2021高考数学专题辅导与训练配套练习：专题四-数列

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题提升练(三)(专题四)(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2022·杭州模拟)已知q是等比数列{an}的公比,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选D.等比数列{an}中,若a1<0,若q>1,则数列{an}是递减数列;若0<q<1,则数列{an}是递增数列,所以选D.2.数列{an}中,a1=1,an=QUOTE+1,则a4等于()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选A.由于a1=1,an=QUOTE+1,所以a2=QUOTE+1=2,a3=QUOTE+1=QUOTE,a4=QUOTE+1=QUOTE.3.记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2=()A.4 B.2 C.1 D.-2【解析】选A.由于Sn=2(an-1),所以S1=2(a1-1)=a1,所以a1=2,又a1+a2=2(a2-1),所以a2=4.4.(2022·福州模拟)已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24 B.32 C.48 D.64【解析】选D.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.两式相除得QUOTE=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又由于an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.5.定义运算QUOTE=ad-bc,函数f(x)=QUOTE图象的顶点坐标是(m,n),且k,m,n,r成等差数列,则k+r的值为()A.-5 B.14 C.-9 D.-14【解析】选C.由题设条件知,f(x)=(x-1)(x+3)+2x=x2+4x-3=(x+2)2-7,所以m=-2,n=-7,由于k,m,n,r成等差数列,所以k+r=m+n=-9.6.在等差数列{an}中,Sn表示数列{an}的前n项和,若Sn=QUOTE,Sm=QUOTE,并且m≠n,则Sm+n-4的符号是()A.负 B.正 C.零 D.不能确定【解析】选B.设Sn=An2+Bn,则由已知得QUOTE所以QUOTE又m≠n,所以QUOTE即Sm+n=A(m+n)2,所以Sm+n-4=A(m+n)2-4=QUOTE-4=QUOTE+2-4>2+2-4=0.7.已知数列{an},若点(n,an)(n∈N*)在经过点A(8,4)的定直线l上,则数列{an}的前15项和S15=()A.12 B.32 C.60 D.120【解析】选C.方法一:由于点(n,an)在定直线l上,所以{an}为等差数列,由条件知(8,a8)在直线l上,l经过(8,4),所以a8=4,所以S15=15a8=60.方法二:可设定直线为y-4=k(x-8),知an-4=k(n-8),得an=k(n-8)+4,则{an}是等差数列,S15=QUOTE=15·a8=15×4=60.8.已知函数y=f(x)(x∈R),数列{an}的通项公式是an=f(n)(n∈N*),那么“函数y=f(x)在[1,+∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则对任意n∈N*,有f(n)<f(n+1),所以an<an+1,所以{an}为递增数列,反之{an}为递增数列时,未必有f(x)在[1,+∞)上单调递增..9.数列{an}的通项公式是关于x的不等式x2-x<nx(n∈N*)的解集中的整数个数,则数列{an}的前n项和Sn=()A.n2 B.n(n+1)C.QUOTE D.(n+1)(n+2)【解析】选C.由于x2-(n+1)x<0,所以0<x<n+1,x∈N*,所以x=1,2,3…,n.所以Sn=QUOTE.10.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列QUOTE的前n项和为Sn,则S2021的值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由于函数f(x)=x2+bx的图象的切线的斜率为f'(x)=2x+b,所以函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l的斜率为k=2+b.由于切线l与直线3x-y+2=0平行,所以2+b=3,即b=1.所以f(x)=x2+x,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以S2021=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·龙岩模拟)已知a>0,b>0,若QUOTE是4a与2b的等比中项,则QUOTE+QUOTE的最小值为.【解析】由条件知:4a·2b=(QUOTE)2,所以22a+b=21,所以2a+b=1,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE(2a+b)=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=9,等号在QUOTE即a=b=QUOTE时成立.答案:912.(2022·杭州模拟)在等差数列{an}中,若a2022+a2022=120,则2a2021-a2022的值为.【解析】设公差为d,由于a2022+a2022=120,所以a2022=60,所以2a2021-a2022=a2021+a2021-a2022=a2021+d=a2022=60.答案:6013.二次函数y=kx2(x>0)的图象在点(an,QUOTE)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1,n为正整数,a1=QUOTE,则S5=.【解析】由于点(a1,QUOTE)即QUOTE是图象上的点,所以k=1.由y'=2kx得切线方程为y-QUOTE=2kan(x-an),所以an+1=an-QUOTE=QUOTEan=QUOTEan,所以{an}是以a1=QUOTE为首项,以QUOTE为公比的等比数列,所以S5=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE14.设等比数列{an}的前n项和为Tn(n∈N*),已知am-1·am+1-2am=0,且T2m-1=128,则m=.【解析】由于am-1am+1-2am=QUOTE-2am=0且am≠0,所以am=2,又T2m-1=QUOTE=22m-1=128=27,所以2m-1=7,所以m=4.答案:415.无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,……的首项是1,随后两项都是2,接下去三项都是3,…,以此类推,记该数列为{an},若an-1=13,an=14,则n=.【解析】把数列{an}如下分组:(1)(2,2)(3,3,3)(4,4,4,4)……,则an-1在第13组内,且是最终一个,an在第14组内且是第1个,由于前13组共有1+2+3+…+13=QUOTE=91个数,所以第14组的第1个数为数列{an}的第92项,即n=92.答案:9216.(2022·浙江五校联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2022=3S2021+2,a2021=3S2022+2,则公比q=.【解析】由已知得a2022=3(S2022+a2021)+2=3QUOTE+2=a2021-2+3a2021+2=4a2021,所以公比q=QUOTE=4.