2025年人教A新版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教A新版高一数学下册月考试卷293考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、函数的图象是把y=3cos3x的图象平移而得，平移方法是（）A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度2、sin14°cos16°+sin76°cos74°的值是（）

A.

B.

C.

D.-

3、已知a=0.65.1，b=5.10.6，c=log0.65.1，则（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.c＜b＜aD.a＜c＜b4、三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（）A.322B.332C.342D.3525、已知角娄脕

的终边落在直线5x鈭�12y=0

上，则cos娄脕=(

)

A.隆脌1213

B.1213

C.隆脌513

D.鈭�513

6、设e1鈫�e2鈫�

是平面娄脕鈫�

的一组基底，则能作为平面娄脕鈫�

的一组基底的是(

)

A.e1鈫�鈭�e2鈫�e2鈫�鈭�e1鈫�

B.e2鈫�+2e1鈫�e1鈫�+12e2鈫�

C.2e2鈫�鈭�3e1鈫�6e1鈫�鈭�4e2鈫�

D.e1鈫�+e2鈫�e1鈫�鈭�e2鈫�

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、①若a垂直于α内的两条相交直线；则a⊥α；

②若a垂直于α内的无数条直线；则a⊥α；

③若b∥β，则b平行于β内的所有直线；

④若a⊂α、b⊂β，a⊥b；则β⊥α；

⑤若a⊂α、b⊂β，β∥α，则a∥b；

⑥若b⊂β，b⊥α；则β⊥α；

其中正确的是____（只填序号）8、【题文】已知定义在上的函数为单调函数，且则____.9、【题文】已知∈R，若则＝____．10、【题文】若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的表面积为____.____11、若四边形ABCD是菱形，则在向量中，相等的有____对．12、当a＞0且a≠1时，函数f（x）=ax﹣2﹣3必过定点____．13、求值：=______．14、在△ABC中，a比b大2，b比c大2，且最大角的正弦值为则三角形△ABC的面积是______．15、在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线A1C异面的有______条．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)16、计算的值．

17、已知函数f（x）=cos2x+4sin2x+2cosx．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和最小值．

18、（本小题满分10分）某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8最大装水量为72池底和池壁的造价分别为元元怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？19、【题文】已知二次函数的二次项系数为且不等式的解集为

（1）若方程有两个相等的实根，求的解析式；

（2）若的最大值为正数，求的取值范围．20、【题文】如图，已知圆点

（1）求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程；

（2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的求直线的方程.21、【题文】如图，矩形的顶点为原点，边所在直线的方程为顶点的纵坐标为．

（1）求边所在直线的方程；

（2）求矩形的面积．

22、已知函数是定义在[-1；1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[-1，1]，x+y≠0，则有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0

（1）判断f（x）的单调性；并加以证明。

（2）解不等式f（x+）＜f（1-2x）

（3）若f（x）≤m2-2m-2，对任意的x∈[-1，1]恒成立，求实数m的范围．23、如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D是BC的中点，AA1=AB=AC=2；

（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；

（2）求证：A1C∥平面AB1D；

（3）求三棱锥A1-B1DA的体积．评卷人得分四、计算题(共4题，共40分)24、在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=____时，AC+BC的值最小．25、在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，CD=2厘米，AD-BD=3厘米，那么BC=____厘米．26、（2008•宁德）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是____厘米．27、直线y=2x-1与x轴的交点坐标是____，与y轴的交点坐标是____．评卷人得分五、作图题(共1题，共4分)28、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

评卷人得分六、综合题(共3题，共6分)29、设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2++S2009=____．30、如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=；OP=2．

（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时；求点N移动的距离；

（2）求证：△OPN∽△PMN；

（3）写出y与x之间的关系式；

（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．31、如图，已知：⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点，建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M．BO的延长线交⊙O2于点D；且OB：OD=1：3．

