02020的末尾两位数字为

12.【2020年浙江预赛】设&也。为集合口,2,…,n｝的一个排列.若存在k<1且”&，则称数对&力)

为一个逆序，排列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数.比如，排列1432的逆序为43、42、32,此排列的

逆序数就是3.则当日=6时，且i3=4的所有排列的逆序数的和为.

13.[2020年重庆预赛】已知力,g"3，人均为实数.若集合｛%,g，%，%｝的所有非空直子集的元素之和为

28,则%+a2+a3+a4=.

14.(2020年新疆预赛】等差数列｛an｝的公差和等比数列｛%｝的公比都是d(dHl),且%=瓦,%=

力4.aic=bio.若存在mGN使得=Z)22,则m=.

15.【2019年江西预赛】公差为4各项皆为正整数的等差数列｛斯｝，若%=1919,a7n=1949,%=2019,则正

整数in+n的最小值是.

16.【2019年江西预赛】数列｛小｝满足:的=V3,册+1=[册]+六，(其中[，〃]和｛小｝分别表示实数。〃的整数

部分与小数部分)，则。2019=.

17.[2019年上海预赛】设等差数列｛斯｝的公差为d(#0),前〃项和为S”若数列Q8S1+2n｝也是公差为d的

等差数歹U.则数列｛〃”｝的通项。”=.

18.【2019年新疆预赛】已知数列:级,…措，…,白，总…，黑，…，那么篝是该数列的第一

________项.

Xxn

19.[2019年浙江预赛】设0<<x2»数列｛&｝满足%n+2=n+1+n>41•若1^x7<2,则%8的取值范

围为.

20.[2019年北京预赛】将正整数1,2,3,4「・,71,…按第k组含k+1个数分

组(345),(6,789),(10,11,12,13,14)…则2019在第组中.

第1组第2组第3组第4组

21.【2019年广西预赛】从1,2,……,20中任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为

22.【2019年贵州预赛】已知正项数列⑶｝的前n项和为Sn，若｛aj，｛历｝均为公差为d的等差数列，则Sn=

23.【2019年吉林预赛】我们把3,6,10,15,...这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形,

如下图所示，则第19个三角形数是.

361015

24.【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设等差数列｛〃〃｝的各项均为整数，首项0=2019,且对任意正整

数〃，总存在正整数m使得的+&+•••+/»=?«•这样的数列｛为｝的个数为.

25.【2018年山西预赛】将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有1个数，第二

段有3个数，……，第n段有2n-l个数；那么，第20段中的第18个数是.

26.12018年江苏预赛】己知等差数列｛%｝的前12项的和为60,则|Qj+|。21+…+上闫的最小值为•

8a

27.【2018年浙江预赛】设数列｛郁｝满足%=1»/i+i=5an+l（〃=1，2,…），则Sn=\n=-

28.（2018年湖北预赛】设数列（6｝满足：%=1,4每+1—an+i«n+4an=9,贝^2018=.

29.【2018年湖北预赛】设数列｛aj的通项公式为an=M-n,nwN・，将该数列中个位数字为0的项，按

从小到大的顺序排列构成数列｛%｝,则b2c18被7除所得的余数为.

30.【2018年甘肃预赛】已知数列｛%｝满足%+1=三%=3,则数列｛%｝的通项公式是.

2015.2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题25数列第一讲

1•12021年浙江预赛】设CLQ—0,a1-"a2=1，。3九=。371+1=03zi+2=。九+

1（M>1），则。2021=---------

【答案】6

【解析】。2021=&X673+2=a673+1=a3x224+l+1=a224+2

二03x74+2+2=Q74+3=03x24+2+3=g4+4=CLQ+4=电+

5=6

2.【2021年浙江预赛】设数列=［明+阳］,、这里团表示不超过力的最大

an+in=1,2,…，7

整数。若=8，则正整数a1有种可能的取值情况。

【答案】7

【解析】由。8=8,可得。7=10或11，

可得36=12或13或14;可得=15或16或17

可得Q4=18或19或20或21;可得。3=22或23或24或25或26,

可得a2=27或28或29或30或31或32;

可得如1=33或34或35或36或37或38,39,共7种.

