【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.5

第八章8.5第5课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知不同直线m、n及不重合平面P、Q，给出下列结论：①m⊂P，n⊂Q，m⊥n⇒P⊥Q②m⊂P，n⊂Q，m∥n⇒P∥Q③m⊂P，n⊂P，m∥n⇒P∥Q④m⊥P，n⊥Q，m⊥n⇒P⊥Q其中的假命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析①为假命题，m不愿定与平面Q垂直，所以平面P与Q不愿定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，由于两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．2．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p∧q”为真B．命题“p∨q”为假C．命题“p∨q”为真D．命题“綈p或非q”为假答案B解析据题意可知对于命题p，明显与一平面都垂直的两平面的位置关系是平行或相交，如将一本书打开，每一张纸所在平面都与桌面垂直，但这些平面相交，即命题p是假命题；对命题q，只需使平面α内的两点连线与平面β平行，使第三点与这两点的连线与平面β的交点为线段的中点即可满足条件，故命题q是假命题；A.由于p和q都是假命题，因此命题：“p且q”应为假命题；B.由于p和q都是假命题，故“p或q”应为假命题．故B正确；C错误；D.由于p和q都是假命题，故非p和非q都是真命题，从而“非p或非q”为真命题，故D是错误的．3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四周体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四周体A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AG⊥△EFH所在平面答案A解析∵AD⊥DF，AB⊥BE∵B、C、D重合记为H∴AH⊥HF，AH⊥HE∴AH⊥面EFH.4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．答案①③④解析①③④正确．②中，可能有m∥β，故②不正确．5．若平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为()A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面βC．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内答案D解析依据面面垂直的性质定理，得选项B、C正确．对于A，由于过点P垂直于平面α的直线必平行于β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β.因此A正确．6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点PA．线段B1B．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段答案A解析BD1⊥平面AB1C.7．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部答案A解析∵CA⊥AB，CA⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.∴过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内，∴H∈AB.二、解答题8．(09·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是________．(写出全部真命题的序号)答案(1)(2)解析(1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．(3)如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不愿定有α⊥β，错误．(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．综上所述，真命题的序号为(1)(2)．9．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．三、解答题10．四周体ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，且EF＝eq\f(\r(2),2)AC，∠BDC＝90°.求证：BD⊥平面ACD.证明如图所示，取CD的中点G，连结EG、FG、EF.∵E、F分别为AD、BC的中点，∴EG綊eq\f(1,2)AC，FG綊eq\f(1,2)BD.又AC＝BD，∴FG＝eq\f(1,2)AC.∴在△EFG中，EG2＋FG2＝eq\f(1,2)AC2＝EF2.∴EG⊥FG.∴BD⊥AC.又∠BDC＝90°，即BD⊥CD，AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACD.11.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(Ⅰ)求证：AB⊥DE；(Ⅱ)求三棱锥E－ABD的侧面积．解析(Ⅰ)在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB)＝2eq\r(3).∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，AB⊥DE.(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB⊥BD.∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝2eq\r(3)，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝eq\f(1,2)DB·DE＝2eq\r(3).又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝eq\f(1,2)AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝eq\f(1,2)AD·DE＝4.综上，三棱锥E－ABD的侧面积S＝8＋2eq\r(3).12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明D1E⊥A1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离．解析(1)由长方体ABCD－A1B1C1D1知，AE⊥平面AA1D1D，∵A1D⊂平面AA1D1D，∴AE⊥A1D.又∵AD＝AA1，∴四边形AA1D1D是正方形，∴A1D⊥AD1.又∵AD1∩AE＝A，∴A1D⊥平面AD1E，又∵D1E⊂平面AD1E，∴D1E⊥A1D.(2)设点E到平面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1＝eq\r(5)，AD1＝eq\r(2)，AD1上的高为eq\r((\r(5))2－(\f(\r(2),2))2)，∴S△AD1C＝eq\f(1,2)·eq\r(2)·eq\r((\r(5))2－(\f(\r(2),2))2)＝eq\f(3,2)，而S△AEC＝eq\f(1,2)AE·BC＝eq\f(1,2)，∵VD1－AEC＝eq\f(1,3)S△AEC·DD1＝eq\f(1,3)S△AD1C·h，∴eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)×h，∴h＝eq\f(1,3)，∴点E到平面ACD1的距离是eq\f(1,3).13．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.证明(1)取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝eq\f(1,2)DE.又AB∥DE，且AB＝eq\f(1,2)DE，∴AB∥FP，且AB＝FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD.又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.14．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.解析(1)设AC与BD交于点G.由于EF∥AG，且EF＝1，AG＝eq\f(1,2)AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.由于EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连结FG.由于EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.由于四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又由于平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.15．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面AB