【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第2章-第1节-函数及其表示

其次章第一节一、选择题1．(文)若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝eq\f(f2x,x)的定义域是()A．[0,2] B．(0,2)C．(0,2] D．[0,2)[答案]C[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤4，,x≠0.))∴0<x≤2，故选C．(理)(2021·湖北荆门期末)函数f(x)＝eq\f(1,x)ln(eq\r(x2－3x＋2)＋eq\r(－x2－3x＋4))的定义域为()A．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B．(－4,0)∪(0,1)C．[－4,0)∪(0,1]D．[－4,0)∪(0,1)[答案]D[解析]要使函数f(x)有意义，必需且只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠0，,x2－3x＋2≥0，,\r(x2－3x＋2)＋\r(－x2－3x＋4)>0，))解得－4≤x<0或0<x<1.故选D．2．(文)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1.))则f(f(3))＝()A．eq\f(1,5) B．3C．eq\f(2,3) D．eq\f(13,9)[答案]D[解析]由条件知f(3)＝eq\f(2,3)，f(f(3))＝f(eq\f(2,3))＝(eq\f(2,3))2＋1＝eq\f(13,9).(理)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,fx－3，x>0，))则f(2022)等于()A．－1 B．1C．－3 D．3[答案]B[解析]f(2022)＝f(2021)＝f(2010)＝……＝f(0)＝2×0＋1＝1.3．(2021·银川模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x<0，))则不等式f(x)>f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)[答案]A[解析]由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x2－4x＋6>3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,x＋6>3，))解之得－3<x<1或x>3，∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A．4．(文)(2022·长春市调研)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是()A．y＝x2 B．y＝－x3C．y＝－lg|x| D．y＝2x[答案]C[解析]四个函数中，是偶函数的有A，C，又y＝x2在(0，＋∞)内单调递增，故选C．(理)(2022·吉林市质检)下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是()A．y＝(eq\f(1,2))x B．y＝sinxC．y＝x3 D．y＝eqlog\s\do5(\f(1,2))x[答案]C[解析]A、D中的函数为非奇非偶函数，B中函数在定义域内既有增区间又有减区间，y＝x3在定义域(－∞，＋∞)上既是奇函数，又是增函数，故选C．5．(文)函数f(x)＝eq\f(2,2x－2)的值域是()A．(－∞，－1) B．(－1,0)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案]D[解析]eq\f(1,fx)＝2x－1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f(x)∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．(理)若函数y＝f(x)的值域是[eq\f(1,2)，3]，则函数F(x)＝f(x)＋eq\f(1,fx)的值域是()A．[eq\f(1,2)，3] B．[2，eq\f(10,3)]C．[eq\f(5,2)，eq\f(10,3)] D．[3，eq\f(10,3)][答案]B[解析]令t＝f(x)，则eq\f(1,2)≤t≤3，由函数g(t)＝t＋eq\f(1,t)在区间[eq\f(1,2)，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g(eq\f(1,2))＝eq\f(5,2)，g(1)＝2，g(3)＝eq\f(10,3)，可得值域为[2，eq\f(10,3)]，选B．6．已知a、b为实数，集合M＝{eq\f(b,a)，1}，N＝{a,0}，f是M到N的映射，f(x)＝x，则a＋b的值为()A．－1 B．0C．1 D．±1[答案]C[解析]∵f(x)＝x，∴f(1)＝1＝a，若f(eq\f(b,a))＝1，则有eq\f(b,a)＝1，与集合元素的互异性冲突，∴f(eq\f(b,a))＝0，∴b＝0，∴a＋b＝1.二、填空题7．(文)函数y＝eq\f(1,\r(6－x－x2))的定义域是________．[答案](－3,2)[解析]由6－x－x2>0，得x2＋x－6<0，即{x|－3<x<2}．(理)(2021·福州模拟)函数f(x)＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x)的定义域为________．[答案](－∞，－1)∪(－1,1][解析]∵要使函数f(x)＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x)有意义，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x＋1≠0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1，,x≠－1，))∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．