3.（2021年新疆预赛】已知数列｛。脑满足=1,。2=4,。3=I。，对任意的n之2有

^-ian+i，则。21的个位数字是.

a^+i—=anan+2—n

【答案】6

【解析】:嫌欣=aa-即_册+”・・（册_。=

+1-2nn+221an+ian+i+2

Q?i（Qzi+2+2a几）,

.%1+1+2a711_。九+2+2。九

anan+l

・.43吗）是常数列，又笔汹=3,

a

tanJ2

._J=3,...an+1=3aH-2an_^

an+l

n—1

由特征根方程求得Gn=3x2-2,・・・a21的个位数字为6.

4.(2021年全国高中数学联赛A卷一试】等差数列｛。工满足。2021=a20+a21=1,则%的值为

【答案】黑

【解析】设5｝的公差为d.由条件知慨:;鬻U解得%=鬻.

5.(2021年全国高中数学联赛B卷一试】等差数列1｝的公差d*0,且做021=。20+。21，则来的值为

【答案】1981

【解析】由条件知为+2020d=%+19d+%+20d,又d*0,故号=1981.

6.【2020高中数学联赛A卷(第01试)】在等比数列｛an｝中，a9=13^3=1,则log%13的

值为.

【答案吗

【解析】由等比数列的性质知,=(^),%=篝=133.所以108%13=/

7.(2020年甘肃预赛】设数列｛Q〃｝满足:a1—i,-|-1=。九+a尚(兀eZ+)•记T2020=

++*l+…+晨开I若T2020的值在区间(mk+1)内，则整数4的值为

【答案】3

【解析】由题意知

1_1_1_1

an+lan(«n+l)an。九+1

111

=-----=-------------

Qn+1anan+l

Illi1I

=72020=---------------1----------------1-…H-------------------------

Qla2a2a3。2020a2021

1

-_-1---....1...-_4.

al02021«2021

下证「202。6(3,4),只需证。2021>1.由Qn+i=

72

+++>16a1

*・*^1=

e

由归纳法,知对于任意的n>17,an>1，则T2O20(3,4)，即北=3.

8.【2020年广西预赛】设数列｛an｝的前两项分别为。1=2,a2=4.设bn=an+i-an・若

数列｛bn｝是公差为1的等差数列，则。2020=

【答案】2041211

【解析】易知力1=a2—=2.

由｛6八｝的公差为1知

bn=n+l

「2019,

故。2020=%+2-1d

=2+2+3+-+2020

=2041211.

9.[2020年吉林预赛】数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现有这样一列数

:1,1,2,3,5,8,13,・・・该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数越每一个数均等于它前面两个

数的和.把这样的一列数组成的数列｛an]称为“斐波那契数列”.则

27

a++^++

(。1。3+a2a4+a3a5+…+a2019a2021)一2.

1020)-

【答案】I

【解析】由题意知

一谖=l，a2a厂送二一1.

一域=l,a4a6-琏=-1，

n+1

由此可归纳出结论GnGn+2一a^i=(-l)(nez+)

则原式

=(%。3—遥)+(a2a4-«3)+(a3a5-a4)+…+(。2019a2021一

成020)，

即1009个一T与loio个1相加，结果为1.

io.【2020年四川预赛】已知数列｛an｝满足:跖,an+i=[a7l]+隔，其中,以]表示不

超过实数a的最大整数,｛a｝=a-[a],则02020=.

【答案】6060+V6

【解析】注意到，

a0=76=2+(76—2),

%=2+露=4+早.

。2=4+'2=8+(76—2),

。3=8+廿10+粤,

。4=1。+熹=14+(跖-2).

由数学归纳法易得

a2k=6k+\/6,

02k+1=6k+4+、"丁(k6N).

因此Q2020=6060+历

2n

ii.【2020年四川预赛】若数列｛an｝满足an=[(2+J3)](neZ+)，则€12020的末尾两

位数字为.

