【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修5双基限时练12

双基限时练(十二)一、选择题1．正弦定理的适用范围是()A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形答案D2．在△ABC中，下列等式总能成立的是()A．acosC＝ccosA B．bsinC＝csinAC．abcosC＝bcsinB D．asinC＝csinA解析由正弦定理可知．答案D3．在△ABC中，a＝2eq\r(3)，b＝2eq\r(2)，B＝45°，则A为()A．60°或120° B．60°C．30°或150° D．30°解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(2\r(3)×\f(\r(2),2),2\r(2))＝eq\f(\r(3),2)，又a>b.故A＝60°或120°.答案A4．在△ABC中，A＝45°，AB＝2，BC＝eq\r(2)，则△ABC的解的个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．1或2个解析由于eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，所以sinC＝eq\f(2×\f(\r(2),2),\r(2))＝1.又C为三角形的内角，故C只有一个解．答案B5．在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．4eq\r(2) B．4eq\r(3)C．4eq\r(6) D．16解析A＝180°－B－C＝45°，由正弦定理，得eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(8×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝4eq\r(6).答案C6．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),3)解析∵a＝15，b＝10，A＝60°，∴B<60°.又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3),3)，cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(\r(6),3).答案D二、填空题7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，则A＝________，△ABC外接圆的半径为________．解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(1,2)，又A为三角形的内角，且a<c，∴A＝eq\f(π,6).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2＝2R，∴△ABC外接圆的半径为1.答案eq\f(π,6)18．在△ABC中，已知b＋c＝m，B＝α，C＝β，则a＝________.解析由正弦定理eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)所以a＝eq\f(msinA,sinB＋sinC)＝eq\f(sinα＋βm,sinα＋sinβ).答案eq\f(sinα＋βm,sinα＋sinβ)9．在△ABC中，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC的外形为________．解析由eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)及正弦定理得tanA＝tanB＝tanC.又A、B、C为三角形的内角，得A＝B＝C.答案等边三角形三、解答题10．在△ABC中，若(b＋c):(c＋a):(a＋b)＝4:5:6，求sinA:sinB:sinC的值．解设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，则a＝eq\f(7,2)k，b＝eq\f(5,2)k，c＝eq\f(3,2)k，由正弦定理得sinAsinBsinC＝abc＝753.11．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，c＝1，求此三角形的最小边．解∵A＝60°，B＝45°，∴C＝180°－60°－45°＝75°.∴最小边即为b.由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(sin45°,sin75°)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq\r(3)－1.12．在△ABC中，A＝45°，a＝2，c＝eq\r(6)，解此三角形．解由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(\r(6),2)sin45°＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2).∵a<c，∴C＝60°或C＝120°.若C＝60°，则B＝75°；若C＝120°，则B＝15°，均符合题意．当B＝75°时，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(sinB,sinA)·a＝eq\r(3)＋1；当B＝15°时，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(sinB,sinA)·a＝eq\r(3)－1.综上，b＝eq\r(3)＋1，C＝60°，B＝75°，或b＝eq\r(3)－1，C＝120°，B＝15°.思维探究13．在△ABC中，已知eq\f(b＋a,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，且2sinA·sinB＝2sin2C，试推断其外形．解由正弦定理可得eq\f(b＋a,a