【优化方案】2021高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第7章-第2课时

[基础达标]一、选择题1．(2022·吉林长春市调研)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()A.eq\f(3,2)π B．2πC．3π D．4π解析：选A.依题意知，该几何体是一个底面半径为eq\f(1,2)、高为1的圆柱，其表面积为2π(eq\f(1,2))2＋2π×eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)π.2.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2eq\r(3)，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4 B．2eq\r(3)C．2D.eq\r(3)解析：选B.设底面边长为x，则V＝eq\f(\r(3),4)x3＝2eq\r(3)，∴x＝2.由题意知这个正三棱柱的侧视图为长为2，宽为eq\r(3)的矩形，其面积为2eq\r(3).3．(2022·武汉市部分学校调研测试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．16 B．24C．34 D．48解析：选A.由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其底面是长为6，宽为2的矩形，高为4，故该几何体的体积是V＝eq\f(1,3)×6×2×4＝16.4．(2022·广东广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)的值等于()A.eq\f(2,π) B.eq\f(6,π)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,2)解析：选D.设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝eq\f(3,4)a2，即a＝eq\f(2\r(3),3)R，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))2)＝eq\f(π,2).5.(2021·高考浙江卷)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3解析：选B.此几何体为一个长方体ABCD­A1B1C1D1被截去了一个三棱锥A­DEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×4×3)×4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．二、填空题6．(2022·武汉市部分学校高三调研测试)已知圆柱M的底面半径与球O的半径相同，且圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V圆柱∶V球＝________.解析：由题意，2πr2＋2πrh＝4πr2，则r＝h.故V圆柱∶V球＝πr2h∶eq\f(4,3)πr3＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7．(2022·武汉市部分学校高三联考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________cm2.解析：由三视图可知，原几何体是一个半圆锥，其底面半圆的半径为2，高为3，故此几何体的表面积是S＝eq\f(1,2)π×22＋eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)π×2×eq\r(32＋22)＝2π＋eq\r(13)π＋6.答案：2π＋eq\r(13)π＋68．(2022·湖北武汉市武昌区联考)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2eq\r(3)的圆台，则几何体的表面积S＝π×1＋π×9＋eq\f(1,2)×4×(2π＋6π)＝26π.答案：26π三、解答题9.(2022·浙江杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圆台－V圆锥＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).[力气提升]一、选择题1．(2022·宜昌市一中高三模拟)一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为eq\r(3)的球，则该棱柱体积的最大值为()A.eq\f(2\r(3),3) B．3eq\r(3)C.eq\f(3\r(3),2) D．6eq\r(3)解析：选B.设该三棱柱的底面边长为a，高为h，则底面正三角形的外接圆半径是eq\f(a,2sin60°)＝eq\f(a,\r(3))，依题意有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2，即eq\f(a2,9)＋eq\f(h2,12)＝1,1＝eq\f(a2,18)＋eq\f(a2,18)＋eq\f(h2,12)≥3eq\r(3,\f(a2,18)×\f(a2,18)×\f(h2,12))，当且仅当eq\f(a2,18)＝eq\f(h2,12)，即a＝eq\r(6)，h＝2时取等号，此时a2h取得最大值，因此该棱柱的体积eq\f(\r(3),4)a2h的最大值是eq\f(\r(3),4)×6×2＝3eq\r(3).2．(2022·高考湖北卷)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈eq\r(3,\f(16,9)V).人们还用过一些类似的近似公式．依据π＝3.14159…推断，下列近似公式中最精确的一个是()A．d≈eq\r(3,\f(16,9)V) B．d≈eq\r(3,2V)C．d≈eq\r(3,\f(300,157)V) D．d≈eq\r(3,\f(21,11)V)解析：选D.由球体积公式得d＝eq\r(3,\f(6,π)V)≈eq\r(3,1.90986093V).由于eq\f(16,9)≈1.77777778，eq\f(300,157)≈1.91082803，eq\f(21,11)≈1.90909091，而eq\f(21,11)最接近于eq\f(6,π)，所以选D.二、填空题3．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．解析：如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得HA＝eq\f(1,3)·2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝eq\f(R,3).∵截面面积为π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝eq\f(1,9)R2＋HM2＝eq\f(1,9)R2＋1，∴R＝eq\f(3\r(2),4).∴S球＝4πR2＝4π·(eq\f(3\r(2),4))2＝eq\f(9,2)π.答案：eq\f(9,2)π4．(2021·高考湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，∴降水量为eq\f(\f(π,3)102＋10×6＋62×9,π×142)＝3(寸)．答案：3三、解答题5．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝eq\r(3)，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C是边长为eq\r(3)的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，故该几何体是直三棱柱，其体积V＝S△ABC·BB1＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).(2)证明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C.由于四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1.而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.6．(选做题)(2021·高考湖北卷)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发觉矿藏，再连续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2＝d1，同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1<d2<d3，过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1­A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在△ABC中，记BC＝a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1­A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估＝S中·h来估算.已知V＝eq\f(1,3)(d1＋d2＋d3)S，试推断V估与V的大小关系，并加以证明．解：(1)证明：依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2＝d1，B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1<d2<d3，所以四边形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形．由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN＝ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.又点M、N分别为AB、AC的中点，则点D、E、F、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线，因此DE＝eq\f(1,2)(A1A2＋B1B2)＝eq\f(1,2)(d1＋d2)，FG＝eq\f(1,2)(A1A2＋C1C2)＝eq\f(1,2)(d1＋d3)，而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形．(2)V估<V.证明如下：由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线，可得MN＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)a，即为梯形DEFG的高，因此S中＝S梯形DEFG＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\