大连15期末数学试卷

大连15期末数学试卷一、选择题

1.下列各数中，有理数是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{3}{4}$

D.$\sqrt[3]{8}$

2.已知$a=2$，$b=-3$，则$a^2+b^2$的值为（）

A.1

B.5

C.9

D.13

3.若$x^2-4x+3=0$，则$x$的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.下列函数中，是反比例函数的是（）

A.$y=x^2$

B.$y=2x+3$

C.$y=\frac{1}{x}$

D.$y=3x^2-2x+1$

5.已知$m$，$n$是方程$x^2-(m+2)x+m=0$的两个根，则$m$的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.若$a$，$b$是方程$x^2-4x+4=0$的两个根，则$a+b$的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

7.下列各数中，属于无理数的是（）

A.$\sqrt{4}$

B.$\sqrt{2}$

C.$\pi$

D.$\frac{3}{4}$

8.若$a$，$b$是方程$x^2-5x+6=0$的两个根，则$ab$的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

9.下列函数中，是二次函数的是（）

A.$y=x^3$

B.$y=2x+3$

C.$y=\frac{1}{x}$

D.$y=3x^2-2x+1$

10.若$a$，$b$是方程$x^2-3x+2=0$的两个根，则$a-b$的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、判断题

1.平方根的定义是：如果一个正数$a$的平方等于$b$，即$a^2=b$，那么这个正数$a$就是$b$的平方根。（）

2.在一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中，如果$a=0$，那么它就不再是二次方程。（）

3.若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根$x_1$和$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，则该方程一定有实数根。（）

4.反比例函数的图像是一条直线，且这条直线一定经过原点。（）

5.任何实数的立方根都有两个值，一个正数和一个负数。（）

三、填空题

1.若一个一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根分别是$x_1$和$x_2$，则该方程的判别式为$\Delta=\boxed{b^2-4ac}$。

2.若$a$，$b$是方程$x^2-5x+6=0$的两个根，则$ab=\boxed{6}$。

3.若$\sqrt{3}$的平方根是$\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$，则$\sqrt{3}$的立方根是$\boxed{\pm\sqrt[3]{3}}$。

4.若$x^2-4x+3=0$的两个根分别是$x_1$和$x_2$，则$x_1\cdotx_2=\boxed{3}$。

5.若$y=2x-3$是一个一次函数，则当$x=\boxed{2}$时，$y$的值为$\boxed{1}$。

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

答案：一元二次方程的解法主要有配方法、公式法和因式分解法。配方法是通过将方程左边化为完全平方形式，然后开方求解；公式法是直接使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求解；因式分解法是将方程左边因式分解为两个一次因式的乘积，然后令每个因式等于零求解。例如，方程$x^2-5x+6=0$可以因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，所以$x=2$或$x=3$。

2.解释什么是实数和虚数，并举例说明。

答案：实数是指可以表示为分数或小数的数，包括正数、负数和零。虚数是形如$bi$的数，其中$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。例如，$2$和$-3$是实数，而$i$和$3i$是虚数。

3.如何判断一个一元二次方程的根是实数还是复数？

答案：通过计算一元二次方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$。如果$\Delta>0$，则方程有两个不相等的实数根；如果$\Delta=0$，则方程有两个相等的实数根；如果$\Delta<0$，则方程没有实数根，而是两个共轭复数根。

4.简述一次函数的性质，并举例说明。

答案：一次函数的性质包括：函数图像是一条直线，斜率$k$决定了直线的倾斜程度，截距$b$决定了直线与$y$轴的交点。一次函数$y=kx+b$的图像是一条通过点$(0,b)$且斜率为$k$的直线。例如，函数$y=2x+1$的图像是一条斜率为$2$，截距为$1$的直线。

5.解释什么是函数的单调性，并举例说明。

答案：函数的单调性是指函数在其定义域内，随着自变量的增加，函数值是增加还是减少。如果对于任意$x_1<x_2$，都有$f(x_1)\leqf(x_2)$，则函数$f(x)$是单调递增的；如果都有$f(x_1)\geqf(x_2)$，则函数$f(x)$是单调递减的。例如，函数$f(x)=x^2$在$x\geq0$时是单调递增的，而在$x<0$时是单调递减的。

