【全程复习方略】2020年数学文(广西用)课时作业：第八章-第四节直线与圆锥曲线的位置关系

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十一)一、选择题1.(2021·北海模拟)已知抛物线的方程为y2=4x,过焦点的弦PQ的长为8,则PQ的中点M到抛物线准线的距离为()(A)4 (B)5 (C)6 (D)82.设F1,F2为椭圆QUOTE+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作始终线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,QUOTE·QUOTE的值等于()(A)0 (B)2 (C)4 (D)-23.已知A,B为抛物线C:y2=4x上的两个不同的点,F为抛物线C的焦点,若QUOTE=-4QUOTE,则直线AB的斜率为()(A)±QUOTE (B)±QUOTE (C)±QUOTE (D)±QUOTE4.已知任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆QUOTE+QUOTE=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()(A)(0,1) (B)(0,5)(C)[1,5)∪(5,+∞) (D)[1,5)5.(2021·玉林模拟)设点P是双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE6.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于()(A)3 (B)4 (C)3QUOTE (D)4QUOTE二、填空题7.已知椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直长轴的弦长为1,则椭圆方程为.8.(2021·柳州模拟)设双曲线QUOTE-y2=1(a>0)与直线x-y=0相交于A,B两点,且|AB|=4QUOTE,则双曲线的离心率e=.9.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+QUOTE=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为QUOTE的点P的个数为.三、解答题10.(2021·玉林模拟)设双曲线C的焦点在y轴上,离心率为QUOTE,其一个顶点的坐标是(0,1).(1)求双曲线C的标准方程.(2)若直线l与该双曲线交于A,B两点,且A,B的中点为(2,3),求直线l的方程.11.(力气挑战题)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)过点F作两条斜率存在且相互垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求QUOTE·QUOTE的最小值.12.(力气挑战题)椭圆C1:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C2:QUOTE-QUOTE=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C1分别交于C,D点,若S△ACD=S△PCD.(1)求P点的坐标.(2)能否使直线CD过椭圆C1的右焦点,若能,求出此时双曲线C2的离心率;若不能,请说明理由.答案解析1.【解析】选A.结合抛物线定义可知弦PQ的中点到准线的距离等于P,Q两点到准线距离和的一半,PQ的中点M到抛物线准线的距离等于弦PQ长的一半即为4.2.【思路点拨】数形结合利用椭圆的几何性质确定最值状况求解.【解析】选D.易知当P,Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2的面积最大,此时F1(-QUOTE,0),F2(QUOTE,0),不妨设P(0,1),∴QUOTE=(-QUOTE,-1),QUOTE=(QUOTE,-1),∴QUOTE·QUOTE=-2.3.【解析】选D.由题意知焦点F(1,0),直线AB的斜率必存在,且不为0,故可设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x中化简得ky2-4y-4k=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=QUOTE①,y1y2=-4②,又由QUOTE=-4QUOTE可得y1=-4y2③,联立①②③式解得k=±QUOTE.4.【解析】选C.直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆QUOTE+QUOTE=1上或其内部即可.从而m≥1,又由于椭圆QUOTE+QUOTE=1中m≠5,所以m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞).【误区警示】本题易误选D,根本缘由是误认为椭圆的焦点在x轴上,得1≤m<5,而忽视其焦点可能在y轴上.5.【解析】选A.由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2|PF1|=2|PF2|,得|PF1|=QUOTE,|PF2|=QUOTE,∴2a=QUOTEc,∴e=QUOTE=QUOTE.6.【思路点拨】转化为过A,B两点且与x+y=0垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题.【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由QUOTE⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1,得AB的中点M(-QUOTE,-QUOTE+b),又M(-QUOTE,-QUOTE+b)在直线x+y=0上,可求出b=1,则|AB|=QUOTE·QUOTE=3QUOTE.7.【解析】∵椭圆QUOTE+QUOTE=1的右顶点为A(1,0),∴b=1,焦点坐标为(0,c),过焦点且垂直于长轴的弦长为1,即1=2|x|=2bQUOTE=QUOTE=QUOTE,a=2,则椭圆方程为QUOTE+x2=1.答案:QUOTE+x2=18.【解析】联立直线与双曲线方程易解得A点(在右支上的交点)的坐标(x1,y1)满足:QUOTE=QUOTE=QUOTE,由题意可得OA=2QUOTE=QUOTE⇒QUOTE=8,解得a2=QUOTE,故c2=QUOTE,故e=QUOTE.答案:QUOTE9.【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最终数形结合求解.【解析】由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=QUOTE,要使△PAB的面积为QUOTE,即QUOTE·QUOTE·h=QUOTE,所以h=QUOTE.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+QUOTE=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2QUOTE,即平移直线l到y=-2x±2QUOTE时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=QUOTE都大于QUOTE,所以一共有4个点符合要求.答案:410.【解析】(1)由已知得a=1,QUOTE=QUOTE,又c2=a2+b2,∴c=QUOTE,b=1,∴双曲线C的标准方程为y2-x2=1.(2)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则QUOTE化简得:6(y1-y2)-4(x1-x2)=0,∴QUOTE=QUOTE,∴直线l的方程为2x-3y+5=0.11.【解析】(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得QUOTE-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|,当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0.所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).由QUOTE,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+QUOTE,x1x2=1.由于l1⊥l2,所以l2的斜率为-QUOTE.设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.QUOTE·QUOTE=(QUOTE+QUOTE)·(QUOTE+QUOTE)=QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=|QUOTE|·|QUOTE|+|QUOTE|·|QUOTE|=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+(2+QUOTE)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+QUOTE)≥8+4×2QUOTE=16.故当且仅当k2=QUOTE,即k=±1时,QUOTE·QUOTE取最小值16.12.【思路点拨】(1)由S△ACD=S△PCD⇒AC=PC,即C为AP的中点且在椭圆上,据此可求出P点坐标.(2)只需将F2(c,0)代入直线CD的方程,设法求a,c的比值即可.【解析】(1)设P(x,y)在双曲线上,则有b2x2-a2y2=a2b2①,∵A(-a,0),B(a,0),∴PA的中点为C(QUOTE,QUOTE),点C在椭圆上,代入椭圆方程,化简得b2x2+a2y2-2ab2x=3a2b2②,①+②:2b2x2-2ab2x=4a2b2,∴x2-ax-2a2=0,(x+a)(x-2a)=0.∵P在双曲线右支上,∴x+a≠0,则x=2a.代入①:a2y2=3a2b2,P在第一象限,∴y>0,y=QUOTEb,得P(2a,QUOTEb).(2)由P(2a,QUOTEb)及B(a,0)得PB:y=QUOTE(x-a).代入椭圆方程:b2x2+a2·QUOTE(x2-2ax+a2)=a2b2,∴4b2x2-6ab2x+2a2b2=0.2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0.∵x<a,∴x=QUOTE,从而y=QUOTE(-QUOTE)=-QU