【全程复习方略】2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第六章-第三节基本不等式

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十六)一、选择题1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是()(A)a<b<QUOTE<QUOTE (B)a<QUOTE<QUOTE<b(C)a<QUOTE<b<QUOTE (D)QUOTE<a<QUOTE<b2.（2021·汉中模拟）函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上(其中m,n>0),则QUOTE+QUOTE的最小值等于()(A)16 (B)12 (C)9 (D)83.(2022·湖北高考)设a,b,c∈R,则“abc=1”是“QUOTE+QUOTE+QUOTE≤a+b+c”的()(A)充分条件但不是必要条件(B)必要条件但不是充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要的条件4.(2021·延安模拟)某企业投入100万元购入一套设备.该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费确定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业年后需要更新设备.()(A)10 (B)11 (C)13 (D)215.(2021·咸阳模拟)已知a=(m，1)，b=(1，n-1)(其中m，n为正数)，若a·b=0，则QUOTE+QUOTE的最小值是()(A)2 (B)2QUOTE (C)4 (D)86.(2022·陕西高考)小王从甲地到乙地来回的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()(A)a<v<QUOTE (B)v=QUOTE(C)QUOTE<v<QUOTE (D)v=QUOTE7.(2021·南昌模拟)设x,y是满足2x+y=20的正数,则lgx+lg(2y)的最大值为()(A)50 (B)2(C)1+lg5 (D)18.(2021·余姚模拟)已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为()(A)5 (B)7 (C)8 (D)9二、填空题9.（2021·安康模拟）设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2QUOTE,则QUOTE+QUOTE的最大值为.10.若对任意x>0,QUOTE≤a恒成立,则a的取值范围是.11.若当x>1时不等式QUOTE>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.12.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是.三、解答题13.若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,(1)求x2+y2的取值范围.(2)求证:xy≤2.14.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.15.(力气挑战题)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的污水处理池,池的深度确定(平面图如图所示),假如池围墙建筑单价为400元/米,中间两道隔墙建筑单价为248元/米,池底建筑单价为80元/米2,水池全部墙的厚度忽视不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.(2)若由于地形限制,设池的长和宽都不能超过16米,试设计该水池的长和宽,使总造价最低.答案解析1.【解析】选B.方法一:令a=1,b=4,则QUOTE=2,QUOTE=QUOTE,∴a<QUOTE<QUOTE<b.方法二:∵0<a<b,∴a2<ab,∴a<QUOTE,a+b<2b,∴QUOTE<b,∴a<QUOTE<QUOTE<b.【变式备选】下列结论中正确的是()(A)若3a+3b≥2QUOTE,则必有a>0,b>0(B)要使QUOTE+QUOTE≥2成立,必有a>0,b>0(C)若a>0,b>0,且a+b=4,则QUOTE+QUOTE≤1(D)若ab>0,则QUOTE≥QUOTE【解析】选D.当a,b∈R时,确定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2QUOTE,A错.要使QUOTE+QUOTE≥2成立,只要QUOTE>0,QUOTE>0即可,这时只要a,b同号,B错.当a>0,b>0,且a+b=4时,则QUOTE+QUOTE=QUOTE,由于ab≤(QUOTE)2=4,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE≥1,C错.当a>0,b>0时,a+b≥2QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE=QUOTE,而当a<0,b<0时,明显有QUOTE>QUOTE,所以当ab>0时,确定有QUOTE≥QUOTE,故D正确.2.【解析】选D.由题意A(-2,-1),∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.