【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-集合中的创新问题

集合中的创新问题创新意识是理性思维的高层次表现，是发觉问题和解决问题的重要途径．考查时往往供应崭新的问题背景，这就需要选择有效的方法和手段来分析新信息，进行独立的思考、探究和争辩，同时借助已有学问搭建的平台，把新信息机敏运用，最终达到解决问题的目的．以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目经常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发觉”为目的，常见的命题形式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的力量．1．创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的学问加以深化地创新，结合原有集合的相关学问和相应数学学问，来解决新定义的集合创新问题．【例1】若x∈A，则eq\f(1,x)∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，eq\f(1,2)，2,3}的全部非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A．1B．3C．7D．31【解析】具有伙伴关系的元素组是－1；eq\f(1,2)，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，{eq\f(1,2)，2}，{－1，eq\f(1,2)，2}．【答案】B2．创新集合新运算创新集合新运算问题是依据肯定的数学规章和要求给出新的集合运算规章，并依据此集合运算规章和要求结合相关学问进行规律推理和计算等，从而达到解决问题的目的．【例2】设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，假如P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1}B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2}D．{x|2≤x<3}【解析】由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．【答案】B3．创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学学问来解决有关的集合性质的问题．【例3】对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b2＝1，,c2＝b))时，b＋c＋d等于()A．1B．－1C．0D．i【解析】∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1.【答案】B【规律感悟】求解集合中的创新问题，主要抓两点：(1)紧扣新定义、新运算、新性质．首先分析新定义、新运算、新性质的特点，把新定义、新运算、新性质所叙述的问题的本质弄清楚，并应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要擅长从试题中发觉可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．建议用时实际用时错题档案45分钟一、选择题1．(2022·辽宁高考)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}【解析】∵A∪B＝{x|x≤0}∪{x|x≥1}＝{x|x≤0，或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D.【答案】D2．(2021·江西高考)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4B．2C．0D．0或4【解析】当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.【答案】A3．(2021·福建高考)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为()A．2B．3C．4D．16【解析】A∩B＝{1,3}，其子集有∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个，故选C.【答案】C4．(2022·武汉市武昌区调研)“x>0，y>0”是“xy>0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x>0，y>0时，肯定有xy>0，而当xy>0时，有可能x<0，y<0，故“x>0，y>0”是“xy>0”的充分不必要条件．【答案】A5．(2022·潍坊联考)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，ex>0B．∀x∈N，x2>0C．∃x0∈R，lnx0<1D．∃x0∈N*，sineq\f(πx0,2)＝1【解析】对于B，当x＝0时，x2＝0，与x的任意性冲突，故选B.【答案】B6．(2022·武汉调研)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】依题意，“若綈p，则q”是假命题，“若q，则綈p”是真命题，所以“若綈q，则p”是假命题，“若p，则綈q”是真命题，故p是綈q的充分不必要条件．【答案】A7．下列叙述中正确的是()A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【解析】当a＝0时，A错；当b＝0时，B错，C中结论应为x2＜0，故C错；故选D.【答案】D8．已知命题p：“在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，则|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|”，则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】由于－π<A－B<π，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cosA＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB⇔sinBcosA＝sinAcosB⇔sin(B－A)＝0⇔A＝B⇔|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，由于原命题、逆命题为真命题，逆否命题和否命题也都为真命题，真命题的个数为3，故选D.【答案】D9．(2022·河南安阳一模)已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝eq\f(\r(5),2)；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是()A．②④B．②③C．③④D．①②③【解析】由于对任意实数x，|sinx|≤1，而sinx＝eq\f(\r(5),2)>1，所以p为假；由于x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．因而②③正确．【答案】B10．(2021·深圳调研)设S是实数集R的非空子集，假如∀a，b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，则称S是一个“和谐集”．下面命题中假命题是()A．存在有限集S，S是一个“和谐集”B．对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”C．若S1≠S2，且S1，S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠∅D．对任意两个“和谐集”S1，S2，若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2＝R【解析】对于A，如S＝{0}，明显该集合满足：0＋0＝0∈S,0－0＝0∈S，因此A正确；对于B，设任意x1∈{x|x＝ka，k∈Z}，x2∈{x|x＝ka，k∈Z}，则存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1＝k1a，x2＝k2a，x1＋x2＝(k1＋k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，x1－x2＝(k1－k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，因此对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”，B正确；对于C，依题意，当S1，S2均是“和谐集”时，若a∈S1，则有a－a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此时S1∩S2≠∅，C正确；对于D，如取S1＝{0}≠R，S2＝{x|x＝eq\r(2)k，k∈Z}≠R，易知集合S1，S2均是“和谐集”，此时S1∪S2≠R，D不正确．【答案】D二、填空题11．若M＝{x∈Z|logeq\f(1,3)x≥－1}，则集合M的真子集的个数为________．【解析】M＝{x∈Z|logeq\f(1,3)x≥－1}＝{x∈Z|0<x≤3}＝{1,2,3}，集合M中有3个元素，它有7个真子集．【答案】712．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则a的取值范围是________．【解析】由题意得：x为任意的实数，都有ax2－ax－2≤0恒成立．当a＝0时，不等式明显成立；当a≠0时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝a2＋8a≤0，))得－8≤a<0，∴－8≤a≤0.【答案】[－8,0]13．(创新题)若命题p：曲线eq\f(x2,a－2)－eq\f(y2,6－a)＝1为双曲线，命题q：函数f(x)＝(4－a)x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．【解析】当p为真命题时，(a－2)(6－a)>0，解之得2<a<6.当q为真命题时，4－a>1，即a<3.由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p、q一真一假．当p真q假时，3≤a<6.当p假q真时，a≤2.因此实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．【答案】(－∞，2]∪[3,6)14．(猜测题)对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n＝eq\f(m＋n,2)；当m，n为一奇一偶时，m⊙n＝eq\r(mn)，设集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，则集合A中的元素个数为________．【解析】(1)当a，b都为偶数或都为奇数时，eq\f(a＋b,2)＝6⇒a＋b＝12，由2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，知符合题意的点(a，b)有2×5＋1＝11个；(2)当a，b为一奇一偶时，eq\r(ab)＝6⇒ab＝36，由1×36＝3×12＝4×9＝36，知符合题意的点(a，b)有2×