2021高考数学(文-江苏专用)二轮复习-专题四-第二讲-导数及其应用14-【要点导学】

导数的几何意义例1已知曲线y=x3+.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;(3)求斜率为1的曲线的切线方程.【分析】(1)由于点P(2,4)在曲线上,所以可求出切线的斜率,从而可求出切线方程;(2)求过点P(2,4)的切线方程,可能该点是切点,也可能不是;(3)求斜率为1的曲线的切线方程,首先要求出切点.【解答】(1)由于点P(2,4)在曲线y=x3+上,且y'=x2,所以在点P(2,4)处的切线的斜率k=4,所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率k=,所以切线方程为y-=(x-x0),即y=·x-+.由于点P(2,4)在切线上,所以4=2-+,即-3+4=0,所以+-4+4=0,所以(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.(3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为=1,x0=±1.由于切点为(-1,1)或,所以切线方程为y-1=x+1或y-=x-1,即x-y+2=0或3x-3y+2=0.【点评】解决函数切线的相关问题,需抓住以下关键点:(1)切点是交点;(2)在切点处的导数是切线的斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系—方程组;(3)求曲线的切线要留意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中,点P不愿定是切点,点P也不愿定在已知曲线上;在点P处的切线,点P是切点.变式设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.【解答】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f'(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y'=1+知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.利用导数争辩函数的单调性例2设函数f(x)=,x≠0.(1)推断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)求证:对任意正数a,存在正数x,使不等式|f(x)-1|<a成立.【解答】(1)f'(x)==,令h(x)=(x-1)ex+1,则h'(x)=ex+ex(x-1)=xex.当x>0时,h'(x)=xex>0,所以h(x)是(0,+∞)上的增函数,所以h(x)>h(0)=0,故f'(x)=>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)|f(x)-1|=,当x>0时,令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1>0,故g(x)>g(0)=0,所以|f(x)-1|=,原不等式化为<a,即ex-(1+a)x-1<0.令φ(x)=ex-(1+a)x-1,则φ'(x)=ex-(1+a),由φ'(x)=0,得ex=1+a,解得x=ln(1+a).当0<x<ln(1+a)时,φ'(x)<0;当x>ln(1+a)时,φ'(x)>0.故当x=ln(1+a)时,φ(x)取得最小值φ(ln(1+a))=a-(1+a)ln(1+a).令s(a)=-ln(1+a),a>0,则s'(a)=-=-<0,故s(a)<s(0)=0,即φ(ln(1+a))=a-(1+a)ln(1+a)<0.对任意正数a,存在正数x,不等式|f(x)-1|<a成立.【点评】利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤:①确定函数f(x)的定义域;②求导函数f'(x);③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;④依据③的结果确定函数f(x)的单调区间.解题过程中要留意对含参数的函数的单调性进行争辩.利用导数争辩函数的极值(最值)问题例3设函数f(x)=x3+mx2+nx.(1)假如g(x)=f'(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求函数f(x)的解析式;(2)假如m+n<10(m,n∈N*),且f(x)的单调减区间的长度是正整数,试求m,n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a)【分析】(1)在x=-2处取得最小值-5,可得出两个方程;(2)单调递减,说明f'(x)<0恒成立.所以问题转化为二次不等式的问题.【解答】(1)已知函数f(x)=x3+mx2+nx,对其求导,得f'(x)=x2+2mx+n.又由于g(x)=f'(x)-2x-3=x2+(2m-2)x+n-3,所以g'(x)=2x+2m-2.又g(x)在x=-2处取极值,则g'(-2)=2×(-2)+(2m-2)=0,解得m=3,又g(x)在x=-2处取最小值-5.则g(-2)=(-2)2+(-2)×4+n-3=-5,解得n=2.所以f(x)=x3+3x2+2x.(2)要使f(x)=x3+mx2+nx单调递减,则f'(x)=x2+2mx+n<0恒成立.又减区间长度是正整数,设f'(x)=x2+2mx+n=0两根分别为a,b,则b-a为区间长度.又b-a===2(m,n∈N*).