【名师伴你行】2021届高考理科数学二轮复习专题提能专训13-第13讲-与数列交汇的综合问题

提能专训(十三)空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．(2022·南阳模拟)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有始终角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()[答案]C[解析]由题中侧视图知，有一侧棱垂直底面，有一侧看不到，应画为虚线，因此应选C.2．(2022·江西师大附中模拟)已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C．1D.eq\f(1,2)[答案]B[解析]由题中主视图和俯视图知，该三棱锥如图所示，其侧视图是一个两直角边分别为eq\f(\r(3),2)和1的直角三角形．故它的面积为eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).3．(2022·凉山二诊)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积是()A．1＋eq\r(2) B．2＋2eq\r(2)C.eq\f(1,3) D．2＋eq\r(2)[答案]D[解析]由题中三视图知，该几何体是四棱锥，如图所示，其底面是边长为1的正方形，高为1，且高为1的侧棱垂直底面．如图，其表面积S＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＝2＋eq\r(2).4．(2022·山西四校四联)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为eq\f(4π,3)的球体与棱柱的全部面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A．6eq\r(3) B．12eq\r(3)C．18eq\r(3) D．24eq\r(3)[答案]C[解析]此三棱柱为正三棱柱，体积为eq\f(4π,3)的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面正三角形中心到三角形边的距离为1，故可得到三角形的高是3，三角形边长是2eq\r(3)，所以三棱柱的表面积为2×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2＋3×2eq\r(3)×2＝18eq\r(3).5．(2022·绵阳二诊)一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为()A．8＋eq\f(π,3) B．8＋eq\f(2π,3)C．8＋eq\f(8π,3) D．8＋eq\f(16π,3)[答案]A[解析]由三视图可知，该零件的下部是一个棱长为2的正方体，上部是一个半径为1的球的eq\f(1,4)，所以其体积V＝23＋eq\f(1,4)×eq\f(4π,3)＝8＋eq\f(π,3)，故选A.6．(2022·南充一模)一四周体的三视图如图所示，则该四周体四个面中最大的面积是()A．2 B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)[答案]D[解析]由题中三视图可知，该四周体为D－BD1C1，由直观图可知，面积最大的面为△BDC1.在正三角形BDC1中，BD＝2eq\r(2)，所以面积S＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2))2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，故选D.7．(2022·唐山统考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1AA．2 B．1C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)[答案]C[解析]由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点．设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝eq\f(x,2)，MC1＝eq\f(x,2)，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＝1，即x＝eq\r(2)，则AB＝AC＝1，∴S矩形ABB1A1＝eq\r(2)×1＝eq\r(2).8．(2022·南昌一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为()A．1B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)[答案]D[解析]由题中三视图可知，该几何体为三棱锥，设此三棱锥的高为x，则主视图中的长为eq\r(6－x2)，所以所求体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(6－x2)×1))x＝eq\f(1,6)eq\r(6－x2x2)≤eq\f(1,6)×eq\f(6－x2＋x2,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当eq\r(6－x2)＝x，即x＝eq\r(3)时取等号，所以该几何体的体积的最大值为eq\f(1,2).9．(2022·湖南六校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为()A．4eq\r(3)π B．12πC．2eq\r(3)π D．4eq\r(2)π[答案]A[解析]由题中三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，腰为2，有一侧棱垂直于底面的三棱锥，且此侧棱长为2，此三棱锥恰为棱长为2的正方体切割而成，三棱锥的四个顶点恰为此正方体的顶点，故正方体的外接球就是此三棱锥的外接球，半径R为正方体的体对角线长的eq\f(1,2)，R＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，所以其外接球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.10．(2022·石家庄调研)已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，则球O的表面积为()A.eq\f(64π,3)B.eq\f(8π,3)C．4πD.eq\f(16π,9)[答案]A[解析]AC＝eq\r(22＋22－2×2×2×cos120°)＝2eq\r(3)，设△ABC所在截面圆半径为r，则2r＝eq\f(AC,sin120°)＝eq\f(2\r(3),sin120°)＝4，即r＝2，d＝eq\f(R,2)，而d2＋r2＝R2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2＋4＝R2，解得R2＝eq\f(16,3)，所以S球＝4πR2＝4π×eq\f(16,3)＝eq\f(64π,3).二、填空题11．(2022·长春二模)用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图)，则鸡蛋中心(球心)与蛋托底面的距离为________．[答案]eq\r(3)＋eq\f(\r(6),3)[解析]由题意可知蛋托的高为eq\r(3)，且折起的三个小三角形顶点连线构成边长为1的等边三角形，鸡蛋中心到此等边三角形所在平面的距离d＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，所以鸡蛋中心与蛋托底面的距离为eq\r(3)＋eq\f(\r(6),3).12．(2022·陕西质检)已知一个空间几何体的三视图如图所示，依据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为________．[答案]eq\f(16,3)[解析]由题中三视图知，该几何体为组合体，上面为三棱锥，下面为直三棱柱，共同底面为等腰直角三角形且腰长为2，三棱锥和三棱柱的高都为2，则体积V＝2×eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×2＝eq\f(16,3).13．(2022·石家庄一模)在三棱锥P－ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3,4,5，则过点P和Q的全部球中，表面积最小的球的表面积为________．[答案]50π[解析]∵侧棱PA，PB，PC两两垂直，∴过点P和Q的全部球中，表面积最小的球是以PQ为体对角线，长、宽、高分别是4,3,5的长方体的外接球，此球的表面积是50π.14．(2022·南京、盐城一模)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四周体PBCE的体积为________．[答案]eq\f(\r(3),3)[解析]明显PA⊥平面BCE，底面BCE的面积为eq\f(1,2)×1×2×sin120°＝eq\f(\r(3),2)，所以VP－BCE＝eq\f(1,3)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).15．(2022·安徽模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AB，CD上，若EF①四周体PEFQ的体积与点P，Q的位置无关；②△EFQ的面积为定值；③四周体PEFQ的体积与点P的位置有关，与点Q的位置无关；④四周体PEFQ的体积为正方体体积的eq\f(1,12)；⑤点P到平面EFQ的距离随着P的变化而变化．其中正确的序号是________．[答案]①②④[解析]由题意，△EFQ的高始终为定值，即矩形A1B1CD的宽4eq\r(2)，又EF＝2，故其面积为定值eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2)，故②正确；又AB∥平面A1B1CD，故点P到△EFQ的距离为定值，故⑤错误；连接B1C与BC1交于点O，则OB即为点P到△EFQ的距离，为2eq\r(2)，四周体PEFQ的体积为定值eq\f(1,3)×4eq\r(2)×2eq\r(2)＝eq\f(16,3)，故①正确，③错误；体积之比为eq\f(\f(16,3),43)＝eq\f(1,12)，故④正确．16．(2022·德州二模)一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是________．[答案]8eq\r(3)＋eq\