【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第7章-第2节-基本不等式

第七章其次节一、选择题1．(文)(2022·福州模拟)已知a>0，b>0，则eq\f(1＋a2b2,ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5[答案]A[解析]∵a>0，b>0，∴ab>0，∴eq\f(1＋a2b2,ab)＝eq\f(1,ab)＋ab≥2等号成立时eq\f(1,ab)＝ab，∴ab＝1，故选A．(理)(2022·湖北随州中学模拟)函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是()A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)[答案]D[解析]由条件知x>0，且x≠1，y＝log2x＋logx2＋1，当x>1时，log2x>0，y≥2eq\r(log2x·logx2)＋1＝3，等号成立时，x＝2；当0<x<1时，log2x<0，y≤－2eq\r(log2x·logx2)＋1＝－1，等号成立时，x＝eq\f(1,2).∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2．(文)a、b为正实数，a、b的等差中项为A；eq\f(1,a)、eq\f(1,b)的等差中项为eq\f(1,H)；a、b的等比中项为G(G>0)，则()A．G≤H≤A B．H≤G≤AC．G≤A≤H D．H≤A≤G[答案]B[解析]由题意知A＝eq\f(a＋b,2)，H＝eq\f(2ab,a＋b)，G＝eq\r(ab)，易知eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，∴A≥G≥H.(理)已知x>0、y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0 B．1C．2 D．4[答案]D[分析]利用等差、等比数列的性质可将a、b、c、d的表达式转化为只含x、y的表达式，然后变形应用基本不等式求解．[解析]由等差、等比数列的性质得eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋2≥2eq\r(\f(y,x)·\f(x,y))＋2＝4.仅当x＝y时取等号．3．(文)(2022·天津五校联考)已知a，b为正实数且ab＝1，若不等式(x＋y)(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是()A．[4，＋∞) B．(－∞，1]C．(－∞，4] D．(－∞，4)[答案]D[解析]由于(x＋y)(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2≥2eq\r(ab)＋2＝4，当且仅当a＝b，eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)时等号成立，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可，正确选项为D．(理)(2021·西安二模)在R上定义运算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x－1,a－2,a＋1,x)))≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,2)[答案]D[解析]原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意实数x恒成立，∵x2－x－1＝(x－eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)≥－eq\f(5,4)，∴－eq\f(5,4)≥a2－a－2，∴－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2).故选D．4．(文)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．eq\f(1,4) B．eq\r(2)C．eq\f(3,2)＋eq\r(2) D．eq\f(3,2)＋2eq\r(2)[答案]C[解析]圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故eq\f(1,2)a＋b＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,2)a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(3,2)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(3,2)＋eq\r(2)，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2(eq\r(2)－1)，b＝2－eq\r(2)时取等号，故选C．(理)(2022·德州一模)若直线ax＋by－1＝0(a，b∈(0，＋∞))平分圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A．4eq\r(2) B．3＋2eq\r(2)C．2 D．5[答案]B[解析]由条件知圆心C(1,1)在直线ax＋by－1＝0上，∴a＋b＝1，∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(a＋b)＝eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)＋3≥3＋2eq\r(2)，等号成立时a＝eq\r(2)－1，b＝2－eq\r(2).5．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3[答案]C[解析]∵2＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤1，排解A、B；∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，排解D，选C．[点评]用特值检验法易得．令a＝1，b＝1排解A；令a＝2，b＝0，排解B，D，故选C．6．(2022·上海松江期末)已知0<a<b，且a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是()A．log2a>0 B．2a－b<eq\f(1,2)C．log2a＋log2b<－2 D．2eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)<eq\f(1,2)[答案]C[解析]由条件知0<a<1，∴log2a<0，A错误；∵0<a<b，a＋b＝1，∴0<a<eq\f(1,2)，eq\f(1,2)<b<1，∴a－b>－1，此时2a－b>eq\f(1,2)，B错误；由eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)>2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2,2eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)>22＝4，D错误；由a＋b＝1>2eq\r(ab)，即ab<eq\f(1,4)，因此log2a＋log2b＝log2(ab)<log2eq\f(1,4)＝－2.故选C．二、填空题7．(2021·四川)已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.[答案]36[解析]∵f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即4x2＝a时f(x)取得最小值．