【答案】53

【解析】记bn=(2+73)+(2-/3),则

久=4也=14,

%+2=4%+i-bn(neZ+)

考虑｛6兀(mod100)｝,它们分别为：

04,14,52,94,24,02,84,34,52,74,44,02,64,54,52,54,64,02,44,74,52,34,84,02,24,94,52,14,04,02,04,14,,

是以30为周期的模周期数列.

4004804165153

又22020三2404=24X2=2X2=2X2=2x2=2x2=

16(mod30),

则£>2020的最后两位数为54.

因为(2一6)%(0,1)，所以,。2020的末尾两位数字为53.

12.【2020年浙江预赛】设兀为集合｛1,2,・・1n｝的一个排列.若存在kVI且“〉

,则称数对(i匕为一个逆序,排列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数.比如，排列1432的逆

序为43、42、32,此排列的逆序数就是3.则当ZI=6时，且J=4的所有排列的逆序数的和为

【答案】912

【解析】含6的逆序数有+4+2+1)=124：(0),

含5的逆序数有A：x4+(A：x4+C；xA：x3)+(2玛4掾++吗4挤

=38原个)，

含4的逆序数有3度幽+2玛x2x3x展+照&=216(公，

含3的逆序数有X2+245=645=120(个),

含2的逆序数有4；=60个.

故总的逆序数有912个.

13.【2020年重庆预赛】已知，。3，。4均为实数•若集合｛。1，。2,。3,的所有非空真子

集的元素之和为28,则a1+a2+a3+a4=.

【答案】4

【解析】注意到，含有元素Gj(i=I,2j3,4)的非空真子集有7个.

则/=｛alfa2fa3fa^｝的所有非空真子集的元素之和为7(%+a2+a3+a4)=

28

从而,=4.

14.[2020年新疆预赛】等差数列｛an｝的公差和等比数列｛8九｝的公比都是d(dH1)，且=

blfa4=b4fa10=b10.若存在mEN使得。租=办22，则m.

【答案】130

=g

【解析】由题得｛。1+3d=bi-ci?,消去。1，^1，得d6+d3-2=0，解得d，=

%+9d=%•d9

3

-2或i(舍去).所以a1+3d=-d,得d=-blr:.%+(m—l)d=如・

21

d=-128b1，解得m=130

15.[2019年江西预赛】公差为d,各项皆为正整数的等差数列(叫,若QI=1919,。祇=

1949,an=2019,则正整数m+〃的最小值是.

【答案】15

【解析】设公差为d,则1949=1919+(m-1)d',2019=1919+(n-1)J,

.30,100

显然有med=—,以及d=有,消去〃得w,

m

其通解为1=111t+.，为使标且d为正整数，则正整数t只能在｛1,2,5,10｝取值,

(n=l+10t

当/=1时〃=4,〃=11为最小，此时m+n=\5.

16.[2019年江西预赛】数列｛〃｝满足:a。=J3,an+1=[Gn]+系，(其中和｛的｝分别表示实数

%的整数部分与小数部分)，则。2019=.

【答案】3029+券

【解析】

劭=1+(3-1),%=1+喜=2+小做=2+喜=3+总=4+

(V3-1),

g=4+看=5+半

归纳易得a2k=3k+1+(V3-1)；。2k+1=3k+2+百21.

因此。2019=3029+与工

17.【2019年上海预赛】设等差数列｛为｝的公差为4(存0),前〃项和为S”若数列｛即亍[不i｝也是公差

为d的等差数列，则数列｛%｝的通项。产.

【答案】4n--

4

【解析】由J8sH+]+2(zi+1)—，8Sn+2zi=d(zi>1)

=8szi+i—8s7t+2=d+2dJ8Sn+2zt

=80瓶+1+2=d+2dyJ8Sn+2n.

类似地,8。〃+2+2=d+2dJ8szi+i+2(zi+1).