[失误与防范]本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)＝(x＋1)－eq\r(1－x)后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围．防范错误的有效方法是每一步变形时观看一下是否为等价变换，否则应附加限制条件保持等价．8．(文)假如函数f(x)＝eq\f(1－x2,1＋x2)，那么f(1)＋f(2)＋…f(2022)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2022))的值为________．[答案]0[解析]由于f(x)＋f(eq\f(1,x))＝eq\f(1－x2,1＋x2)＋eq\f(1－\f(1,x)2,1＋\f(1,x)2)＝eq\f(1－x2,1＋x2)＋eq\f(x2－1,x2＋1)＝0，f(1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a⊕b＝eq\r(ab)＋a＋b＋1，其中a、b是正实数，已知1⊕k＝4，则函数f(x)＝k⊕x的值域是________．[答案](2，＋∞)[解析]1⊕k＝eq\r(k)＋k＋2＝4，解之得k＝1，∴f(x)＝eq\r(x)＋x＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x>0，∴f(x)>2.9．已知f(x－2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x2，x>2，,2－x，x≤2，))则f(1)＝________.[答案]10[解析]f(1)＝f(3－2)＝1＋32＝10.三、解答题10．(文)函数f(x)＝x2＋x－eq\f(1,4).(1)若定义域为[0,3]，求f(x)的值域；(2)若f(x)的值域为[－eq\f(1,2)，eq\f(1,16)]，且定义域为[a，b]，求b－a的最大值．[解析]∵f(x)＝(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(1,2)，∴对称轴为x＝－eq\f(1,2).(1)∵3≥x≥0>－eq\f(1,2)，∴f(x)的值域为[f(0)，f(3)]，即[－eq\f(1,4)，eq\f(47,4)]．(2)∵x＝－eq\f(1,2)时，f(x)＝－eq\f(1,2)是f(x)的最小值，∴x＝－eq\f(1,2)∈[a，b]，令x2＋x－eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，得x1＝－eq\f(5,4)，x2＝eq\f(1,4)，依据f(x)的图象知当a＝－eq\f(5,4)，b＝eq\f(1,4)时，b－a取最大值eq\f(1,4)－(－eq\f(5,4))＝eq\f(3,2).(理)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2).))∴f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x.(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝eq\f(1,2)(x2－2)2＋eq\f(1,2)(x2－2)＝eq\f(1,2)(x4－3x2＋2)＝eq\f(1,2)(x2－eq\f(3,2))2－eq\f(1,8)，当x2＝eq\f(3,2)时，y取最小值－eq\f(1,8).∴函数y＝f(x2－2)的值域为[－eq\f(1,8)，＋∞)．一、选择题11．(文)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx2－1<x<0，,ex－1x≥0.))若f(1)＋f(a)＝2，则a的全部可能值为()A．1 B．1，－eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(2),2) D．1，eq\f(\r(2),2)[答案]B[解析]f(1)＝1，当a≥0时，f(a)＝ea－1，∴1＋ea－1＝2，∴a＝1，当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)，∴1＋sin(πa2)＝2，∴πa2＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，∵－1<a<0，∴a＝－eq\f(\r(2),2)，故选B．(理)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－4ax<1，,logaxx≥1))是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(－∞，3)C．[eq\f(3,5)，3) D．(1,3)[答案]D[解析]解法1：由f(x)在R上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a>1，①又由f(x)在(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3，②又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1]上的最大值3－5a要小于等于f(x)在[1，＋∞)∴3－5a≤0，即a≥eq\f(3,5)，③由①②③可得1<a<3.解法2：令a分别等于eq\f(3,5)、0、1，即可排解A、B、C，故选D．[点评]f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x1<1，x2≥1时，有f(x1)<f(x2)．12．(2022·乌鲁木齐地区诊断)若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln5,5)，则()A．a<b<c B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c[答案]B[解析]解法1：eq\f(ln2,2)－eq\f(ln3,3)＝eq\f(3ln2－2ln3,6)＝eq\f(ln8－ln9,6)<0，∴a<beq\f(ln5,5)－eq\f(ln2,2)＝eq\f(2ln5－5ln2,10)＝eq\f(ln25－ln32,10)<0，∴c<a，∴c<a<b.