（1）求⊙O2半径的长；

（2）求线段AB的解析式；

（3）在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出点P的坐标与此时k=的值，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】【解析】试题分析：因为=所以把y=3cos3x的图象向左平移个单位长度，即得函数的图象，故选B。考点：本题主要考查三角函数图象变换。【解析】【答案】B2、B【分析】

sin14°cos16°+sin76°cos74°=sin14°cos16°+cos14°sin16°=．

故选B．

【解析】【答案】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可得出．

3、B【分析】【解答】解：∵a=0.65.1∈（0，1），b=5.10.6＞1，c=log0.65.1＜0；

∴c＜a＜b．

故选：B．

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．4、C【分析】解：最大的三位七进制的数表示：

666（7）=6×72+6×71+6×70

=294+42+6

=342．

故选C．

先将满足条件的七进制数表示出来；根据七进制与十进制的转换方法计算即可。

七进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位的权重．【解析】【答案】C5、A【分析】解：因为角娄脕

的终边落在直线5x鈭�12y=0

上；

所以若角终边落在第一象限时；设终边上的一点为(12,5)

由三角函数定义可得cos娄脕=1213

若角终边落在第三象限时；设终边上的一点为(鈭�12,鈭�5)

由三角函数定义可得cos娄脕=鈭�1213

所以cos娄脕=隆脌1213

故选A．

根据角娄脕

的终边落在直线5x鈭�12y=0

上；分类讨论，利用三角函数的定义求cos娄脕

．

本题考查三角函数的定义，考查分类讨论的数学思想，正确运用三角函数的定义是关键．【解析】A

6、D【分析】解：对于A隆脽e1鈫�鈭�e2鈫�=鈭�(e2鈫�鈭�e1鈫�)隆脿e1鈫�鈭�e2鈫�

与e2鈫�鈭�e1鈫�

共线；故不能作为平面娄脕

的一组基底；

对于B隆脽e2鈫�+2e1鈫�=2(e1鈫�+12e2鈫�)隆脿e2鈫�+2e1鈫�

与e1鈫�+12e2鈫�

共线；故不能作为平面娄脕

的一组基底；

对于C隆脽2e2鈫�鈭�3e1鈫�=鈭�12(6e1鈫�鈭�4e2鈫�)隆脿2e2鈫�鈭�3e1鈫�

与6e1鈫�鈭�4e2鈫�

共线；故不能作为平面娄脕

的一组基底；

对于D隆脽e1鈫�+e2鈫�

与e1鈫�鈭�e2鈫�

不共线；故能作为平面娄脕

的一组基底；

故选：D

．

找出能作为一组基底的向量方法就是验证它们不共线；故对四个选项进行考查，找出不共线的那一组即可找到正确选项。

本题考查平面向量的基本定理中基底的意义，解题的关键是理解基底中的两个基向量是不共线的，属于中档题．【解析】D

二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

①若a垂直于α内的两条相交直线；

则由直线与平面垂直的判定定理知a⊥α；故①正确；

②若a垂直于α内的无数多条直线；

则当这无数条直线都互相平行时；a不一定垂直于α，故②不正确；

③若b∥β，则b与β内的直线平行或异面；故③不正确；

④若a⊂α、b⊂β，a⊥b；则由平面与平面垂直的判定定理知β与α不一定垂直，故④不正确；

⑤若a⊂α、b⊂β，β∥α，则a∥b或a与b异面；故⑤不正确；

⑥若b⊂β，b⊥α；则由平面与平面垂直的判定定理知β⊥α，故⑥正确．

故答案为：①⑥．

【解析】【答案】①由直线与平面垂直的判定定理进行判断；②当这无数条直线都互相平行时不成立；③若b∥β，则b与β内的直线平行或异面；④由直线与平面垂直的判定定理进行判断；⑤若a⊂α、b⊂β，β∥α，则a∥b或a与b异面；⑥由平面与平面垂直的判定定理进行判断．

8、略

【分析】【解析】

试题分析：设令则由题意得：即

再令则由题意得：即∵函数为上的单调函数解得：即

考点：函数值域，不等式恒成立，等比数列前n项和.【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：因为所以即

考点：指数函数的幂运算．【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为3，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．【解析】【答案】11、2【分析】【解答】菱形ABCD；如下图所示：

向量和大小相等方向相同，故=

同理=

故相等的向量有2对；

故答案为：2.