又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，假如在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．[答案]5[解析]设仓库与车站距离为x公里，由已知y1＝eq\f(20,x)；y2＝0.8x费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋eq\f(20,x)≥2eq\r(0.8x·\f(20,x))＝8，当且仅当0.8x＝eq\f(20,x)，即x＝5时“＝”成立．9．(文)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．[答案]eq\f(1,2)[解析]由于A(2,0)，B(0,1)，所以0≤b≤1.由a＋2b＝2，得a＝2－2b，∴ab＝(2－2b)b＝－2(b－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)，当b＝eq\f(1,2)时，(ab)max＝eq\f(1,2).[点评]利用a＋2b＝2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解．(理)(2022·咸阳专题训练)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝eq\f(2,x)的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．[答案]4[解析]由题意，P、Q关于(0,0)对称，设直线PQ：y＝kx(k>0)，从而P(eq\r(\f(2,k))，eq\r(2k))，Q(－eq\r(\f(2,k))，－eq\r(2k))．则PQ＝eq\r(\f(8,k)＋8k)≥4，当且仅当k＝1时，(PQ)min＝4.[点评]1.用基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)求最值时，要留意“一正、二定、三相等”，确定要明确什么时候等号成立．2．应用基本不等式求最值，要留意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等3．留意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，eq\f(2,x0))，x0>0，则|PQ|＝2|OP|＝2eq\r(x\o\al(2,0)＋\f(4,x\o\al(2,0)))≥4，x0＝eq\r(2)时取等号，更简捷的获解．三、解答题10．(文)如图，相互垂直的两条大路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30m，AD＝20m.记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；(2)要使S不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内[解析](1)设DQ＝xm(x>0)，则AQ＝x＋20，∵eq\f(QD,DC)＝eq\f(AQ,AP)，∴eq\f(x,30)＝eq\f(x＋20,AP)，∴AP＝eq\f(30x＋20,x)，则S＝eq\f(1,2)×AP×AQ＝eq\f(15x＋202,x)＝15(x＋eq\f(400,x)＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．∴DQ长为20m时，S取最小值1200m2(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，∴0<x≤eq\f(20,3)或x≥60.答：(1)当DQ的长度是20m时，S最小，且S的最小值为1200m2(2)要使S不小于1600m2，则DQ的取值范围是0<DQ≤eq\f(20,3)或DQ≥60.(理)(2022·江苏盐城一中检测)某单位拟建一个扇环面外形的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值．[解析](1)由题意，得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝eq\f(10＋2x,10＋x).(2)花坛的面积为eq\f(1,2)θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0<x<10)，花坛面积与装饰总费用的比为y＝eq\f(－x2＋5x＋50,170＋10x)＝－eq\f(x2－5x－50,1017＋x)令t＝17＋x，则y＝eq\f(39,10)－eq\f(1,10)(t＋eq\f(324,t))≤eq\f(3,10)，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝eq\f(12,11).故当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．一、选择题11．(2022·浙江嘉兴调研)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋eq\f(1,ab)的最小值为()A．eq\f(7,2) B．4C．eq\f(161,36) D．eq\f(17,2)[答案]D[解析]由于a>0，b>0,1＝a＋2b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,8)，当且仅当a＝2b＝eq\f(1,2)时取等号．又由于a2＋4b2＋eq\f(1,ab)≥2a·(2b)＋eq\f(1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)，令t＝ab，所以f(t)＝4t＋eq\f(1,t)，由于f(t)在(0，eq\f(1,8)]上单调递减，所以f(t)min＝f(eq\f(1,8))＝eq\f(17,2)，此时a＝2b＝eq\f(1,2)，故选D．12．(文)若a>0，b>0，a、b的等差中项是eq\f(1,2)，且α＝a＋eq\f(1,a)，β＝b＋eq\f(1,b)，则α＋β的最小值为()A．2 B．3C．4 D．5[答案]D[解析]∵eq\f(1,2)为a、b的等差中项，∴a＋b＝1.α＋β＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)⇒1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(a＋b,ab)＝1＋eq\f(1,ab)，∵eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，∴ab≤eq\f(a＋b2,4)＝eq\f(1,4).∴α＋β＝1＋eq\f(1,ab)≥1＋4＝5(当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号)．∴α＋β的最小值为5.故选D．(理)(2021·温州模拟)已知M是△ABC内的一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\r(3)，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为eq\f(1,2)，x，y，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是()A．20 B．18C．16 D．19[答案]B[解析]由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos30°＝2eq\r(3)得|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|sin30°＝1，由eq\f(1,2)＋x＋y＝1得x＋y＝eq\f(1,2).