将以上两式相减得：8((1rl+2一%i+i)=2d(J8szi+i+2(n+1)-J8s瓶+2n)

=8d=2d2

而今0,故d=4.

又J8s2+4-18sl+2=Jl6a2+36-J8al+2—4

由此解得％=彳

从而,Gn=*+4（n-1）=4n-1

18.［2019年新疆预赛】已知数列专各'含‘…'翁'”看…『3…’那么翁翁

是该数列的第项.

【答案】1553

【解析】依题意知，可将已知数列进行分组，第一组为序:第二组为｛捐,辅卜第三组为

67

假片…碧黑，…,第n组为停序…票］.又2187=37,3<2020<3,

故分数奔翁在数列第7组.

下面我们计算数列分组后，前6组共有数列中：

i［（31-1）+（32-1）+（33-1）+（34-1）+（35-1|+（36-1）］=

\萼毅—6=543项.

又雪碧为数列第7组的第1010位.

所以分数第碧为数列的第543+1010位，即1553位.

Zlo/

19.[2019年浙江预赛】设0<Xt<x2.数歹1J｛冗用满足%n+2=+xn,n>1.若1<

x7<2,则％8的取值范围为.

【答案】借早

【解析】由已知得％3=+冗2，%4=+2%2，%5=2%1+3X2，

x=3工1+5x+Sx,x=8冗1+13x,

65X2,X7=12s2

因为1<x7<2,所以1<5工1+Sx2<2,结合0<Xi<久2,在0一久1元2坐标下

所围成的线性规划区域为四边形，它的四个顶点坐标分别为(0,百，信涛)，侑堵)，(°，扑

所以48=8%i+13%2

20.[2019年北京预赛】将正整数1,2,3,4,・・・，弭・・・按第4组含k+1个数分

组：(1,2),(3,4,5),(6,7,8,9),(10,11,12,13,14)…则2019在第组中.

第1组第3组第4组

【答案】63

【解析】易知第ri组的最后一个数为+n,当n=62时，啜丝+62=2015.可见，

2015是第62组的最后一个数，因此2019应在第63组中.

21.【2019年广西预赛】从1,2,……,20中任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为

【答案】余

【解析】设首项为川,不妨考虑公差d>0=>l<d<9ldeN+

d=l=l《(ii418=18组

d=2=l(ai416=16组

d=3=l《ai&14=14组

以此类推，可得：

d=9=l《cii《2=2组

则总共有0+%)x9=90组

所以构成等差数列的概率为岑=

。20

22.【2019年贵州预赛】已知正项数列｛即｝的前n项和为Sn，若｛。而,｛廊｝均为公差为d的等差数列,则

Sn=______

„2

【答案】7

【解析】解法1：由已知an=aA+(n-l)d,禹=眄+(n-l)d(d>0),

所以，当吃2时：

__2__2__

cin=Sn—Sn_]=[Ja】+(ri—l)d]+(n—2)d]=d[2J%+(2n—

3)d1

故对Vn6N*,有a1+(n—l)d=d[2ja^+(2n—3)d].

ai2

I2dV«7一3d2=at-d.(_n

[2d2=d=3=「丁

解法2:因为SM=加2_|_(/一且)几要使｛Sn｝是公差为d的等差数列，则必有的=去此时心:=

J彳n,所以=d,解得d—5,所以Sn=

23.(2019年吉林预赛】我们把3,6,10,15,…这些数叫做三角形数，因为这些数R的点可以排成一个正三角形,

如下图所示，则第19个三角形数是.

361015

【答案】210

【解析】归纳易得ww故《=型部=

an=(+iJ+2)(neN*),19210.

24.12019高中数学联赛B卷(第01试)】设等差数列｛斯｝的各项均为整数，首项。产2019,且对任意正整

数〃，总存在正整数小，使得。1+。2+・・・+^^=。/«.这样的数列｛小｝的个数为.

【答案】5

【解析】设｛〃”｝的公差为a由条件知。上伏是某个正整数)，则

+a2=2al+d=at+

(fc-l)d,

即(2-2)占0,因此必有存2,且d=:不

k-2

这样就有an=a1+(ri—l)d=a1+匿

而此时对任意正整数〃，

ar+a2-\----Fan=arn+m缶i)d

。

=ar+(n-I)1+d=a1+((n-l)(k-2)+d,

确实为｛〃”｝中的一项.

因此，仅需考虑使々-21al成立的正整数&的个数.注意到2019为两个素数3与673之积，易知％—2可

取一1,1,3,673,2019这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列.

25.【2018年山西预赛】将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有1个数，第二

段有3个数......第n段有2n-l个数；那么，第20段中的第18个数是.

【答案】379

【解析】

显然，前n段共有1+3+5+…+(2几-1)=/个数，即第门段中最大数为M；于是第19段中的最大数为

192=361,则第20段中第18个数为361+18=379.

26.12。18年江苏预赛】己知等差数列｛册｝的前12项的和为60,则la/+|。21+…+佃闫的最小值为♦

【答案】60

【解析】

a

1li+|a21+…+|a12|>at+a2+•••+al2=60,当且仅当%=a2=""=0i2=5时等号成立,

故|%|+El+…+|出21的最小值为60.

故答案为：60

18a

27.【2018年浙江预赛】设数列｛册｝满足=1，an+1=5an+1(w=l»2,...),则Sn?：1n=•

【答案】哪-8077

16

【解析】

由册+i=5%+1=an+1+^=5(an+：)=厮=彳一；，

所以工册询=;(51+52+-+52。18)—等=总(52018_1)_竿=詈_兼.

28.【2018年湖北预赛】设数列｛册｝满足：=Man+1-an+1an4-4an=9,则。2018=

【答案w

【解析】

由4%+i-an+1an+4an=9可得

(4-an)(4-0n+i)=7.

设坛=4—an,则有％坛+1=7.又b,=4—%=3»故々，

一般地，有82此-1=3,b2k=于是

75

a2k-i=4-3=l,a2k=4--=

所以。2018=g-

29.【2018年湖北预赛】设数列｛册｝的通项公式为an=M-n,〃eN*,将该数列中个位数字为0的项，按

从小到大的顺序排列构成数列｛久｝，则b2c18被7除所得的余数为.

【答案】4

【解析】

因为%=九3一九=九（九一1）（九+1）,于是可知当且仅当九的个位数字为1、4、5、6、9、0时，%的个位

数字为0.所以，数列｛每｝的连续10项中，个位数字为0的项有六个.

而2018=336x6+2,336x10=3360,余数2所对应的满足条件的项的个，立数字为4,因此，

匕2。18=。3364=33643_3364=3364x3363x3365=4x3x5=60=4（mod7）.

所以，》2018被7除所得余数为4.

30.【2018年甘肃预赛】已知数列｛即｝满足斯+1=三黑，的=3,则数列｛an｝的通项公式是_____

On十J

【答案】郁=会

【解析】

3ia1

n可得一^---==3»

n+1a3“+1’

an+3n+l

以下用累加法得，n妊沙…+茶

得到怖=3+*+…+*=咋?=:(1_新

从而，%=会・

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题26数列第二讲

1.【2018年吉林预赛】在数列｛%｝中，若碌一碎T=p（nN2,nWN*,p;^r皴）,则称

｛时｝为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：

①数列｛（一1尸｝是等方差数列；

②若Sn｝是等方差数列，则｛碎｝是等差数列；

③若｛an｝是等方差数列，则Skn｝（kEN，，k为常数）也是等方差数列；

④若｛an｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.

其中正确的命题序号为.（将所有正确的命题序号填在横线上）

2.【2018年河北预赛】欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一

阶楼梯，则共有种上楼梯的方法.

3.【2018年浙江预赛】设数列｛即｝满足的=1,%+1=5%+1（〃=1,2,…），贝ij

虎甲册=•

4.【2018年江西预赛】正整数数列｛g｝满足每=3n+2,｛5｝满足与=5n+3,nG

N.在M=｛1,2,…,2018｝中两数列的公共项的个数是.