【分析】根据菱形的性质，结合向量相等的定义，逐一判断给定向量是否相等，可得答案。12、（2，﹣2）【分析】【解答】解：因为a0=1，故f（2）=a0﹣3=﹣2，所以函数f（x）=ax﹣2﹣3必过定点（2；﹣2）

故答案为：（2；﹣2）

【分析】由式子a0=1可以确定x=2时，f（2）=﹣2，即可得答案．13、略

【分析】解：由题意，sin[arccos（-）]==．

故答案为：．

利用反三角函数的定义、同角三角函数的基本关系求得sin[arccos（-）]的值．

本题主要考查反三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．【解析】14、略

【分析】解：由题意可得a-b=2，且b-c=2，得到a＞b＞c；可知A＞B＞C，即A为最大角；

所以sinA=所以A=60°或120°．

又A为最大角，所以A=120°，即cosA=-．

由a-b=2，b-c=2变形得：a=c+4，b=c+2，根据余弦定理a2=b2+c2-2bc•cosA得：

（c+4）2=（c+2）2+c2+c（c+2）；化简得：（c-3）（c+2）=0；

解得：c=3或c=-2（舍去）．

所以a=7，b=5，又sinA=则△ABC的面积S=bcsinA=

故答案为．

由题意根据大边对大角可得A为最大角，进而得到sinA的值为利用特殊角的三角函数值求出A的度数，可得cosA的值，根据余弦定理求出方程的解即可得到c的值，从而确定出a与b的值，然后再由b；c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，根据三角形的边角关系得出A为最大角是本题的突破点，熟练掌握定理及公式，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键，同时要理解A不能为60°．【解析】15、略

【分析】解：由图象知6条棱：BA、AD、AA1、C1C、C1B1、D1C1所在的直线与A1C所在的直线既不相交也不平行；即异面．

故答案为：6．

根据异面直线的定义，在12棱中，分别找到与A1C既不相交也不平行的棱即可。

本题考察空间中直线的位置关系：异面直线，以及较好的识图、读图能力，属简单题【解析】6三、解答题(共8题，共16分)16、略

【分析】

由换底公式得；

原式=•=1．

【解析】【答案】由换底公式即可求得．

17、略

【分析】

（Ⅰ）=

（Ⅱ）f（x）=cos2x+4sin2x+2cosx=2cos2x-1+4-4cos2x+2cosx

=-2cos2x+2cosx+3=

f（x）的最大值为最小值为-1

【解析】【答案】（Ⅰ）直接把代入函数的表达式；求解即可．

（Ⅱ）直接利用二倍角公式化简表达式；通过配方求出好的最值．

18、略

【分析】

设池底一边长为水池的高为池底、池壁造价分别为则总造价为由最大装水量知当且仅当即时，总造价最低，答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为时，总造价最低，最低造价为元。【解析】略【解析】【答案】19、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）抓住二次函数的图像与横坐标的交点、二次不等式解集的端点值、二次方程的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，（2）结合二次函数的图象来解决是当不等式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式与0的关系，（3）当a>0时；配方法最大值，也可用顶点坐标，或在对称轴处取得最大值。

试题解析：由题意可设且

即2分。

（1）

即有两个相等的实根；

得即

而得即

整理得．6分。

（2）

即

而得即9分。

或而

得的取值范围为．12分。

考点：二次函数和一元二次不等式解的关系及二次函数的最值【解析】【答案】（1）（2）20、略

【分析】【解析】

试题分析：由圆心在直线上，设出圆心根据圆与圆相切，得到点为切点，表示半径，由求的值，即可求出圆的方程；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，显然满足题意；后考虑直线斜率存在的情况，由对称性得到圆心到直线的距离为5，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出的值，确定此时直线的方程，综上，得到所有满足题意直线的方程.

