【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：4.5-数系的扩充与复数的引入-

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十七)数系的扩充与复数的引入(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2022·安徽高考)设i是虚数单位,复数i3+2i1+iA.-i B.i C.-1 D.1【解析】选D.i3+2i1+i=-i+2=-i+2i(1-i)2.(2022·浙江高考)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反过来(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则a2-b2=0,2ab=2,解得a=1,b=1或a=-1,b=-1,所以3.在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.i(2-i)=2i-i2=1+2i,所以对应的点(1,2)位于第一象限.4.已知复数z=(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是纯虚数,则a=()A.0 B.1 C.-1 D.±1【解析】选C.由题意得a25.(2021·阜阳模拟)复数-i2i-1A.15i B.15 C.-15i 【解析】选B.-i2i-1=-i(2i+1)(2i-1)(2i+1)=所以虚部为156.(2021·泉州模拟)复数z=m-2i1+2i(m∈A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解题提示】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行推断.【解析】选A.z=m-2i1+2i=(m-2i)(1-2i)5=m-45+-(【一题多解】本题还可用以下方法求解.z=m-2i1+2i=m-45+-(2m+2)5【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)依据复数的代数形式,通过其实部和虚部可推断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可推断出其对应点在复平面上的位置.7.计算：12-A.18-338i B.1C.12-32i D.12【解析】选D.原式=1=1=-12-=12+3【一题多解】本题还可有如下解法:原式=1=14-34i二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2022·湖南高考)复数3+ii2【解析】由于3+ii2答案:-39.(2021·日照模拟)若复数z=1+i(i为虚数单位),z是z的共轭复数,则z2+z

2=【解析】由于z=1+i,所以z=1-i,则z2+z2=(1+i)2+(1-i)2答案:010.若定义a则2i3i【解题提示】充分利用定义代入求解即可.【解析】由已知定义可知2i3i3i=-2(3-2i)+9=3+4i.答案:3+4i(20分钟40分)1.(5分)(2021·济南模拟)设i是虚数单位,复数a+i2-iA.-2 B.2 C.-12 D.【解析】选D.由于复数a+i2-i=(a+i)(2+i)(2+i)(2-i)=所以2a-1=0,得a=12【加固训练】设i是虚数单位,复数1+ai2-i为纯虚数,则实数a为【解析】若1+ai2-i=(1+ai)(2+i)(2-i)(2+i)=(2-a)+(2a+1)i5=答案:22.(5分)已知复数z满足|z|=1,则|z-(4+3i)|的最大、最小值为()A.5,3 B.6,4 C.7,5 D.6,5【解题提示】利用复数的几何意义或设出后代入求解.【解析】选B.方法一:由|z|=1知复数z对应的点为以原点为圆心,以1为半径的圆上的点.而|z-(4+3i)|则表示单位圆上的点到点P(4,3)的距离.又|OP|=42故|z-(4+3i)|max=5+1=6,|z-(4+3i)|min=5-1=4.方法二:设z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=1得x2+y2=1,又|z-(4+3i)|=|(x-4)+(y-3)i|=(x-4由几何意义可知上式为单位圆上的点到P(4,3)点的距离.又|OP|=5,故|z-(4+3i)|max=5+1=6,|z-(4+3i)|min=5-1=4.3.(5分)(2021·重庆模拟)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=0,则z1=z2 B.若z1=z2,则C.若z1=z2,则z1·z1=z2·z2 D.若z1=【解析】选D.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).选项具体分析结论A若|z1-z2|=0,则(a-c)2+(b-d)2=0,所以a=c,b=d,即z1正确B若z1=z2,则a=c,b=-d,所以z1正确C若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·z1=z2·正确Dz12=(a2-b2)+2abi,z22=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的前提下不能保证a2-b2=c错误4.(12分)(2021·临沂模拟)若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根.(1)试求b,c的值.(2)1-2i是否是所给方程的根,试给出推断.【解题提示】(1)由复数相等列关于b,c的方程组求解.(2)代入方程验证即可.【解析】(1)由于1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则(1+2i)2+b(1+2i)+c=0,整理得(b+c-1)+(22+2b)i=0,则22+即b=-2,c=3.(2)由(1)得方程为x2-2x+3=0,把1-2i代入方程左边得(1-2i)2-2(1-2i)+3=1-22i+2i2-2+22i+3=1-2-2+3=0,即1-2i满足方程x2-2x+3=0,所以1-2i是所给方程的根.【加固训练】已知复数z=bi(b∈R),z-2(1)求复数z.(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.【解析】(1)由于z=bi(b∈R),所以z-21+i=bi-21+i=(bi-2)(1-i)(1+i)(1-i)=又由于z-21+i是实数,所以(2)由于z=-2i,m∈R,所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,又由于复数(m+z)2所表示的点在第一象限,所以m2-4>0,-4m>0.解得m<-2,即m∈5.(13分)(力气挑战题)若虚数z同时满足下列两个条件:①z+5z是实数;②这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题提示】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),依据条件①②列关于实数a,b的方程组,把复数问题转化为实数的计算.【解析】存在.设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+5z=a+bi+=a1+5a又z+3=a+3+bi,z+5z依据题意有b由于b≠0,所以a解得a=-1,b=-2所以z=-1-2i或z=-2-i.【加固训练】已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数满足|z-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.【解题提示】(1)把b代入方程,依据复数的实部、虚部等于0解题即可.(2)设z=s+ti(s,t∈R),依据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,依据轨迹解决|z|的最值问题.【解析】(1)由于b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,所以b2(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),由|