【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮单元评估检测(五)第五章-

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(五)第五章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2021·临沂模拟)等差数列{an},{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为()A.0 B.100 C.1000 D.10000【解析】选D.由等差数列的定义知{an+bn}也是等差数列,所以要求的和为S=100(25+75+100)2.已知数列{an}的通项公式为an=411-2n,则满足an+1<an的n的取值为A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.由an+1<an,得an+1-an=49-2n-411-2n=8(9-2n)(11-2n)<0,解得9n∈N*,所以n=5.3.(2021·郑州模拟)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(2n-1),则a1+a2+a3+…+a100=()A.-200 B.-100 C.200 D.100【解析】选D.由题意知,a1+a2+a3+…+a100=-1+3-5+7+…+(-1)100(2×100-1)=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.4.(2021·衡水模拟)已知数列{an}的通项公式为an=pn+qn(p,q为常数),且a2=32,a4=32,则aA.54 B.94 C.34【解析】选B.由题意知2p+q所以a8=8p+q8=8×14+285.已知数列32,54,76,9a-b,aA.(19,3) B.(19,-3)C.192,32【解析】选C.由a-b=8,a+b=11解得a=192,b=3【方法技巧】数列通项公式的一般求法用观看—归纳—猜想—证明的方法,找数列的通项公式时,首先要留意观看各个式子的特征,并据此把式子分解成几个部分,然后各个击破,对于正负相间的项,用-1的指数式来予以调整.6.已知数列{an}为等差数列,数列{bn}是各项均为正数的等比数列,且公比q>1,若a5=b5,a2021=b2021,则a1010与b1010的大小关系是()A.a1010=b1010 B.a1010>b1010C.a1010<b1010 D.无法推断【解析】选B.由题意知a1010=a5+a20152>a7.数列{an}的通项an=nn2+90,则数列{aA.310 B.19 C.119 D.【解析】选C.由于an=1n+1n+90n≤1290,由于n∈N*8.假如一个数列{an}满足an+1+an=h(h为常数,n∈N*),则称数列{an}为等和数列,h为公和,Sn是其前n项和.已知等和数列{an}中,a1=1,h=-3,则S2021等于()A.3020 B.3021 C.-3020 【解析】选C.由公和h=-3,a1=1,得a2=-4,并且数列{an}是以2为周期的数列,则S2021=1007(a1+a2)+a1=-3021+1=-3020.【加固训练】设Sn为数列{an}的前n项和,若S2nSn(n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”;若数列{cn}是首项为2,公差为d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”【解析】由题意可知,数列{cn}的前n项和为Sn=n(c1+cn)2,前2n项和为S2n=2n(c1+c2n)2,所以答案:49.(2021·烟台模拟)已知数列{an}的前n项之和是Sn,且4Sn=(an+1)2,则下列说法正确的是()A.数列{an}为等差数列B.数列{an}为等比数列C.数列{an}为等差或等比数列D.数列{an}可能既不是等差数列也不是等比数列【解析】选C.当n=1时,4a1=(a1+1)2,解得a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+1即4an=an2-an-12+2a即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,所以an+an-1=0或an-an-1=2,当an=-an-1时,{an}是等比数列,当an-an-1=2时,{an}是等差数列.10.(2021·合肥模拟)设{an}是公比为q的等比数列,其前n项积为Tn,并满足条件a1>1,a99a100-1>0,a99-1a100-1<0,给出下列结论:③a99a101<1;④使Tn<1成立的最小自然数n等于199,则其中正确的是A.①②③ B.①③④C.②③ D.①②③④【解析】选B.由a1>1,a99a100>1得q>0,又a99-1a100-1<0知:a99-1>0,a100-1<0,且0<q<1,①式成立;又T198=a1·a2·…·a198=(a99a100)99>1,②式不成立;a99·a101=a1002<1,③成立;由于T198>1,T199=a1·a2·…·a199二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2021·天水模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an=1n=2,3,4,…,设bn=a

