【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-直线与圆

eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第14讲理,第13讲文))直线与圆1．(2022·浙江高考)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8【解析】圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a∴圆心坐标(－1,1)半径r2＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2)∴22＋(eq\r(2))2＝2－a，解得a＝－4.【答案】B2．(2022·福建高考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解析】若k＝1，则S△ABC＝eq\f(1,2)，若S△ABC＝eq\f(1,2)，则k＝1或k＝－1，故选A.【答案】A3．(2022·湖南高考)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21B．19C．9D．－11【解析】C1的圆心为(0,0)，半径r＝1，C2的圆心为(3,4)，半径R＝eq\r(25－m)，又∵|C1C2|＝5，由题意知5＝1＋eq\r(25－m)，∴m＝9，故选C.【答案】C4．(2022·陕西高考)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【解析】由于点(1,0)关于直线y＝x的对称点为(0,1)，即圆心C为(0,1)，又半径为1，∴圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.【答案】x2＋(y－1)2＝15．(2022·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是________．【解析】依据直线方程分别确定定点A，B的坐标，依据两条动直线的方程可知两直线垂直，从而可确定点P满足的条件，最终依据基本不等式求|PA|＋|PB|的取值范围．由动直线x＋my＝0知定点A的坐标为(0,0)，由动直线mx－y－m＋3＝0知定点B的坐标为(1,3)，且两直线相互垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动．故当点P与点A或点B重合时，|PA|＋|PB|取得最小值，(|PA|＋|PB|)min＝|AB|＝eq\r(10).当点P与点A或点B不重合时，在Rt△PAB中，有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.由于|PA|2＋|PB|2≥2|PA||PB|，所以2(|PA|2＋|PB|2)≥(|PA|＋|PB|)2，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，所以|PA|＋|PB|≤eq\r(2)eq\r(|PA|2＋|PB|2)＝eq\r(2)×eq\r(10)＝2eq\r(5)，所以eq\r(10)≤|PA|＋|PB|≤2eq\r(5)，所以|PA|＋|PB|的取值范围是[eq\r(10)，2eq\r(5)]．【答案】[eq\r(10)，2eq\r(5)]从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．直线方程与两条直线的位置关系①该考向常考内容有直线的倾斜角、斜率、方程，两直线垂直、平行关系及交点的求解；试题设计常与圆锥曲线交汇命题，先求直线方程，再进一步解答其他方面的内容．②从题型上看，单独考查时以选择题为主，突出考查同学的基础学问、基本技能，属中、低档题．2．圆的方程①该考向主要考查求圆的方程及圆的性质的应用，待定系数法在此有时会有所体现．②主要以选择题、填空题的形式消灭，很少消灭在解答题中，属中、低档题．3．直线与圆、圆与圆的位置关系①该考向主要考查直线与圆的相交、相切、相离关系的推断与应用，弦长、面积的求法等及圆与圆的位置关系，并常与圆的几何性质交汇．②从题型上主要以选择题、填空题的形式呈现，属于中、低档题.eq\a\vs4\al(直线方程与两条直线的位置关系)【例1】(1)直线2xcosα－y－3＝0(α∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)])的倾斜角的变化范围是()A．[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]C．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]D．[eq\f(π,4)，eq\f(2π,3)](2)(2022·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0(3)(2021·辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)(b－a3－eq\f(1,a))＝0D．|b－a3|＋|b－a3－eq\f(1,a)|＝0【解析】(1)∵2xcosα－y－3＝0，∴y＝2cosα·x－3.∵eq\f(π,6)≤α≤eq\f(π,3)，∴eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，∴1≤2cosα≤eq\r(3).∴k∈[1，eq\r(3)]．∴θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]．故选B.(2)所求直线过圆心(0,3)，且斜率k为1，∴直线l的方程为y－3＝1×(x－0)，整理得x－y＋3＝0，故选D.(3)依据直角三角形的直角的位置求解．若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝eq\f(π,2)，则b＝a3≠0.若∠B＝eq\f(π,2)，依据斜率关系可知a2·eq\f(a3－b,a)＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－eq\f(1,a)＝0.以上两种状况皆有可能，故只有C满足条件．【答案】(1)B(2)D(3)C【规律方法】1.区分直线的斜率与倾斜角：每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；斜率和倾斜角都反映了直线相对于x轴正方向的倾斜程度．2．求直线方程的方法：(1)直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出方程．(2)待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题目中另一条件求出待定系数．3．两条直线平行与垂直的判定：(1)若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.(2)两条不重合的直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0平行的充要条件为a1b2－a2b1＝0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1.(3)垂直的充要条件为a1a2＋b1b2＝0.判定两直线平行与垂直的关系时，假如给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的状况，还要考虑斜率不存在的状况．[创新猜测]1．(1)(2022·浙江名校联考)已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2022·广州检测)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________．【解析】(1)一方面，若a＝－1，则l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，明显两条直线垂直；另一方面，若l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0，∴a＝－1或a＝2，因此，“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.(2)取直线2x－y＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b＋2,2)－5＝0，,\f(b－2,a)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝5，))∴B(3,5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4.))∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1,4)，∴反射光线在经过点B(3，5)和点P(1,4)的直线上，其直线方程为y－4＝eq\f(4－5,1－3)×(x－1)，整理得x－2y＋7＝0.【答案】x－2y＋7＝0eq\a\vs4\al(圆的方程)【例2】(1)(2022·山东高考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2eq\r(3)，则圆C的标准方程为________．(2)(2021·全国新课标Ⅱ高考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq\r(2)，在y轴上截得线段长为2eq\r(3).①求圆心P的轨迹方程；②若P点到直线y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，求圆P的方程．【解】(1)∵圆心在直线x－2y＝0上，∴可设圆心为C(2b，b)．∴r＝2b(b＞0)．设圆C与x轴交于A，B两点，作CD⊥x轴垂足为D，∴CD＝b，CB＝2b.在Rt△CBD中，|BD|＝eq\r(CB2－CD2)＝eq\r(3)b，∴|AB|＝2|BD|＝2eq\r(3).∴2eq\r(3)b＝2eq\r(3).∴b＝1.∴C(2,1)，r＝2.∴圆的标准方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝4(2)①设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.②设P(x0，y0)，由已知得eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).又P在双曲线y2－x2＝1上，从而得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x0－y0|＝1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1.))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0λ≠－1，,y0＝－1.))此时，圆P的半径r＝eq\r(3).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1.))此时，圆P的半径r＝eq\r(3).故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.【答案】(1)(x－2)2＋(y－1)2＝4(2)见解析【规律方法】圆的方程的求法：(1)几何法，通过争辩圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．从而求得圆的方程一般接受待定系数法．留意：依据条件，设圆的方程时要尽量削减参数，这样可削减运算量．[创新猜测]2．(1)(2022·北京西域区期末)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是()A．－1<m<1B．－eq\r(3)<m<eq\r(3)C．－eq\r(2)<m<eq\r(2)D．－eq\f(\r(2),2)<m<eq\f(\r(2),2)(2)(2022·温州十校联考)已知抛物线C1：x2＝2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B，交C1的准线于C，D，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的方程为()A．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝3B．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝4C．x2＋(y－1)2＝12D．x2＋(y－1)2＝16【解析】(1)由于原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以2m2<4，解得－eq\r(2)<m<eq\r(2)，故选C.(2)如图，连接AC，BD，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，而|FA|＝|AD|＝|FB|为圆的半径r，于是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)r，\f(1,2)＋\f(1,2)r))，而A在抛物线上，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)r))2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)r))，∴r＝2，故选B.【答案】(1)C(2)Beq\a\vs4\al(直线与圆、圆与圆的位置关系)【例3】(1)(2022·重庆高考)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.(2)(2021·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定【解析】(1)依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，于是有eq\f(|1·a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\r(3)，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15).(2)由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，故直线与圆相交．故选B.【答案】(1)4±eq\r(15)(2)B【规律方法】1.直线与圆的位置关系探究：(1)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系如表.方法eq\a\vs4\al(位置,关系)几何法：依据d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))与r的大小关系代数法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2r＞0))消元得一元二次方程的判别式Δ的符号相交d＜rΔ＞0相切d＝rΔ＝0相离d＞rΔ＜0(2)涉及圆的切线问题时，要充分利用“切线与过切点的半径垂直”这一关系，计算弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，弦长公式d＝|x1－x2|·eq\r(1＋k2)也应引起足够的重视．2．圆上的点到直线的距离问题的求解策略：(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数问题求解；(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系问题；(3)直接设点，利用方程思想解决．[创新猜测]3．(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)(2022·福建福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A、B两点，则eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为________．【解析】(1)比较两圆圆心距与两圆半径和差的大小关系进行判定．两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝eq\r(42＋1)＝eq\r(17).∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．(2)依题意，点C的坐标为(3,3)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,x－32＋y－32＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))可令A(3,5)、B(1,3)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－2,0)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.【答案】(1)B(2)0[总结提升]失分盲点(1)忽视直线的斜率不存在：当解题中需要利用直线斜率表达直线方程时，不要遗忘直线的斜率可能不存在的状况．(2)遗忘使用圆的几何性质：在直线与圆的位置关系的处理上要充分利用圆的几何性质，简化计算．答