平面向量易错题解析

第5页共16页平面向量易错题解析1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用；）3.你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算）4.你弄清“”与“”了吗？[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______（答：（4）（5））2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使e1＋e2。如（1）若，则______（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.B.C.D.（答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：）；（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___（答：0）4.实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。5.平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，，，，则_________（答：－9）；（2）已知，与的夹角为，则等于____（答：1）；（3）已知，则等于____（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：）（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：①；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；③非零向量，夹角的计算公式：；④。如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________=从而:当时,与题意矛盾,不合题意;当时,;当时,解得,不满足;综合可得:实数的值为.例题2在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.答案:(1)若即故,从而解得;(2)若即,也就是,而故,解得;(3)若即,也就是而,故,解得综合上面讨论可知,或或例题4已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且·=-1，(1)求向量；(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求+的取值范围。解：(1)设=(x,y) 则由<,>=得：cos<,>==① 由·=-1得x+y=-1②联立①②两式得或 ∴=(0,-1)或(-1,0)(2)∵<,>=得·=0若=(1,0)则·=-10故(-1,0)∴=(0,-1) ∵2B=A+C，A+B+C=B=∴C= +=(cosA,2cos2)=(cosA,cosC) ∴+===== ==∵0<A<∴0<2A<∴-1<cos(2A+)<∴+()例题5已知函数f(x)=mx-1(mR且m0)设向量)，，，，当(0，)时，比较f()与f()的大小。解：=2+cos2，=2sin2+1=2-cos2f()=m1+cos2=2mcos2， f()=m1-cos2=2msin2于是有f()-f()=2m(cos2-sin2)=2mcos2 ∵(0,)∴2(0,)∴cos2>0 ∴当m>0时，2mcos2>0，即f()>f() 当m<0时，2mcos2<0，即f()<f()例题6已知A、B、C为ABC的内角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2(1)当f(A、B)取最小值时，求C(2)当A+B=时，将函数f(A、B)按向量平移后得到函数f(A)=2cos2A求解：(1)f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1当sin2A=,sin2B=时取得最小值， ∴A=30或60，2B=60或120C=180-B-A=120或(2)f(A、B)=sin22A+cos22()-== =例题7已知向量（m为常数），且,不共线，若向量,的夹角落<,>为锐角，求实数x的取值范围. 解：要满足<>为锐角只须>0且（） === 即 x(mx-1)>0 1°当m>0时x<0或 2°m<0时，x(-mx+1)<0， 3°m=0时 只要x<0 综上所述：x>0时， x=0时， x<0时，例题8已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，（1）用k表示a·b;（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。解（1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|a－kb|)2k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)ba·b=∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，∴a2=1,b2=1,∴a·b==（2）∵k2+1≥2k，即≥=，∴a·b的最小值为，又∵a·b=|a|·|b|·cos，|a|=|b|=1∴=1×1×cos。∴=60°,此时a与b的夹角为60°。错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·例题9已知向量，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，且，求的值．解（Ⅰ）,.,,即..（Ⅱ），，.例题10已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足（），，，．（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；（Ⅱ）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围．解：（Ⅰ）∵，，∴MN垂直平分AF．又，∴点M在AE上，∴，，∴，∴点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，∴．∴点M的轨迹W的方程为（）．（Ⅱ）设∵，，∴∴由点P、Q均在椭圆W上，∴消去并整理，得，由及，解得．基础练习题1.设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A、B、C、D、答案：A点评：易误选C，错因：忽视与反向的情况。2.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心正确答案：B。错误原因：对理解不够。不清楚与∠BAC的角平分线有关。3.若向量=(cos,sin)，=，与不共线，则与一定满足（） A．与的夹角等于- B．∥C．(+)(-) D．⊥正确答案：C错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。4.已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且=t(0≤t≤1)则·的最大值为 （ ） A．3 B．6 C．9 D．12正确答案：C错因：学生不能借助数形结合直观得到当OPcos最大时，·即为最大。5.在中,,则的值为()A20BCD错误分析:错误认为,从而出错.答案:B略解:由题意可知,故=.6.已知向量=(2cos，2sin)，()，=（0,-1)，则与的夹角为() A．- B．+ C．- D．正确答案：A错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，]。7.如果，那么（） A．B．C．D．在方向上的投影相等正确答案：D。错误原因：对向量数量积的性质理解不够。8.已知向量则向量的夹角范围是（）A、[π/12，5π/12]B、[0，π/4]C、[π/4，5π/12]D、[5π/12，π/2]正确答案：A错因：不注意数形结合在解题中的应用。9.设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个答案：C点评：①②④正确，易错选D。10.以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使，则的坐标为（）。A、（2，-5）B、（-2，5）或（2，-5）C、（-2，5）D、（7，-3）或（3，7）正解：B设，则由①而又由得②由①②联立得。误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。11.设向量，则是的（）条件。A、充要B、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要正解：C若则，若，有可能或为0，故选C。误解：，此式是否成立，未考虑，选A。12.在OAB中，，若，则=（）A、B、C、D、正解：D。∵∴（LV为与的夹角）∴∴∴误解：C。将面积公式记错，误记为13.设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（A）A、B、（2，+C、（—D、（-错解：C错因：忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况正解：A14.设是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：①②③④若不平行其中正确命题的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个正确答案：(B)错误原因：本题所述问题不能全部搞清。15.若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是______________.错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.正确解法:，的夹角为钝角,解得或(1)又由共线且反向可得(2)由(1),(2)得的范围是答案:.16.已知平面上三点A、B、C满足的值等于 （C）A．25 B．24 C．－25 D．－2417.已知AB是抛物线的任一弦，F为抛物线的焦点，l为准线.m是过点A且以向量为方向向量的直线.（1）若过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C，求证：|AF|=|CF|；（2）若异于原点），直线OB与m相交于点P，求点P的轨迹方程；（3）若AB过焦