2n-1+1,n=1,2,3,…,则数列{bn【解析】由题意得,对于任意的正整数n,bn=a2所以bn+1=a2又a2n+1=(2a2n2所以bn+1=2bn,又b1=a1+1=2,所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,所以bn=2n.答案:bn=2n【加固训练】若数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则an=.【解析】由已知an+1-an=2n,故有a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…,an-an-1=2n-1.以上n-1个式子两边分别相加,则有an-a1=2+22+23+…+2n-1=2(1-2n-1所以an=2n-2+a1=2n-1.答案:2n-112.(2021·菏泽模拟)已知数列{an}满足a1=0,an+1=an-33an+1(n∈【解析】由题意知,a1=0,a2=-3,a3=3,a4=0,a5=-3,a6=3,从而数列{an}的各项呈周期性排列,周期为3,所以a20=a2=-3.答案:-3【加固训练】(2021·成都模拟)数列{an}是等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,则此数列的前n项和Sn=.【解析】由题意可得f(x+1)+f(x-1)=0,即(x+1)2-4(x+1)+2+(x-1)2-4(x-1)+2=0,解得:x=1或x=3,当x=1时,此时a1=-2,a2=0,a3=2,则d=2,所以Sn=n2-3n.当x=3时,a1=2,a2=0,a3=-2,则d=-2,所以Sn=-n2+3n.答案:n2-3n或-n2+3n13.如图所示是一个树形图的生长过程,依据图中所示的生长规律,第15行的实心圆点的个数是.【解析】观看图中所示的生长规律,发觉:1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点,而1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.假如设第n行的实心圆点的个数是an,空心圆点的个数是bn,则a1=0,b1=1,an+1=an+bn,bn+1=an,n∈N*.所以a1=0,a2=1,an+1=an+an-1,从而{an}为:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…,故填377.答案:377【加固训练】(2021·扬州模拟)如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,…,如此连续,若共得到1023个正方形,设初始正方形的边长为22,则最小正方形的边长为【解析】设1+2+4+…+2n-1=1023,即1-2n1-2=1023,2n=1024,n=10.正方形边长构成数列22,222,223答案:114.(2021·蚌埠模拟)已知正项等比数列{an}满足a2021=2a2021+a2022,若存在两项am,an使得aman=4a1,则1m+【解析】设公比为q,则a2021q2=2a2021+a2021q,由于an>0,所以q2-q-2=0,q=2或q=-1(舍去),aman=a1·2m-1·a1·2n-1=4a1,2m+n-2=24,即m+n=6,所以1m+答案:315.已知数列{2n-1·an}的前n项和Sn=9+2n,则数列{an}的通项公式为an=.【解析】由于Sn=9+2n①,所以当n≥2时,Sn-1=9+2(n-1)②,①-②得2n-1an=2,所以an=22n-1=22-n.当n=1时,a1=S1=9+2=11,不符合上式,所以an答案:11【方法技巧】含Sn,an问题的求解策略当已知含有Sn+1,Sn之间的等式时,或者含有Sn,an的混合关系的等式时,可以接受降级角标或者升级角标的方法再得出一个等式,两个等式相减就把问题转化为数列的项之间的递推关系式.【加固训练】在数列{an}中,Sn为{an}的前n项和,n(an+1-an)=an(n∈N*),且a3=π,则tanS4=.【解析】方法一:由n(an+1-an)=an,得nan+1=(n+1)an,则3a4=4a3,又a3=π,故a4=4π3,又由2a3=3a2,得a2=2π3,由a2=2a1,得a1=π3,故S4=a1+a2+a3+a4=10π3方法二:由n(an+1-an)=an,得nan+1=(n+1)an,即an+1n+1=ann,所以ann=an-1n-1=所以an=π3故S4=a1+a2+a3+a4=π3(1+2+3+4)=10tanS4=tan10π3=答案:3三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2022·江西高考)已知数列an的前n项和Sn=3n2-n2(1)求数列an(2)证明:对任意的n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.【解题提示】(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)解决.