【创新设计】2022届-数学一轮(理科)-苏教版-江苏专用-课时作业-第八章-立体几何-1-

第1讲空间几何体及其表面积与体积基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2021·无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为eq\r(2)，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．解析该正三棱锥的底面积为eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),2)，高为eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2)＝eq\f(\r(3),3)，所以该正三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)2．(2021·宿迁模拟)用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为________cm.解析用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥的母线长为2，底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，则这个圆锥筒的高为eq\r(22－r2)＝eq\r(3)(cm)．答案eq\r(3)3.(2022·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的全部棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案eq\f(\r(3),12)4．(2021·盐城模拟)若一个圆锥的侧面开放图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析由圆锥的侧面开放图是面积为4π的半圆面，得该半圆的半径是2eq\r(2)，即为圆锥的母线长．半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为r，则2eq\r(2)π＝2πr，解得r＝eq\r(2)，所以圆锥的高是h＝eq\r(2\r(2)2－r2)＝eq\r(6)，体积是V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(2\r(6),3)π.答案eq\f(2\r(6),3)π5．(2021·苏、锡、常、镇四市调研)已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD＝2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连接BC，则三棱锥C－ABD的体积为________．解析由题意可得∠CDB＝60°，DC＝DB，所以△DCB是边长为2的等边三角形，且AD⊥平面DCB，所以三棱锥C－ABD的体积为eq\f(1,3)S△BCD·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2sin60°×2＝eq\f(2\r(3),3).答案eq\f(2\r(3),3)6．(2021·南京模拟)已知圆锥的侧面开放图是一个半径为3cm，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形，则此圆锥的高为________cm.解析设圆锥的底面半径为r，则2πr＝3×eq\f(2π,3)，所以r＝1，所以高为eq\r(32－12)＝2eq\r(2).答案2eq\r(2)7．(2022·山东卷)一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析设六棱锥的高为h，斜高为h0.由于该六棱锥的底面是边长为2的正六边形，所以底面面积为eq\f(1,2)×2×2×sin60°×6＝6eq\r(3)，则eq\f(1,3)×6eq\r(3)h＝2eq\r(3)，得h＝1，所以h0＝eq\r(\r(3)2＋12)＝2，所以该六棱锥的侧面积为eq\f(1,2)×2×2×6＝12.答案128．(2021·泰州检测)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B－ACC1D解析由于四棱锥B－ACC1D的底面ACC1D的面积为eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，高为eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，所以体积为eq\f(1,3)×6×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)二、解答题9．(2022·苏州检测)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是eq\f(3,2)cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积．解(1)设O1、O分别为正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O＝eq\f(3,2)，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝eq\f(3,2)，因O1D1＝eq\f(\r(3),6)×3＝eq\f(\r(3),2)，OD＝eq\f(\r(3),6)×6＝eq\r(3)，则DE＝OD－O1D1＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).在Rt△D1DE中，D1D＝eq\r(D1E2＋ED2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\r(3)(cm)．故三棱台的斜高为eq\r(3)cm.(2)设c，c′分别为上、下底的周长，h′为斜高，S侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′＝eq\f(1,2)(3×3＋3×6)×eq\r(3)＝eq\f(27\r(3),2)(cm2)，S表＝S侧＋S上＋S下＝eq\f(27\r(3),2)＋eq\f(\r(3),4)×32＋eq\f(\r(3),4)×62＝eq\f(99\r(3),4)(cm2)．故三棱台的侧面积为eq\f(27\r(3),2)cm2，表面积为eq\f(99\r(3),4)cm2.10．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D－ABC的体积．(1)证明在题图中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2eq\r(2)，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·BC＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3)，由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为eq\f(4\r(2),3).力量提升题组(建议用时：25分钟)1．(2022·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．解析设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r1、h1，r2、h2，则2πr1h1＝2πr2h2，eq\f(h1,h2)＝eq\f(r2,r1)，又eq\f(S1,S2)＝eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2)，则eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))·eq\f(r2,r1)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)2．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为________．解析由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝eq\r(3)，SC＝4，所以SA＝SB＝2eq\r(3)，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×4＝eq\r(3).答案eq\r(3)3．(2022·云南统一检测)已知球O的体积等于eq\f(125π,6)，假如长方体的八个顶点都在球O的球面上，那么这个长方体的表面积的最大值等于________．解析由球O的体积为eq\f(125π,6)＝eq\f(4,3)πR3，得球O的半径R＝eq\f(5,2).设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2＋y2＋z2＝(2R)2＝25，所以该长方体的表面积2xy＋2xz＋2yz≤2(x2＋y2＋z2)＝50，当且仅当x＝y＝z时取等号，所以表面积的最大值为50.答案504.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．(1)证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形．由于QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝eq\f