【优化方案】2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第七章第2课时

[基础达标]1．(2022·吉林长春市调研)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()A．eq\f(3,2)π B．2πC．3π D．4π解析：选A．依题意知，该几何体是一个底面半径为eq\f(1,2)、高为1的圆柱，其表面积为2π(eq\f(1,2))2＋2π×eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)π.2.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2eq\r(3)，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4 B．2eq\r(3)C．2 D．eq\r(3)解析：选B．设底面边长为x，则V＝eq\f(\r(3),4)x3＝2eq\r(3)，∴x＝2.由题意知这个正三棱柱的侧视图为长为2，宽为eq\r(3)的矩形，其面积为2eq\r(3).3．(2021·高考江西卷)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π解析：选A．由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体．长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积V＝10×4×5＋9π＝200＋9π.4．(2022·广东广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)的值等于()A．eq\f(2,π) B．eq\f(6,π)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,2)解析：选D．设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝eq\f(3,4)a2，即a＝eq\f(2\r(3),3)R，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))\s\up12(2))＝eq\f(π,2).5.(2021·高考浙江卷)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3解析：选B．此几何体为一个长方体ABCD­A1B1C1D1被截去了一个三棱锥A­DEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×4×3)×4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．6.(2022·安徽省“江南十校”联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线，∴2R＝2eq\r(3)(R为球的半径)，∴R＝eq\r(3).∴球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.答案：4eq\r(3)π7．(2021·高考浙江卷)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.解析：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V1＝eq\f(1,2)×3×4×5＝30(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝6(cm3)，所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm3)．答案：248．(2022·湖北武汉市武昌区联考)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2eq\r(3)的圆台，则几何体的表面积S＝π×1＋π×9＋eq\f(1,2)×4×(2π＋6π)＝26π.答案：26π9.(2022·浙江杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圆台－V圆锥＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).[力气提升]1．(2021·高考湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简洁几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简洁几何体均为旋转体，下面两个简洁几何体均为多面体，则有()A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4解析：选C．由三视图可知，四个几何体自上而下依次是：圆台、圆柱、正方体、棱台，其体积分别为V1＝eq\f(1,3)×1×(π＋2π＋4π)＝eq\f(7,3)π，V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8，V4＝eq\f(1,3)×1×(4＋8＋16)＝eq\f(28,3)，于是有V2<V1<V3<V4.2．(原创题)一四周体的三视图如图所示，则该四周体的四个面中最大的面积为()A．2 B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：选D．由三视图可知该几何体是正方体中如图所示的四周体，它的四个面中面积最大的是边长为2eq\r(2)正三角形，其面积为eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3).3．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．解析：如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得HA＝eq\f(1,3)·2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝eq\f(R,3).∵截面面积为π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝eq\f(1,9)R2＋HM2＝eq\f(1,9)R2＋1，∴R＝eq\f(3\r(2),4).∴S球＝4πR2＝4π·(eq\f(3\r(2),4))2＝eq\f(9,2)π.答案：eq\f(9,2)π4．(2021·高考湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，∴降水量为eq\f(\f(π,3)（102＋10×6＋62）×9,π×142)＝3(寸)．答案：35．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝eq\r(3)，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C是边长为eq\r(3)的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，故该几何体是直三棱柱，其体积V＝S△ABC·BB1＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).(2)证明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C．由于四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1.而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.6．(选做题)如图所示，从三棱锥P­ABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P­ABC中，求证：PA⊥BC；(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P­ABC的体积．解：(1)证明：由题设知A，B，C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3，从而PB＝PC，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，PD(图略)，则AD⊥BC，PD⊥BC．又AD∩PD＝D，∴BC⊥平面PAD．故PA⊥BC．(2)由题设有AB＝AC＝eq\f(1,2)P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝13，∴AD＝PD＝eq\r(AB2－BD2)＝12.在等腰三角形DPA中，底