试题解析：（1）由得2分。

所以圆的圆心坐标为

又圆的圆心在直线上。

依题意可知两圆外切于点，设圆的圆心坐标为3分。

则有解得４分。

所以圆的圆心坐标为半径5分。

故圆的方程为

综上可知，圆的方程为6分。

(Ⅱ)因为圆弧恰为圆圆周的所以8分。

所以点到直线的距离为59分。

当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为5，直线即为轴。

所以此时直线的方程为11分。

当直线的斜率存在时，设直线的方程为即

所以12分。

解得13分。

所以此时直线的方程为

故所求直线的方程为或．14分。

考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆的方程.【解析】【答案】（1）（2）或21、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）根据给出的条件矩形可知即有从而根据的方程为可求得再由直线均过原点可知边所在直线的方程为边所在直线的方程为（2）根据条件中点的纵坐标为结合点在直线从而根据点到直线距离公式可求到直线的距离即的长度，同理可求得到直线的距离即的长度，从而可求得矩形的面积.

试题解析：（1）∵是矩形，∴1分。

由直线的方程可知，∴4分。

∴边所在直线的方程为即5分。

边所在直线的方程为即6分。

（2）∵点在直线上，且纵坐标为

∴点的横坐标由解得为即．7分。

11分。

∴．12分。

考点：1.直线的方程；2.两直线的位置关系.【解析】【答案】（1）边所在直线的方程为边所在直线的方程为（2）22、略

【分析】

（1）任取a，b∈[-1，1]，且a＜b，则b-a＞0，结合（x+y）[f（x）+f（y）]＞0，判断出f（b）＞-f（-a）；结合函数单调性的定义，可得结论；

（2）若f（x+）＜f（1-2x），则-1≤x+＜1-2x≤1；解得原不等式的解集；

（3）f（x）max=f（1）=1，故m2-2m-2≥1；解得实数m的范围．

本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的奇偶性与函数的单调性，函数恒成立问题，难度中档．【解析】解：（1）f（x）是定义在[-1；1]上的增函数，理由如下：

任取a，b∈[-1，1]，且a＜b，则b-a＞0；

∵（x+y）[f（x）+f（y）]＞0；

∴（b-a）[f（b）+f（-a）]＞0；

即f（b）+f（-a）＞0；

即f（b）＞-f（-a）；

∵函数是定义在[-1；1]上的奇函数；

∴f（b）＞f（a）；

∴f（x）是定义在[-1；1]上的增函数；

（2）∵f（x+）＜f（1-2x）；

-1≤x+＜1-2x≤1

解得：x∈[0，）

（3）∵f（x）在[-1；1]上单调递增；

所以f（x）max=f（1）=1；

即：对任意的x在[-1，1]上有m2-2m-2≥1成立；

解得：m≥3或m≤-123、略

【分析】

（1）由正三棱柱的几何特征可得AD⊥B1B，由等边三角形三线合一，可得AD⊥BD，结合线面垂直及面面垂直的判定定理，可依次证得AD⊥平面B1BCC1及平面AB1D⊥平面B1BCC1；

（2）连接A1B，交AB1于E，连DE，由三角形中位线定理可得DE∥A1C，进而根据线面平行的判定定理可得A1C∥平面AB1D．

（3）利用等体积转化，即可求三棱锥A1-B1DA的体积．

本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥A1-B1DA的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．【解析】（1）证明：因为B1B⊥平面ABC；AD⊂平面ABC；