答案:417.已知正数数列{an}满足(a1+a2+…+an)2=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE.则其通项公式为.【解析】由a1+a2+…+an=Sn知,当n≥2时,QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=QUOTE.由于an>0,所以Sn+Sn-1=QUOTE,所以当n≥3时,Sn-1+Sn-2=QUOTE,两式相减得an+an-1=(an-an-1)(an+an-1).由于{an}为正数数列,所以an+an-1>0,所以an-an-1=1.又QUOTE=QUOTE=QUOTE,a1>0,所以a1=1.QUOTE=(a1+a2)2=QUOTE+QUOTE.由a2>0得a2=2,所以,当n≥2时,有an-an-1=1,所以,数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.所以an=n.答案:an=n三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2022·湖州模拟)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=11,b1=1,a2+b2=11,a3+b3=11.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.(2)求数列{|an-bn|}前12项的和S12.【解析】(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则由a3+b3=a2+b2=a1可得QUOTE可求得:d=-2,q=2,从而an=-2n+13,bn=2n-1(n∈N*).(2)|an-bn|=|13-2n-2n-1|=QUOTES12=(11-1)+(9-2)+(7-4)-(5-8)-…-(-11-211)=20+(8+16+…+211)-[5+3+…+(-11)]=4135.19.(14分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=5,an+1=Sn+3n(n∈N*).(1)令bn=Sn-3n,求证:数列{bn}是等比数列.(2)令cn=QUOTE,设Tn是数列{cn}的前n项和,求满足不等式Tn>QUOTE的n的最小值.【解析】(1)b1=S1-3=2≠0,Sn+1-Sn=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,QUOTE=QUOTE=QUOTE=2≠0,所以数列{bn}是等比数列.(2)由(1)知bn=2n,则cn=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,Tn=QUOTE-QUOTE,由Tn=QUOTE-QUOTE>QUOTE,n>2022,即nmin=2021.【加固训练】已知数列{an},点P(ai,ai+1)(i=1,2,…,n)在直线y=2x+k上,数列{bn}满足条件:b1=2,bn=an+1-an(n∈N*).(1)求数列{bn}的通项公式.(2)若cn=bnlog2QUOTE,Sn=c1+c2+…+cn,求2n+1-Sn>60n+2成立的正整数n的最小值.【解析】(1)依题意:an+1=2an+k,所以bn=2an+k-an=an+k,所以bn+1=an+1+k=2an+k+k=2(an+k)=2bn,又由于b1=2,而QUOTE=2,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.即得bn=2·2n-1=2n(n∈N*),为数列{bn}的通项公式.(2)由cn=bnlog2QUOTE=2n·log2QUOTE=-n·2n.-Sn=-(c1+c2+…+cn)=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,所以-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,上两式相减得Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=QUOTE-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2,由2n+1-Sn>60n+2,即得n·2n+1>60n,所以2n+1>60,又当n≤4时,2n+1≤25=32<60,当n≥5时,2n+1≥26=64>60.故使2n+1-Sn>60n+2成立的正整数n的最小值为5.20.(14分)在等差数列{an}中,已知a3=5,a1+a2+…+a7=49.(1)求an.(2)若bn=QUOTE(n∈N*),设数列{bn}的前n项和为Sn,试比较an+2与16Sn的大小.【解析】(1)由题意得:QUOTE解得QUOTE所以an=2n-1.(2)由于bn=QUOTE,所以bn=QUOTE=QUOTE,所以Sn=b1+b2+…+bn=QUOTEQUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE,所以an+2-16Sn=2n+3-QUOTE=QUOTE,所以当n=1时,an+2<16Sn;当n≥2时,an+2>16Sn.21.(15分)(2022·浦江模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=QUOTE,等比数列{bn}满足b1b2=2b3,且b1,b2+2,b3成等差数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.(2)设cn=QUOTE,Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn的取值范围.【解析】(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=QUOTE-QUOTE=n,n=1时,a1=1,所以an=n.设数列{bn}的公比为q,则QUOTE所以2(2q2+2)=2q(1+q2),所以q=2,b1=4,所以bn=2n+1.(2)cn=QUOTE,所以Tn=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,2Tn=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,由错位相减法得Tn=1-QUOTE,由于Tn+1-Tn=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE>0,T1=1-QUOTE=QUOTE,所以QUOTE≤Tn<1.【加固训练】已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1.(1)证明:数列QUOTE是等差数列.(2)若不等式2n2-n-3<(5-λ)an对∀n∈N*恒成立,求λ的取值范围.【解析】(1)当n=1时,S1=2a1-22得a1=4,Sn=2an-2n+1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-2n,即an=2an-1+2n,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=1.又QUOTE=2,所以数列QUOTE是以2为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知QUOTE=n+1,即an=(n+1)2n,由于an>0,所以不等式2n2-n-3<(5-λ)an等价于5-λ>QUOTE,记bn=QUOTE,n≥2时,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以n≥3时,QUOTE