【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第8章-第5节-空间中的垂直关系

第八章第五节一、选择题1．(文)对于直线m、l和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，lαC．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，mα[答案]D[解析]本题考查空间线面位置关系的判定．A：与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合可能平行；故选D．(理)平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是()A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β[分析]本题主要考查立体几何及简易规律的有关学问．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．[答案]D[解析]对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．2．(2022·辽宁高考)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，nα，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α[答案]B[解析]本题考查空间中平行关系与垂直关系．对于A，m∥α，n∥α，则m，n的关系是平行，相交，异面，故A不正确．对于B．由直线与平面垂直的定义知正确．3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⃘α，l⃘β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l[答案]D[解析]解法1：平移直线m使之与n相交于O，这两条直线确定的平面为γ，∵m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β相交．设交线为a，则a⊥γ，又l⊥m，l⊥n，则l⊥γ，∴l∥A．解法2：若α∥β，∵m⊥α，n⊥β，∴m∥n，这与m、n异面冲突，故α与β相交，设α∩β＝a，则a⊥m，a⊥n，在m上取点O，过O作n′∥n，设m与n′确定的平面为γ，∵a⊥m，a⊥n′，∴a⊥γ，∵l⊥n，∴l⊥n′，又l⊥m，∴l⊥γ，∴a∥l.4．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()①平面PAB⊥平面PBC②平面PAB⊥平面PAD③平面PAB⊥平面PCD④平面PAB⊥平面PACA．①② B．①③C．②③ D．②④[答案]A[解析]易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC．又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB，因此选A．5．如图，在正四周体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC[答案]D[解析]因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．6．下列命题中错误的是()A．假如平面α⊥平面β，那么平面α内确定存在直线平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内确定不存在直线垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α内全部直线都垂直于平面β[答案]D[解析]本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础学问．对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内确定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D．二、填空题7．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．[答案]AB，BC，ACAB[解析]∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC．与AP垂直的直线是AB．8．(2021·青岛模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[答案]DM⊥PC(或BM⊥PC)[解析]由定理知，BD⊥PC．∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．9．(文)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是________(填上全部正确命题的序号)．[答案]①④[解析]②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.(理)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．[答案]2eq\r(7)[解析]如图，∵PC⊥平面ABC，MC平面ABC，∴PC⊥MC．故PM＝eq\r(PC2＋MC2)＝eq\r(MC2＋16).又∵MC的最小值为eq\f(4×4\r(3),8)＝2eq\r(3)，∴PM的最小值为2eq\r(7).三、解答题10．(2022·山东高考)如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC．[解析]解题思路：(1)问依据线面平行的判定定理在面BEF找直线与AP平行，充分利用中点的条件．(2)证BF⊥AC，BE⊥AP即可．(1)证明：如图所示，连接AC交BE于点O，连接OF.∵E为AD中点，BC＝eq\f(1,2)AD，AD∥BC，∴四边形ABCE为平行四边形．∴O为AC的中点，又F为PC中点∴OF∥AP.又OF平面BEF，AP⃘平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)由(1)知四边形ABCE为平行四边形．又∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．∴BE⊥AC．由题意知BC綊eq\f(1,2)AD綊ED∴四边形BCDE为平行四边形∴BE∥CD．又∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD．∴AP⊥BE.又∵AP∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC．一、选择题1．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC[答案]C[解析]∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC．2．(2022·广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论确定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定[答案]D[解析]如图，正方体中l1与l4异面．选D．二、填空题3．对于四周体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．其中真命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案]①④[解析]本题考查四周体的性质，取BC的中点E，则BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD，故①正确．设O为A在面BCD上的射影，依题意OB⊥CD，OC⊥BD，∴O为垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正确，②③易排解，故答案为①④.4．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，假如增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：①AC⊥α；②AC∥α；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)[答案]①③[解析]假如AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF.故要得到BD⊥EF，只需AB、CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．三、解答题5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上(1)求证：平面EFG∥平面SDB；(2)求证：PE⊥AC．[解析](1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，∴EF∥SB，EG∥BD．∵EF⃘平面SBD，EG⃘平面SBD，∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD．∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB．(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B．又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD．又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.∵PE平面EFG，∴PE⊥AC．6．(2022·江西高考)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1(1)求证：A1C⊥CC1(2)若AB＝2，AC＝eq\r(3)，BC＝eq\r(7)，问AA1为何值时，三棱柱ABC－A1B1C1体积最大，并求此最大值．[解析](1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1AA1⊥BC，∴BB1⊥BC．又∵BB1⊥A1B，BC∩A1B＝B，∴BB1⊥平面BCA1.∵A1C平面BCA，∴BB1⊥A1C．∵BB1∥CC1，∴A1C⊥(2)设AA1＝x，∵AB＝2，AC＝eq\r(3)，在Rt△A1BB1中，A1B＝eq\r(A1B\o\al(2,1)－BB\o\al(2,1))＝eq\r(4－x2).同理在Rt△AC1CA1C＝eq\r(A1C\o\al(2,1)－CC\o\al(2,1))＝eq\r(3－x2)，在△A1BC中，cos∠BA1C＝eq\f(A1B2＋A1C2－BC2,2A1B·A1C)＝－eq\f(x2,\r(4－x23－x2)).∴sin∠BA1C＝eq\r(\f(12－7x2,4－x23－x2))，∴S△A1BC＝eq\f(1,2)A1