(2)a1,an,am成等比数列,转化为an2=a1·a【解析】(1)当n=1时a1=S1=1;当n≥2时an=Sn-Sn-1=3n2-n对n=1也满足,所以an的通项公式为an(2)由(1)得a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比数列,需要an2=a1·a所以(3n-2)2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2∈N*,所以对任意n>1,都有m∈N*使得an2=a1·am即a1,an,am成等比数列.【加固训练】已知等比数列{an}的首项为1,公比q≠1,Sn为其前n项和,a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、其次、第四项.(1)求an和Sn.(2)设bn=log2an+1,数列1bnbn+2的前n项和为Tn,求证:T【解析】(1)由于a1,a2,a3为某等差数列的第一、其次、第四项,所以a3-a2=2(a2-a1),所以a1q2-a1q=2(a1q-a1),由于a1=1,所以q2-3q+2=0,由于q≠1,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.所以Sn=a1(1-qn)(2)由(1)知an+1=2n,所以bn=log2an+1=log22n=n.所以1bn·bn+2所以Tn=12111213-15+1214-1=1=34-12117.(12分)(2021·龙岩模拟)在等比数列{an}中,a1=2,公比q=2.(1)设Sn为{an}的前n项和,证明:Sn+2=2an.(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是3,a1,a2,求△ABC的面积.【解析】(1)由于a1=2,公比q=2,所以an=a1qn-1=2n,Sn=a1(1-qn)所以Sn+2=2n+1=2an.(2)由(1)得a2=4,在△ABC中,由余弦定理得cosC=32+a12所以sinC=1-cos2所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=318.(12分)(2021·日照模拟)设数列{an}是等差数列,且首项a1=3,a8-a3=10,Sn为数列{an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式及Sn.(2)若数列4an2-1的前n项和为T【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由于首项a1=3,a8-a3=10,所以5d=10,解得d=2,故an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,Sn=n(3+2n+1)2=n(2)由于4an2-1=4(2n+1)2所以Tn=1-12+12-13+…19.(12分)设数列{an}的前n项和Sn=aqn+b(a,b为非零实数,q≠0且q≠1).(1)当a,b满足什么关系时,{an}是等比数列?(2)若{an}为等比数列,证明:以(an,Sn)为坐标的点都落在同一条直线上.【解析】(1)由于Sn=aqn+b,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=(aqn+b)-(aqn-1+b)=a(q-1)qn-1,所以an+1an故若数列{an}是等比数列,只要a1=S1=aq+b符合an=a1(q-1)qn-1的形式即可.所以aq+b=a(q-1)·q0,所以a+b=0.所以当a+b=0时,数列{an}是等比数列.(2)当{an}是等比数列时,Sn=aqn-a,an=a(q-1)qn-1,a1=a(q-1),所以Sn-=aq(qn-1-1)a(q-1)(即以(an,Sn)为坐标的点都落在恒过点(a1,S1)且斜率k=qq-1【加固训练】设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.(1)求{an}的通项公式.(2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意,得2Sn=an+1-a1,当n≥2时,有2Sn=an+1-a又由于a2=2S1+a1=3a1,an≠0,所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列.因此an=a1·3n-1(n∈N*).(2)由于Sn=a1(1-3n)所以bn=1-Sn=1+a12-要使{bn}为等比数列,当且仅当1+12a1=0,即a1=-2,所以存在a1=-2,使数列{bn20.(13分)(2021·厦门模拟)已知递增的等比数列{an}的前n项和Sn满足:S4=S1+28,且a3+2是a2和a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若bn=anlog

12an,Tn=b1+b2+…+bn,求使Tn+n·【解析】(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题知a解得q=2,a1由于{an}是递增数列,故an=2n.(2)bn=anlog12an=2nlog

122n由于bn+1-bn=-(n+1)2n+1+n·2n=bn-2n+1,bn-bn-1=bn-1-2n,…,b3-b2=b2-23,b2-b1=b1-22,b1=-2