【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-平面几何与空间几何间的类比问题

平面几何与空间几何间的类比问题中学数学的推理论证力量是依据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理力量．一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明．类比推理对推理论证力量的提升具有乐观意义，尤其对平面到空间的类比而言，一般分为三步：(1)找出两类对象之间可以精确     表达的全都性；(2)用一类对象的性质去推断另一类对象的性质；(3)验证猜想．【典例】在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径为r＝eq\f(2S,C).在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝________.【解析】r＝eq\f(2S,C)→R＝eq\f(3V,S).【答案】eq\f(3V,S)【规律感悟】本题从三角形的面积关系入手来类比三棱锥(四周体)的体积运算，由二维平面类比到三维空间，必定消灭“类比点”：三角形的面积→四周体的体积、三角形的周长→四周体的表面积、三角形的内切圆→四周体的内切球等，进而类比出结果，由于具有猜想性，需验证其正确性.建议用时实际用时错题档案45分钟一、选择题1．(2022·江西高考)eq\o(z,\s\up6(－))是z的共轭复数，若z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝2，(z－eq\o(z,\s\up6(－)))i＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)由z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝2，∴a＝1，∵(z－eq\o(z,\s\up6(－)))i＝2，∴－2b＝2，b＝－1，∴z＝1－i，故选D.【答案】D2．(2022·全国新课标Ⅱ高考)设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5【解析】∵|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，∴a·b＝1.故选A.【答案】A3．(2022·北京高考)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．7B．42C．210D．840【解析】第一步：m－n＋1＝7－3＋1＝5，S＝7，k＝6；其次步：m－n＋1＝5，S＝42，k＝5；第三步：m－n＋1＝5，S＝210，k＝4，此时4<5，故选C.【答案】C4．(2022·武汉市武昌区调研)给出以下结论：①在四边形ABCD中，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则四边形ABCD是平行四边形；②已知三角形ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝20；③已知正方形ABCD的边长为1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)；④已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，则A，B，D三点共线．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】对于①，由于eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，DC＝AB且DC∥AB，故四边形ABCD为平行四边形；对于②，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝abcos(180°－C)＝－abcosC＝－20；对于③，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)；对于④，由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋5b，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，则A，B，D三点共线．综上可得，①③④正确，故选C.【答案】C5．(2022·洛阳统考)设复数z＝eq\f(2,－1－i)(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq\x\to(z)，则在复平面内ieq\x\to(z)对应的点的坐标为()A．(1,1)B．(－1,1)C．(1，－1)D．(－1，－1)【解析】∵z＝eq\f(2,－1－i)＝－1＋i，∴ieq\x\to(z)＝i(－1－i)＝1－i，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．故选C.【答案】C6．(2022·河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)⇒a＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】①②正确，③错误．由于两个复数假如不全是实数，不能比较大小．【答案】C7．(2022·大庆质检)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)【解析】由题意作图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，结合向量的几何意义可知∠ABD＝∠CAB＝eq\f(π,6)，故向量a＋b与a－b的夹角为eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))的夹角，为eq\f(2π,3)，选D.【答案】D8.(2021·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，其次次输入的a的值为1.2，则第一次，其次次输出的a的值分别为()A．0.2,0.2B．0.2,0.8C．0.8,0.2D．0.8,0.8【解析】依据输入的a的值的不同而执行不同的程序．由题中程序框图可知：当a＝－1.2时，∵a<0，∴a＝－1.2＋1＝－0.2，a<0，a＝－0.2＋1＝0.8，a>0.∵0.8<1，输出a＝0.8.当a＝1.2时，∵a≥1，∴a＝1.2－1＝0.2.∵0.2<1，输出a＝0.2.【答案】C9．(猜测题)下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝eq\f(nn－1,2)C．an＝eq\f(nn＋1,2)D．an＝eq\f(nn＋2,2)【解析】从题图中观看五角星构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).【答案】C10．(2022·广东高考)对任意复数ω1，ω2，定义ω1]，其中eq\x\to(ω2)是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3，有如下四个命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1]()A．1B．2C．3D．4【解析】由于ω1]，对于①，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)eq\x\to(z3)＝z1eq\x\to(z3)＋z2eq\x\to(z3)＝(z1]＝z1eq\x\to(z2)＋z1eq\x\to(z3)＝(z1])eq\x\to(z3)＝z1eq\x\to(z2)eq\x\to(z3)，而z1])＝z1eq\x\to(z2z3)，明显不成立；对于④，由于z1]，而z2]，明显不肯定成立．故选B.【答案】B二、填空题11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，则λ的值为________．【解析】如图由题意知eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))，由(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)))(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝1，得(eq\f(1,3λ)＋1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1，∴(eq\f(1,3λ)＋1)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|cos120°＋eq\f(1,3)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,λ)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1解之得λ＝2.【答案】212．(2022·安徽高考改编)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．【解析】由题中程序框图(算法流程图)知：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55>50，跳出循环．故输出结果是55.【答案】5513．(创新题)对于命题：若O是线段AB上一点，则有|eq\o(OB,\s\up6(→))|·eq\o(OA,\s\up6(→))＋|eq\o(OA,\s\up6(→))|·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OCA·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OBA·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，将它类比到空间的情形应当是：若O是四周体ABCD内一点，则有________．【解析】将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O为四周体ABCD内一点，则有VO－BCD·eq\o(OA,\s\up6(→))＋VO－ACD·eq\o(OB,\s\up6(→))＋VO－ABD·eq\o(OC,\s\up6(→))＋VO－ABC·eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.【答案】VO－BCD·eq\o(OA,\s\up6(→))＋VO－ACD·eq\o(OB,\s\up6(→))＋VO－ABD·eq\o(OC,\s\up6(→))＋VO－ABC·eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.14．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则eq\f(1,z＋a)的虚部为________．【解析】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2