【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：B4函数的奇偶性与周期性

B4函数的奇偶性与周期性【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】11．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sinx＋4cosx；④|x|＋1＝eq\r(4－y2)对应的曲线中存在“自公切线”的有()A．①②B．②③C．①④D．③④【学问点】双曲线及其几何性质周期性B4H6【答案解析】B①x2-y2=1

是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2-|x|=，在

x=和

x=-

处的切线都是y=-，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=，即

x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B．【思路点拨】①x2-y2=1

是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在

x=

和

x=-处的切线都是y=-，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】14、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是．【学问点】函数奇偶性、单调性的应用.B3B4【答案】【解析】解析：由于当x≥0时，f（x）=，所以f(x)是的增函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即对任意x∈[a，a+2]，由于函数2x+1是[a，a+2]上的增函数，所以2x+1有最大值2a+5,所以.【思路点拨】先依据已知判定函数f(x)是R上的单调增函数，然后把命题转化为对任意x∈[a，a+2],a2x+1恒成立问题求解.【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】2.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是() A. B. C. D.【学问点】利用导数争辩函数的极值；函数奇偶性的性质．B12B4【答案】【解析】D解析：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值．故选D.【思路点拨】依据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】12.若函数且,若是偶函数，且在内是减函数，则整数的值是__________．【学问点】函数奇偶性的性质.B4【答案】【解析】1或3解析：由分段函数f（x）可得，b=f（f（f（0）））=f（f（﹣2））=f（1）=1，由于是偶函数，且在内是减函数，则a2﹣4a﹣1＜0，解得2﹣＜a＜2+，由于a为整数，则a=0，1，2，3，4检验：只有a=1，3时，函数y=x﹣4为偶函数，故答案为：1或3．【思路点拨】运用分段函数表达式，求得b=1，再由幂函数的单调性得到a2﹣4a﹣1＜0，解得a，再求整数a，检验函数的奇偶性，即可得到a．【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】17.(本小题满分12分)已知函数为奇函数.(1)求的值；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【学问点】函数的奇偶性和单调性B3B4【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）令,.∴,∴.(2)在[-1，1]上递增，∴,∴,.【思路点拨】由函数为奇函数，可求时的解析式，即可求出；再利用函数在上递增，可得，即可求出.【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】4.已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值可以是()A.B.C.D.【学问点】函数的奇偶性B4【答案】【解析】B解析：的图像由向左平移1个单位得到，所以的定义域为，又为偶函数，故，即，故选B.【思路点拨】图像平移左加右减，函数的图像左移1个单位得到，由为偶函数可以得定义域关于原点对称，所以两端点之和为0.【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】3.函数的大致图像是（）【学问点】函数图像，奇偶性B8B4【答案】【解析】B解析：由函数解析式可得为偶函数，即，图像取轴上方部分；当时，，其图像在第一象限单调递减，所以选B.【思路点拨】对于分段函数的图像，分别依据不同的定义域画出各段的图像，再依据函数的奇偶性即可得到图像.【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】10.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（）A、B、C、D、或【学问点】函数的单调性；奇偶性；周期性；不等式恒成立问题.B3B4E8【答案】【解析】D解析：由①②得函数是R上的偶函数，的增函数；是周期为，且当时，的函数.所以命题为关于的不等式：，对恒成立.而在上最大值为，所以或.故选D.【思路点拨】依据已知条件确定函数g(x)的奇偶性单调性，及函数f(x)的周期性，由此把命题关于的不等式对恒成立，转化为，对恒成立.所以只需求在上最大值，利用导数求得此最大值为2，所以或.【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】11.若为定义在上的偶函数，，当时，，则当时，（）A.B.C.D.【学问点】函数的奇偶性与周期性B4【答案解析】C,则x-4[-1,1],又由于为偶函数，[-1,0]和[0,1]对称，所以f（x）=,故选C。【思路点拨】依据函数的奇偶性和周期性求出解析式。【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】4.下列函数既是奇函数，又是上的增函数的是（）A.B.C.D.【学问点】函数的奇偶性函数的单调性B3B4【答案解析】DA选项是偶函数，B选项为奇函数但是为减函数，C选项既不是奇函数也不是偶函数，故选D。【思路点拨】依据奇函数偶函数的定义确定，再用增减性求出结果。【数学文卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】11．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sinx＋4cosx；④|x|＋1＝eq\r(4－y2)对应的曲线中存在“自公切线”的有()A．①②B．②③C．①④D．③④【学问点】双曲线及其几何性质周期性B4H6【答案解析】B①x2-y2=1

