平行四边形综合证明题3

33．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠ECG＝45°，请你利用（1）的结论证明：．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC=6，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝2．求△ECG的面积．AABCDEFABCGEABCDE图1图2图3G【答案】（1）先根据正方形的性质可得BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，即可证得△CBE≌△CDF，从而得到结论；（2）延长AD至F，使DF=BE．连接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，即可得到∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，可得∠BCE+∠GCD＝45°．即可得到∠ECG＝∠GCF．又CE＝CF，GC＝GC，即可证得△ECG≌△FCG，即可证得结论；（3）15【解析】试题分析：（1）先根据正方形的性质可得BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，即可证得△CBE≌△CDF，从而得到结论；（2）延长AD至F，使DF=BE．连接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，即可得到∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，可得∠BCE+∠GCD＝45°．即可得到∠ECG＝∠GCF．又CE＝CF，GC＝GC，即可证得△ECG≌△FCG，即可证得结论；（3）过C作CD⊥AG，交AG延长线于D．证得四边形ABCD为正方形．由（2）中△ECG≌△FCG，即得GE＝GF．GE＝DF＋GD＝BE＋GD，设DG＝x，可得AE=4，AG＝6—x，EG=2+x．在Rt△AEG中，根据勾股定理即可列方程求得x的值，再根据三角形的面积公式即可求得结果．（1）在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE＝CF．（2）如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF．AABCDEF图2G由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠GCD＝45°．∴∠DCF＋∠GCD＝∠GCF＝45°即∠ECG＝∠GCF．又∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．∴=．∴．（3）如图3，过C作CD⊥AG，交AG延长线于D．在直角梯形ABCG中，BCADEG（第23题答案图3）∵AG∥BC，BCADEG（第23题答案图3）又∠CDA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形．已知∠ECG＝45°．由（2）中△ECG≌△FCG，∴GE＝GF．∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD． 设DG＝x，∵BE=2，AB=6，∴AE=4，AG＝6—x，EG=2+x．在Rt△AEG中，，即．解得：x＝3．∴==15． ∴△CEG的面积为15．考点：正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，直角梯形的性质，勾股定理点评：此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．34．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。请探究：∴，∴在等腰直角三角形△DOH中，∵DP=HP，∴OP⊥DP，，∴，∴OP=PD【解析】试题分析：（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（－6，0），B（0，6），∴OA=OB，∴，在△AOB中，，∴（2）由，DA=DP，推出DP⊥AD，再利用（1）中的结论，结合图像，以及全等三角形的判定，可以推出，∴PF=PQ。（3）由于PB=PE，以及全等三角形的判定定理推出△PBH≌△PED，由此可以推出BH∥ED，又因为在等腰直角三角形ADE中，AD=BH，，所以利用全等三角形的判定定理，推出△DAO≌△HBO，同时利用等腰直角三角形的特殊性，可以推出OP=PD考点：全等三角形的判定定理点评：本题看似复杂，实则许多地方都用到了全等三角形的判断，全等三角形在中考中是重点，也是难点，学生应该加强这方面的练习，做到举一反三。37．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG。AABCDEFGN（1）连结GD，求证△ADG≌△ABE；（2）连结FC，求证∠FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由。【答案】（1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可证得结果；（3）存在（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证．【解析】试题分析：（1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可证得结果；（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可证得结果．（1）如图∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90°∴∠DAG=∠BAE∴△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°∴∠BAE=∠HEF∵AE=EF∴△ABE≌△EHF∴AB=EH，BE=FH∴AB=BC=EH∴BE+EC=EC+CH∴CH=BE=FH∴∠FCN=45°；（3）在AB上取AQ=BE，连接QD∵AB=AD∴△DAQ≌△ABE∵△ABE≌△EHF∴△DAQ≌△ABE≌△ADG∴∠GAD=∠ADQ∴AG、QD平行且相等又∵AG、EF平行且相等∴QD、EF平行且相等∴四边形DQEF是平行四边形∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形．考点：正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定点评：本题知识点较多，难度较大，熟练掌握平面图形的基本概念是解答本题的关键.38．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？【答案】（1）8秒（2）17/3。【解析】试题分析：（1）利用时间=路程÷速度和求得；（2）分M点在E点左右两侧两种情况讨论.考点：矩形的性质．点评：本题解题关键是M、N运动时分情况讨论.39．如图，等腰梯形中，AB∥DC，AD＝BC=5，DC=7，AB=13，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AD→DC→CB→BA向终点A运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动，设运动时间为t秒。（12分）⑴求梯形的高为多少？⑵分段考虑，当t为何值时，四边形PQBC为平行四边形时？⑶在整个运动过程中，是否存在某一时刻，与重合？【答案】见解析【解析】试题分析:解：⑴高为4⑵当点P在AD边上时，PC与BQ不平行，故此时四边形PQBC不可能为平行四边形；

当点P在DC边上时，如图1。PC=12-2t，BQ=t，∵四边形PQBC为平行四边形，∴PC=BQ。∴12-2t=t，t=4。∴当t=4时，四边形PQBC为平行四边形。当点P在BC边上时，PC与BQ不平行，当点P在AB边上时，PC与BQ不平行。⑶设时间为，不符合题意。考点：本题考查了平行四边形的性质定理。点评：此类试题属于难度较大的试题，主要考查考生对思维变换的把握和平行四边形基本性质的运用。40．把长方形纸条沿，同时折叠，、两点恰好都落在边的点处，若，，，则长方形的面积为多少？（8分）【答案】见