5.【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一

次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角

形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设人„是第n次挖去的小三角形面积之和（如为是第1次挖去的中间小三角形面积，%是第

2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为

6.【2018年全国】设整数数列。1，。2，一・，。10满足。10=+。8=2a5,

且见+ie[l+aif2+aj],i=1,2,・・・，9,则这样的数列的个数为

7.12018高中数学联赛A卷（第01试）】设整数数列01，。2，一・，。10满足。10=

且见+则

3alfa2+aQ=2a5,iE｛1+aif2+aj,i=1,2,・・・,9,

这样的数列的个数为.

8.12018高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系X。），中，直线/通过原点，

元=31）是/的一个法向量.已知数列｛〃“｝满足:对任意正整数〃，点（an+i，an）均在/

上.若砍=6,则2a3a4a5的值为.

9.12017高中数学联赛A卷（第01试）】设两个严格递增的正整数数列

足:@10—瓦。V2017,末任意正整数〃，有a九+2=。九+1+b?i+i=

则+瓦的所有可能值为.

2bn,a1

io.12017高中数学联赛卷（第oi试）】在等比数列｛〃”｝中，

Ba2=V2,a3=

73,则----------的值为________.

a7+a2017

11.【2017年天津预赛】已知｛册｝是首项为1,公比为2的等比数列,｛儿｝是首项为2,公差为5

的等差数列.同时出现在这两个数列中的数按从小到大的顺序排成数列"高则与00=一

12.[2017年山西预赛】将全体正奇数按自小到大的顺序排列，然后取第一数为由,取后续两

数和为。2,再取后续三数和为。3,如此继续，得到数列｛0｝，即:%=1,。2=3+5,。3=7+9+

11,…，则｛5｝的前20项之和Q[+。2+…+。20=-

13.[2017年吉林预赛】两个数列｛&｝,｛瓦｝满足%=2,瓦=l,an+1=50n4-3bn+7,bn+1=

3册+5勾（其中-GN+）,则｛%｝的通项公式为%=.

14.[2017年福建预赛】已知｛Qn｝为等比数歹IJ,且。1%017=1，若fa）=备，则/1（Ql）+/（。2）+

/（a3）+…+/（a2oi7）=.

15.【2017年江西预赛】化简2a+20：3丁+3c：46+…+20167^I7：2017V^=一

16.【2017年江西预赛】将全体真分数排成这样的一个数列｛册｝弓排序方法是:

自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列,则其第

2017项是:。2017=.

17.[2017年江西预赛】将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列

｛即｝,若％=2017,则？I=.

18.[2017年河南预赛】已知由3的累或者是若干个不同的3的豪之和组成的递增数列：

1,3,4,9,10,12,13,…,则此数列的第100项是.

19.[2017年湖北预赛】已知正项等比数列｛Qn｝满足。6++。4一。3-。2-%=49,则佝+

a8+的的最小值为.

20.【2017年黑龙江预赛】下面给出一个“直角三角形数阵”：

1

4

11

2,4

333

满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等，记第i

行第/列的数为%(i>j,i,jGN+)厕时3=.

21.【2017年贵州预赛】在正项等比数列｛4｝中，存在两项1、Q”,使得向高=8%,且的=

他十2a7,则工十士的最小值是___________.

mn

22.【2017年广东预赛】已如数列劭,%,。2,…,生，…满足关系式Q-0n+1)(4+即)=8,且

a。=2,则£与。上的值是________.

ai

23.(2017年广西预赛】设数列｛%｝的各项为正数淇前n项和%满足%=/即+J，则册=

24.(2017年湖南预赛】对正整数",定义n!=?i(n-l)(n-2)••…2・1,记配=加停+2+

…+品-1]则$2。17=-------------------

25.【2017年江苏预赛】若数列｛/｝满足的=；，即+】=F七，MWN+，则%)”的值为一

26.[2017年新疆预赛】在数列｛%｝中，对1<n<5,有即=足;且对一切正整数%都有0*5+

an+l=an+4+Qn厕02023=---------------------

n

27.[2017年新疆预赛】已知数列｛斯｝首项为2,且满足6Sn=3an+1+4-1.则5n的最大值

为.