是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2-|x|=，在

x=和

x=-

处的切线都是y=-，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=，即

x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B．【思路点拨】①x2-y2=1

是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在

x=

和

x=-处的切线都是y=-，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】3、定义在R上的函数满足，且时，，则A．1B．C．D．【学问点】函数的奇偶性与单调性B3,B4【答案】【解析】C解析：由，由于，所以，，所以.故选【思路点拨】把所求的值利用函数的奇偶性与单调性导入已知的区间，再求出结果.【数学文卷·2021届浙江省慈溪市（慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（202211）】6．函数的图象A．关于轴对称B．关于原点对称C．关于直线对称D．关于轴对称【学问点】函数的奇偶性B4【答案解析】B由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f（-x）==-=-f（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选B．【思路点拨】先看函数的定义域，再看f（-x）与f（x）的关系，推断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】9.（）A.1B.C.D.【学问点】函数奇偶性的性质．B4【答案】【解析】D解析：∵关于原点对称，∴函数是奇函数，∴∵是偶函数，∴对任意的都成立，∴，∴，∴对一切恒成立，∴，∴，故选：D【思路点拨】由题意可得对任意的都成立，代入整理可求；由题意可得对任意的都成立，代入整理可求。【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】16．已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有。给出下列命题(1)(2)在[-2，2]上有5个零点(3)点(2022，0)是函数的一个对称中心(4)直线是函数图象的一条对称轴．则正确的是【学问点】奇函数函数的单调性函数的其图像B3B4B10【答案】【解析】(1)(2)(3)解析：由奇函数的性质知所以(1)正确；由得，所以f(1)=0，又f(0)=f(2)=0，且函数的周期为2，又当且时，有，所以函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数模型如图：由函数模型知(2)(3)也正确，所以正确的序号为(1)(2)(3).【思路点拨】抓住函数的性质特征，利用函数模型结合其图像特征解题即可..【数学文卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】19.（本题满分12分）已知函数,其中是自然对数的底数．(1)证明：是上的奇函数；(2)若函数,求在区间上的最大值.【学问点】函数的奇偶性单调性导数的应用B4B12【答案】【解析】(1)略；(2)2.解析：(1)证明:函数的定义域为,且,所以是上的奇函数.5分(2)解:,8分不妨令,则,由可知在上为单调递增函数,所以在上亦为单调递增函数,从而,10分所以的最大值在处取得,即.12分另解：令,∵x∈[0,1],∴t∈[1,e]∴原函数可化为：∴而==又t∈[1,e]时，，∴∴,故在t∈[1,e]上递减∴，即.【思路点拨】依据函数的奇偶性的定义进行推断，依据可得，令，可得，由于由可知在上为单调递增函数,所以在上亦为单调递增函数,利用复合函数的同增异减求得.【数学文卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】19.（本题满分12分）已知函数,其中是自然对数的底数．(1)证明：是上的奇函数；(2)若函数,求在区间上的最大值.【学问点】函数的奇偶性单调性导数的应用B4B12【答案】【解析】(1)略；(2)2.解析：(1)证明:函数的定义域为,且,所以是上的奇函数.5分(2)解:,8分不妨令,则,由可知在上为单调递增函数,所以在上亦为单调递增函数,从而,10分所以的最大值在处取得,即.12分另解：令,∵x∈[0,1],∴t∈[1,e]∴原函数可化为：∴而==又t∈[1,e]时，，∴∴,故在t∈[1,e]上递减∴，即.【思路点拨】依据函数的奇偶性的定义进行推断，依据可得，令，可得，由于由可知在上为单调递增函数,所以在上亦为单调递增函数,利用复合函数的同增异减求得.【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】10.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（）A.B.C.D.或【学问点】函数的单调性；奇偶性；周期性；不等式恒成立问题.B3B4E8【答案】【解析】D解析：由①②得函数是R上的偶函数，的增函数；是周期为，且当时，的函数.所以命题为关于的不等式：，对恒成立.而在上最大值为，所以或.故选D.【思路点拨】依据已知条件确定函数g(x)的奇偶性单调性，及函数f(x)的周期性，由此把命题关于的不等式对恒成立，转化为，对恒成立.所以只需求在上最大值，利用导数求得此最大值为2，所以或.【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】11.若为定义在上的偶函数，且，当时，，则当时，（）A.B.C.