五、计算题

1.计算下列各式的值：

$$\sqrt{16}+\sqrt{25}-\sqrt{36}$$

2.解一元二次方程：

$$2x^2-5x+3=0$$

3.求函数$y=3x-4$在$x=2$时的函数值。

4.计算下列复数的模：

$$\sqrt{3}+4i$$

5.解方程组：

$$\begin{cases}

2x+3y=8\\

x-y=1

\end{cases}$$

六、案例分析题

1.案例分析：某学校为了提高学生的数学成绩，决定在数学教学中引入探究式学习法。以下是一位教师在教授“一元二次方程的解法”这一章节时的教学案例：

教学目标：

-学生能够掌握一元二次方程的解法，包括公式法和因式分解法。

-学生能够通过探究式学习，培养分析问题和解决问题的能力。

教学过程：

-教师首先向学生展示了一些一元二次方程的实例，让学生观察并总结方程的特点。

-学生分组讨论，尝试自己解一些简单的一元二次方程。

-教师引导学生总结出公式法的步骤，并演示如何使用求根公式求解方程。

-学生继续分组，尝试使用因式分解法解方程，教师巡视指导。

-学生汇报自己的解题过程，教师点评并纠正错误。

问题：

（1）请分析这位教师在教学过程中采用了哪些教学策略？

（2）根据案例，提出改进教学过程的建议。

2.案例分析：在一次数学竞赛中，有一道题目要求学生求解函数$y=2x^3-3x^2+4$的极值。以下是两位学生的解题过程：

学生A：

-首先对函数求导，得到$y'=6x^2-6x$。

-然后令$y'=0$，解得$x=0$或$x=1$。

-计算这两个点的函数值，得到$y(0)=4$和$y(1)=3$。

-因此，函数在$x=0$处取得极大值$4$，在$x=1$处取得极小值$3$。

学生B：

-首先对函数求导，得到$y'=6x^2-6x$。

-然后令$y'=0$，解得$x=0$或$x=1$。

-计算这两个点的函数值，得到$y(0)=4$和$y(1)=3$。

-因为导数在$x=0$处为正，在$x=1$处为负，所以函数在$x=0$处取得极大值$4$，在$x=1$处取得极小值$3$。

问题：

（1）请分析两位学生的解题过程，比较他们的方法有何异同。

（2）根据案例，讨论在数学教学中如何培养学生的逻辑思维能力和解题技巧。

七、应用题

1.应用题：某商店正在促销，原价$200$元的商品打$8$折出售。如果顾客再使用$50$元的优惠券，求顾客最终需要支付的金额。

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$4$厘米、$3$厘米和$2$厘米，求这个长方体的表面积。

3.应用题：一辆汽车以$60$公里/小时的速度行驶，从甲地到乙地需要$2$小时。如果汽车以$80$公里/小时的速度行驶，求汽车从甲地到乙地所需的时间。

4.应用题：一个班级有$30$名学生，其中$20$名学生参加了数学竞赛，$15$名学生参加了物理竞赛，$5$名学生两个竞赛都参加了。求这个班级至少有多少名学生没有参加任何竞赛。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.C

2.D

3.B

4.C

5.A

6.C

7.B

8.A

9.D

10.A

二、判断题答案

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

三、填空题答案

1.$b^2-4ac$

2.6

3.$\pm\sqrt[3]{3}$

4.3

5.2，1

四、简答题答案

1.一元二次方程的解法包括配方法、公式法和因式分解法。配方法是将方程左边化为完全平方形式，然后开方求解；公式法是使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求解；因式分解法是将方程左边因式分解为两个一次因式的乘积，然后令每个因式等于零求解。例如，方程$x^2-5x+6=0$可以因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，所以$x=2$或$x=3$。

2.实数是可以表示为分数或小数的数，包括正数、负数和零。虚数是形如$bi$的数，其中$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。例如，$2$和$-3$是实数，而$i$和$3i$是虚数。

3.通过计算一元二次方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$。如果$\Delta>0$，则方程有两个不相等的实数根；如果$\Delta=0$，则方程有两个相等的实数根；如果$\Delta<0$，则方程没有实数根，而是两个共轭复数根。

4.一次函数的性质包括：函数图像是一条直线，斜率$k$决定了直线的倾斜程度，截距$b$决定了直线与$y$轴的交点。一次函数$y=kx+b$的图像是一条通过点$(0,b)$且斜率为$k$的直线。例如，函数$y=2x+1$的图像是一条斜率为$2$，截距为$1$的直线。

5.函数的单调性是指函数在其定义域内，随着自变量的增加，函数值是增加还是减少。如果对于任意$x_1<x_2$，都有$f(x_1)\leqf(x_2)$，则函数$f(x)$是单调递增的；如果都有$f(x_1)\geqf(x_2)$，则函数$f(x)$是单调递减的。例如，函数$f(x)=x^2$在$x\geq0$时是单调递增的，而在$x<0$时是单调递减的。

五、计算题答案

1.$\sqrt{16}+\sqrt{25}-\sqrt{36}=4+5-6=3$

2.$2x^2-5x+3=0$可以因式分解为$(2x-3)(x-1)=0$，所以$x=\frac{3}{2}$或$x=1$。

3.当$x=2$时，$y=3\cdot2-4=2$。

4.复数$\sqrt{3}+4i$的模是$\sqrt{(\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{3+16}=\sqrt{19}$。

5.解方程组：

$$\begin{cases}

2x+3y=8\\

x-y=1

\end{cases}$$

由第二个方程得$x=y+1$，代入第一个方程得$2(y+1)+3y=8$，解得$y=1$，再代回得$x=2$。

六、案例分析题答案

1.（1）教师采用了观察法、讨论法、归纳法等教学策略。

（2）改进建议包括：提供更多不同难度层次的题目，鼓励学生独立思考，增加小组合作的机会，以及使用多媒体辅助教学等。

2.（1）两位学生的解题过程相同，都使用了求导和求根的方法。

（2）在数学教学中，可以通过讲解解题思路、提供丰富的例题、鼓励学生进行讨论和反思等方式来培养学生的逻辑思维能力和解题技巧。

知识点总结：

本试卷涵盖了数学教育中的基础理论部分，包括实数和虚数、一元二次方程的解法、函数的性质、单调性、应用题的解决方法等。以下是对各知识点的分类和总结：

1.实数和虚数：实数包括有理数和无理数，虚数是形如$bi$的数，其中$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。

2.一元二次方程的解法：包括配方法、公式法和因式分解法，用于求解形如$ax^2+bx+c=0$的一元二次方程。