又b-a为正整数,且m+n<10,所以m=2,n=3或m=3,n=5符合题意.【点评】(1)求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤,第一步:求导数f'(x);其次步:求方程f'(x)=0的根x0;第三步:检查f'(x)在x=x0左右的符号.①左正右负f(x)在x=x0处取极大值.②左负右正f(x)在x=x0处取微小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤,第一步:求函数y=f(x)在区间[a,b]内的极值、极大值或微小值;其次步:将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.变式(2022·苏州期末)已知a,b为常数,a≠0,函数f(x)=ex.(1)若a=2,b=1,求函数f(x)在(0,+∞)内的极值.(2)①若a>0,b>0,求证:函数f(x)在区间[1,2]上是增函数;②若f(2)<0,f(-2)<e-2,且函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,求由全部点(a,b)组成的平面区域的面积.【解析】(1)由题知f'(x)=ex=(ax2+bx-b).当a=2,b=1时,f'(x)=(2x2+x-1)=(x+1)(2x-1).令f'(x)=0,得x=或x=-1(舍去).由于>0,所以当x∈时,f'(x)<0,f(x)是减函数;当x∈时,f'(x)>0,f(x)是增函数.所以当x=时,f(x)取得微小值且微小值为4.(2)由(1)知f'(x)=(ax2+bx-b),令g(x)=ax2+bx-b.①由于a>0,b>0,所以二次函数g(x)的图象开口向上,对称轴x=-<0,且g(1)=a>0,所以g(x)>0对一切x∈[1,2]恒成立.又>0,所以f'(x)>0对一切x∈(1,2)恒成立.由于f(x)的函数图象是不间断的,所以f(x)在区间[1,2]上是增函数.②由于f(2)<0,f(-2)<e-2,所以即(*)由①知函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f'(x)≥0对x∈(1,2)恒成立.则g(x)=ax2+bx-b≥0对x∈(1,2)恒成立.所以(**)在(*)(**)的条件下,可知b<0且1<-≤2,且g==-b·≥0恒成立.(变式)综上,点(a,b)满足的线性约束条件是由全部点(a,b)形成的平面区域为△OAB(如图阴影部分所示),其中A,B,C(1,0).则S△OAB=S△OAC-S△OBC=×=,即由所求点(a,b)组成的平面区域的面积为.利用导数解决实际问题例4某单位打算对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用y(单位:万元)随医疗总费用x(单位:万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否接受函数模型y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案;(2)若该单位打算接受函数模型y=x-2lnx+a(a为常数)作为报销方案,请你确定整数a的值.(参考数据:ln2≈0.69,ln10≈2.3)【分析】(1)方案(1)是二次函数模型,应留意检验最值与部分值的关系.(2)方案(2)是格外规函数模型,只有通过求导来求极值.【解答】(1)函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①.当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③.但当x=3时,y=<,即y≥不恒成立,不满足条件②.故该函数模型不符合该单位报销方案.(2)对于函数模型y=x-2lnx+a,设f(x)=x-2lnx+a,则f'(x)=1-=≥0.所以f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件①.由条件②,得x-2lnx+a≥,即a≥2lnx-在x∈[2,10]上恒成立,令g(x)=2lnx-,则g'(x)=-=,由g'(x)>0,得x<4;由g'(x)<0,得x>4.所以g(x)在(0,4)上是增函数,在(4,10)上是减函数.所以a≥g(4)=2ln4-2=4ln2-2.由条件③,得f(10)=10-2ln10+a≤8,解得a≤2ln10-2.另一方面,由x-2lnx+a≤x,得a≤2lnx在x∈[2,10]上恒成立,所以a≤2ln2.综上所述,实数a的取值范围为[4ln2-2,2ln2],所以满足条件的整数a的值为1.【点评】在求实际问题的最值时,一般先找出自变量的因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用导数求解相关的最值问题,留意实际问题的意义,不符合的解要舍去.变式(2022·徐州、宿迁三检)依据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率p与日产量x(单位:件)之间近似地满足关系式p=(日产品废品率=×100%).已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额)(1)将该车间日利润y(单位:千元)表示为日产量x(单位:件)的函数;(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?【解答】(1)由题意可知y=2x(1-p)-px=(2)考虑函数f(x)=当1≤x≤9时,f'(x)=2-,令f'(x)=0,得x=15-3.当1≤