28.【2017年内蒙古预赛】设等比数列｛aj的公比为t,前几项和Sn>0(n=1,2,3,…)，则t的

取值范围为.

29.[2016年陕西预赛】在数列｛%｝中，。4=1，an=9,且任意连续三项的和均为15.则

^2016=•

30.【2016年安徽预赛】已知等差数列为,%，…，为000的前100项之和为100,最后100项之

和为1000.则%=.

2015.2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题26数列第二讲

1.12。18年吉林预赛】在数列｛即｝中，若成一*—1=2（7122,71£*邛为常切，则称｛即｝为“等方差数

列”.下列是对“等方差数列”的判断：

①数列｛（一1尸｝是等方差数列：

②若｛Qj是等方差数列，则｛忌｝是等差数列；

③若｛每｝是等方差数列，则｛。m｝（k£N*,k为常数）也是等方差数列；

④若｛5｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.

其中正确的命题序号为.（将所有正确的命题序号填在横线上）

【答案】①②③④

【解析】

①因为［（一1尸］2一［（一l）n-i］2=0,所以｛（一1）埠符合“等方差数歹『定义；

②根据定义，显然｛嫌｝是等差数列；

③或n-flk（n-l）=或n-成n-1+或n-1-«fcn-2+…+硫nT+1-«k（n-l）=依符合定义；

④数列｛6｝满足W-Wt=p,an-an_L=d（d为常数）.若d=0,显然｛即｝为常数列；

若存0,则两式相除得卅+0n-1=3所以%=等（常数），即5｝为常数列.

故答案为：①②③®

2.【2018年河北预赛】欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有

种上楼梯的方法.

【答案】21

【解析】

本题采用分步计数原理.

第一类：。次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；

第二类，I次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有底=6种方法；

第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有琦=10种方法；

第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有值=4种方法；共计21种上楼

梯的方法.

1

3.【2018年浙江预赛】设数列｛%｝满足%=1,an+1=5a„+1（n=l,2,则Sni®.

【答案】哪-8077

16

【解析】

由册+i=5%+1=an+1+^=5（an+；）=册=彳一；，

所以0n=；⑶+52+…+52。18）_等=卷（52。18_1）_竿=詈_哭.

4.【2018年江西预赛】正整数数列｛%｝满足M=3n+2,｛｝｝满足%=5n+3,nWN.在河=

｛1,2,…,2018｝中两数列的公共项的个数是.

【答案】135

【解析】

易知，2018是两个数列在M内最大的一个公共项，除去这个公共项外，用2018分别减去｛册｝、｛%｝的其余

各项，前者得至儿麻｝，为｛3,6,9,…,2016｝,它们是M内所有3的倍数；

后者得到｛屋｝，为｛5,10,15,…,2015｝,它们是M内所有5的倍数；

显然，｛的卜｛b｝的公共项，一一对应于位一｛履｝的公共项，而这种公共项是M中所有15的倍数，为

［誓］=134.因此，所求公共项的个数是134+1=135个.

故答案为：135

5.【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为I的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一

个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上

做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设人„是第n次挖去的小三角形面积之和（如久是第1次挖去的中间小三角形面积，必是第2次挖去的三个

小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为.

【答案】苧"（洎

【解析】

原正三角形的面积为£而第k次一共挖去3J个小三角形，4=翌仔）1.因此，可以采用等比级数求和

416\4/

公式，得到答案为

■■nk-1n

故答案为：[1-(;)]

6.[2018年全国】设整数数列。1，。2，一・，。10满足。10=3。1，。2+。8=2。5，且。计1

・・・，则这样的数列的个数为.

[l+aif2+aj]fi=1,2,9,

【答案】80

【解析】设瓦=%+1一%G{l,2}(i=12…,9),则有

2%=Qi。-Q]=瓦+