解法2：设f(x)＝eq\f(lnx,x)(x>1)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(3)>f(4)>f(5)，∴eq\f(ln3,3)>eq\f(ln4,4)>eq\f(ln5,5)，∴eq\f(ln3,3)>eq\f(ln2,2)>eq\f(ln5,5)，∴b>a>c.13．(2022·辽宁省协作校联考)下图可能是下列哪个函数的图象()A．y＝2x－x2－1 B．y＝eq\f(2xsinx,4x＋1)C．y＝(x2－2x)ex D．y＝eq\f(x,lnx)[答案]C[解析]由图象可知，x<0时，函数值恒大于0，排解A、B、D，故选C．14．(2022·吉林省九校联合体摸底)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是()A．(3,7) B．(9,25)C．(13,49) D．(9,49)[答案]C[解析]∵y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数，又∵y＝f(x)是增函数，∴不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0⇔f(x2－6x＋21)<f(8y－y2)⇔x2－6x＋21－8y＋y2<0⇔(x－3)2＋(y－4)2<4.即点(x，y)是以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内的点，如图当x>3时，点(x，y)是右半圆内部分，x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，∵A(3,2)，C(3,4)，∴|OA|2＝13，|OC|2＝25，∴|OB|＝7，∴13<x2＋y2<49.二、填空题15．(文)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0，,x\f(1,2)，x>0，))若f(x0)＝1，则x0的值为________．[答案]－1或1[解析]当x0≤0时，f(x0)＝2－x0－1，∵f(x0)＝1，∴2－x0－1＝1，∴2－x0＝2，∴x0＝－1；当x0>0时，f(x0)＝，∵f(x0)＝1，∴＝1，∴x0＝1.综上可得x0的值为－1或1.(理)(2021·四川省内江市第一次模拟)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f(x)在R上有最小值；②当b>0时，函数在R上是单调增函数；③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；④当b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b2>4|c|；⑤方程f(x)＝0可能有四个不同实数根．[答案]②③④[解析]f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋cx≥0,－x2＋bx＋cx<0))取b＝0知，①⑤错；简洁推断②，③正确；b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根，等价于c－eq\f(b2,4)<0且c＋eq\f(b2,4)>0，∴b2>4c且b2>－4c，∴b2>4|c|，故填②、③、④.三、解答题16．(文)某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产量x(单位：t)满足函数关系式C＝10000＋20x，每日的销售额R(单位：元)与日产量x的函数关系式为R＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,30)x3＋ax2＋290x，0<x<120，,20400，x≥120.))已知每日的利润y＝R－C，且当x＝30时，y＝－100.(1)求a的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．[解析](1)∵当x＝30时，y＝－100，∴－100＝－eq\f(1,30)×303＋a×302＋270×30－10000，∴a＝3.(2)当0<x<120时，y＝－eq\f(1,30)x3＋3x2＋270x－10000.令y′＝－eq\f(1,10)x2＋6x＋270＝0，可得：x1＝90，x2＝－30(舍去)，所以当x∈(0,90)时，原函数是增函数，当x∈(90,120)时，原函数是减函数．∴当x＝90时，y取得极大值14300.当x≥120时，y＝10400－20x≤8000.所以当日产量为90t时，每日的利润可以达到最大值14300元．(理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：第t天5152030Q(件)35252010(1)依据供应的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)在所给直角坐标系中，依据表中供应的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析](1)P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋200<t<25，t∈N*，,－t＋10025≤t≤30，t∈N*.))(2)图略，Q＝40－t(t∈N*)．(3)设日销售金额为y(元)，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋8000<t<25，t∈N*，,t2－140t＋400025≤t≤30，t∈N*.))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t－102＋9000<t<25，t∈N*，,t－702－90025≤t≤30，t∈N*.))若0<t<25(t∈N*)，则当t＝10时，ymax＝900；若25≤t≤30(t∈N*)，则当t＝25时，ymax＝1125.由1125>900，知ymax＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．17．(文)(2022·湖北武汉联考)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)推断f(x)的奇偶性并证明你的结论．[解析](1)令x1＝x2＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)(2)f(x)为偶函数．证明：令