所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝2(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))·(x＋y)＝2(5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y))≥2×(5＋2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y)))＝18等号在x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)时成立．13．(文)(2022·广东南雄黄坑中学月考)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．4＋2eq\r(3)[答案]D[解析]由已知lg2x＋lg8y＝lg2得lg2x＋3y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y))(x＋3y)＝4＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(3).(理)函数y＝logax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)－4＝0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为()A．2＋eq\r(2) B．2C．1 D．4[答案]C[解析]y＝logax＋1过定点A(1,1)，∵A在直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)－4＝0上，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝eq\f(1,4)(m＋n)(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))＝eq\f(1,4)(2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n))≥eq\f(1,4)(2＋2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n)))＝1，等号在m＝n＝eq\f(1,2)时成立，∴m＋n的最小值为1.14．(2022·沈阳、云浮、佳木斯一中模拟、长春调研)若两个正实数x，y满足eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C．(－2,4) D．(－4,2)[答案]D[解析]∵x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，当且仅当eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y时取等号．又∵eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＝4，y＝2时，(x＋2y)min＝8.要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.二、填空题15．已知c是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距，则eq\f(b＋c,a)的取值范围是________．[答案](1，eq\r(2)][解析]由题设条件知，a<b＋c，∴eq\f(b＋c,a)>1，∵a2＝b2＋c2，∴eq\f(b＋c2,a2)＝eq\f(b2＋c2＋2bc,a2)≤eq\f(2b2＋c2,a2)＝2，∴eq\f(b＋c,a)≤eq\r(2).16．(文)(2022·河南郑州市高三质检)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny＋2＝0上，其中mn>0，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为________．[答案]eq\f(3＋2\r(2),2)[解析]留意到当x＝－2时，y＝loga(－2＋3)－1＝－1，即定点A的坐标为(－2，－1)，于是有－2m－n＋2＝0，即m＋eq\f(n,2)＝1，eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))(m＋eq\f(n,2))＝eq\f(3,2)＋eq\f(n,2m)＋eq\f(m,n)≥eq\f(3,2)＋2eq\r(\f(n,2m)×\f(m,n))＝eq\f(3＋2\r(2),2)，当且仅当eq\f(n,2m)＝eq\f(m,n)，即n＝eq\r(2)m＝2(eq\r(2)－1)时取等号，因此eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值是eq\f(3＋2\r(2),2).(理)(2022·沈阳模拟)已知点A(m，n)在直线x＋2y－2＝0上，则2m＋4n的最小值为________[答案]4[解析]由条件知m＋2n＝2，2m＋4n＝2m＋22n≥2eq\r(2m＋2n)＝4，等号成立时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝22n，,m＋2n＝2，))∴m＝1，n＝eq\f(1,2).∴所求最小值为4.三、解答题17．(文)(2022·湖南省五市十校联合检测)某化工企业2021年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费确定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解析](1)由题意得，y＝eq\f(100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x,x)，则y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5(x∈N*)．(2)由基本不等式得：y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，当且仅当x＝eq\f(100,x)，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．(理)合宁高速大路起自安徽省合肥西郊大蜀山，最终苏皖交界的吴庄，全长133km.假设某汽车从大蜀山进入该高速大路后以不低于60km/h且不高于120km/h的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成：固定部分为200元；可变部分与速度v(km/h)的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．(1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(km/h)的函数；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？[解析](1)依题意488＝200＋k×1202⇒k＝0.02.f(v)＝eq\f(133,v)(200＋0.02v2)＝133(eq\f(200,v)＋0.02v)(60≤v≤120)．(2)f(v)＝133(eq\f(200,v)＋0.02v)≥133×2eq\r(\f(200,v)×0.02v)＝532，当且仅当eq\f(200,v)＝0.02v，即v＝100时，“＝”成立，即汽车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最