∴QUOTE+QUOTE=(QUOTE+QUOTE)(2m+n)=4+QUOTE+QUOTE≥8.当且仅当n=2m时取等号.3.【解析】选A.由于QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE.可知当abc=1时,可推出QUOTE+QUOTE+QUOTE≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,满足QUOTE+QUOTE+QUOTE≤a+b+c,但abc=1不成立.4.【解析】选A.由题意可知x年的维护费用为2+4+…+2x=x(x+1)，所以x年平均费用为y=QUOTE=x+QUOTE+1.5，y=x+QUOTE+1.5≥2QUOTE+1.5=21.5，当且仅当x=QUOTE，即x=10时取等号，所以选A.5.【解析】选C.由于a·b=0，所以m×1+1×(n-1)=0，即m+n=1.又m，n为正数，所以QUOTE+QUOTE=(QUOTE+QUOTE)(m+n)=2+QUOTE+QUOTE≥2+2QUOTE=4，当且仅当QUOTE=QUOTE，即m=n=QUOTE时等号成立.故QUOTE+QUOTE的最小值是4.6.【解析】选A.设甲乙两地的路程为s,则来回时间分别是t1=QUOTE,t2=QUOTE,所以平均速度是v=QUOTE=QUOTE=QUOTE,由于a<b,所以QUOTE>a,QUOTE<QUOTE,即a<v<QUOTE.7.【解析】选B.∵20=2x+y≥2QUOTE,∴2xy≤100,∴lgx+lg(2y)=lg(2xy)≤lg100=2.当且仅当2x=y时取等号.8.【解析】选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即log2[(m-2)(2n-2)]=3,因此QUOTE于是n=QUOTE+1.所以m+n=m+QUOTE+1=m-2+QUOTE+3≥2QUOTE+3=7.当且仅当m-2=QUOTE,即m=4时等号成立,此时m+n取最小值7.9.【解析】由题意x=loga3,y=logb3.∴QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=log3a+log3b=log3(ab).∵2QUOTE=a+b≥2QUOTE,∴ab≤3,∵QUOTE+QUOTE≤log33=1,当且仅当a=b时取等号.∴QUOTE+QUOTE的最大值为1.答案：110.【解析】∵x>0,∴x+QUOTE≥2(当且仅当x=1时取等号),∴QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,∴(QUOTE)max=QUOTE,∴a≥QUOTE.答案：a≥QUOTE【方法技巧】依据恒成立求参数的方法(1)若a≥f(x)恒成立,只需a≥f(x)max.(2)若a≤f(x)恒成立,只需a≤f(x)min.即将求参数的范围问题转化为求函数的最值问题来解决.11.【思路点拨】关键是用基本不等式求QUOTE的最小值,可将其分子依据分母x-1进行配方,然后分解为3项,再利用基本不等式求最值.【解析】由于QUOTE=QUOTE=(x-1)+QUOTE+2≥2QUOTE+2=6,当且仅当x=3时取等号,所以要使不等式恒成立,应有m2+1<6,解得-QUOTE<m<QUOTE.答案：-QUOTE<m<QUOTE12.【思路点拨】先对x2+y2变形,用x+y与xy表示,然后用基本不等式将xy转化为x+y,再解不等式得x+y的最大值.【解析】由x2+y2+xy=1可得(x+y)2-xy=1,所以(x+y)2-1=xy,由于xy≤(QUOTE)2,所以(x+y)2-1≤(QUOTE)2,因此(x+y)2≤QUOTE,所以x+y≤QUOTE,即x+y的最大值是QUOTE.答案：QUOTE13.【解析】(1)(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,即(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,有(x2+y2+5)·(x2+y2-4)≤0,由于x2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4.(2)由(1)知x2+y2≤4,由基本不等式得xy≤QUOTE≤QUOTE=2,所以xy≤2.14.【思路点拨】把2x+8y-xy=0转化为QUOTE+QUOTE=1即可.【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得QUOTE+QUOTE=1,又x>0,y>0,则1=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE,得xy≥64,当且仅当QUOTE=QUOTE时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得QUOTE+QUOTE=1,则x+y=(QUOTE+QUOTE)·(x+y)=10+QUOTE+QUOTE≥10+2QUOTE=18.当且仅当QUOTE=QUOTE,且QUOTE+QUOTE=1时等号成立,∴x+y的最小值为18.15.【解析】(1)设污水处理池的宽为x米,则长为QUOTE米,则总造价f(x)=400×(2x+2×QUOTE)+248×2x+80×162=1296x+QUOTE+12960=1296(x+QUOTE)+12960≥1296×2QUOTE+12960=38