所以AD⊥B1B

因为D为正△ABC中BC的中点；

所以AD⊥BD

又B1B∩BC=B；

所以AD⊥平面B1BCC1

又AD⊂平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1

（2）证明：连接A1B，交AB1于E；连DE

因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点。

又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线；

所以DE∥A1C

又DE⊂平面AB1D；

所以A1C∥平面AB1D；

（3）解：三棱锥A1-B1DA的体积等于三棱锥D-A1B1A的体积==．四、计算题(共4题，共40分)24、略

【分析】【分析】先作出点A关于x=1的对称点A′，再连接A'B，求出直线A'B的函数解析式，再把x=1代入即可得．【解析】【解答】解：作点A关于x=1的对称点A'（-1；-2）；

连接A'B交x=1于C，可求出直线A'B的函数解析式为y=；

把C的坐标（1，n）代入解析式可得n=-．25、略

【分析】【分析】设BD=x，则AD=3+x，在Rt△ACD、Rt△BCD、Rt△ABC中，分别应用勾股定理先求出x的值，然后求出BC的长．【解析】【解答】解：设BD=x；则AD=3+x；

在Rt△ACD中，根据勾股定理有：（3+x）2+22=AC2；

在Rt△BCD中，根据勾股定理有：x2+22=BC2；

在Rt△ABC中，根据勾股定理有：AC2+BC2=AB2=（3+2x）2；

∴（3+x）2+22+x2+22=（3+2x）2；

解得：x=1或-4（舍去）．

又∵12+22=BC2；

∴BC=．

故答案为：．26、略

【分析】【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．【解析】【解答】解：∵∠HEM=∠AEH；∠BEF=∠FEM；

∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°；

同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°；

∴四边形EFGH为矩形．

∵AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF===5；

∴AD=5厘米．

故答案为5．27、略

【分析】【分析】根据函数与y轴的交点的横坐标为0，函数与x轴的交点的纵坐标为0．【解析】【解答】解：当y=0时；x=0.5；

当x=0时；y=-1．

∴直线y=2x-1与x轴的交点坐标是（0.5，0），与y轴的交点坐标是（0，-1）．五、作图题(共1题，共4分)28、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．六、综合题(共3题，共6分)29、略

【分析】【分析】令x=0，得y=，令y=0，得x=，则Sk=•=（-），根据三角形面积公式求和．【解析】【解答】解：依题意，得直线与y轴交于（0，），与x轴交于（；0），则

则Sk=•=（-）；

S1+S2++S2009

=（1-+-++-）

=（1-）

=．

故答案为：．30、略

【分析】【分析】（1）当PM旋转到PM′时；点N移动到点N′，点N移动的距离NN′=ON′-ON；

（2）已知两三角形两角对应相等；可利用AAA证相似。

（3）可由（2）问的三角形相似得到y与x之间的函数关系式．

（4）根据图形得出S的关系式，然后在图形内根据x的取值范围确定S的取值范围．【解析】【解答】（1）解：∵sinα=且α为锐角；

∴α=60°；即∠BOA=∠MPN=60°．（1分）

∴初始状态时；△PON为等边三角形；

∴ON=OP=2；当PM旋转到PM'时，点N移动到N'；

∵∠OPM'=30°；∠BOA=∠M'PN'=60°；

∴∠M'N'P=30°．（2分）

在Rt△OPM'中；ON'=2PO=2×2=4；

∴NN'=ON'-ON=4-2=2；

∴点N移动的距离为2；（3分）

（2）证明：在△OPN和△PMN中；

∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，

∴△OPN∽△PMN；（4分）

（3）解：∵MN=ON-OM=y-x；

∴PN2=ON•MN=y（y-x）=y2-xy．

过P点作PD⊥OB；垂足为D．

在Rt△OPD中；

OD=OP•cos60°=2×=1，PD=POsin60°=；

∴DN=ON-OD=y-1．

在Rt△PND中；

PN2=PD2+DN2=（）2+（y-1）2=y2-2y+4．（5分）

∴y2-xy=y2-2y+4；

即y=；（6分）

（4）解：在△OPM中，OM边上的高PD为；

∴S=•OM•PD=•x•x．（8分）

∵y＞0；

∴2-x＞0；即x＜2．

又∵x＞0；

∴