【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第4章-第6节-正弦定理和余弦定理

第四章第六节一、选择题1．(文)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝2eq\r(2)，且三角形有两解，则角A的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))[答案]A[解析]由条件知bsinA<a，即2eq\r(2)sinA<2，∴sinA<eq\f(\r(2),2)，∵a<b，∴A<B，∴A为锐角，∴0<A<eq\f(π,4).(理)在△ABC中，已知A＝60°，b＝4eq\r(3)，为使此三角形只有一解，a满足的条件是()A．0<a<4eq\r(3) B．a＝6C．a≥4eq\r(3)或a＝6 D．0<a≤4eq\r(3)或a＝6[答案]C[解析]∵b·sinA＝4eq\r(3)·sin60°＝6，∴要使△ABC只有一解，应满足a＝6或a≥4eq\r(3).如图顶点B可以是B1、B2或B3.2．(2022·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为A．(eq\r(2)，eq\r(3)) B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(2)，2) D．(0,2)[答案]A[解析]由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(b,sin2A)，则b＝2cosA.eq\f(π,2)<A＋B＝3A<π，从而eq\f(π,6)<A<eq\f(π,3)，又B＝2A<eq\f(π,2)，所以A<eq\f(π,4)，所以有eq\f(π,6)<A<eq\f(π,4)，eq\f(\r(2),2)<cosA<eq\f(\r(3),2)，所以eq\r(2)<b<eq\r(3).3．(文)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C＝120°，c＝eq\r(2)a，则()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定[答案]A[解析]∵∠C＝120°，c＝eq\r(2)a，c2＝a2＋b2－2abcosC∴a2－b2＝ab，又∵a>0，b>0，∴a－b＝eq\f(ab,a＋b)>0，所以a>b.(理)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则A＝()A．30° B．60°C．120° D．150°[答案]A[解析]由sinC＝2eq\r(3)sinB可得c＝2eq\r(3)b，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\r(3)bc＋c2,2bc)＝eq\f(－\r(3)b＋c,2b)＝eq\f(\r(3),2)，于是A＝30°.4．(2022·东北三省三校二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，则B＝()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(3π,4)[答案]C[解析]∵eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)＝eq\f(a,c＋b)，∴c2－b2＝ac－a2，∴a2＋c2－b2＝ac，∴2accosB＝ac，∴cosB＝eq\f(1,2)，∵B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3).5．(2022·大城一中月考)在△ABC中，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，则△ABC面积的最大值为()A.eq\r(21) B．eq\f(3\r(21),4)C.eq\f(\r(21),2) D．3eq\r(21)[答案]B[解析]设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，∴bccosA＝a＝3.又cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥1－eq\f(9,2bc)＝1－eq\f(3cosA,2)，∴cosA≥eq\f(2,5)，∴0<sinA≤eq\f(\r(21),5)，∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3,2)tanA≤eq\f(3,2)×eq\f(\r(21),2)＝eq\f(3\r(21),4)，故△ABC面积的最大值为eq\f(3\r(21),4).6．(文)(2021·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝eq\r(3)，则S△ABC等于()A.eq\r(2) B．eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2) D．2[答案]C[解析]由角A，B，C依次成等差数列，得A＋C＝2B，解得B＝eq\f(π,3).由余弦定理得(eq\r(3))2＝1＋c2－2ccoseq\f(π,3)，解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是，S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×2sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).(理)(2021·浙江宁波十校联考)在△ABC中，a2tanB＝b2tanA，则角A与角B的关系是()A．A＝B B．A＋B＝90°C．A＝B或A＋B＝90° D．A＝B且A＋B＝90°[答案]C[解析]由已知条件a2tanB＝b2tanA⇒sin2A＝sin2B，由于A，B为三角形内角，所以有2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A二、填空题7．(2022·弋阳一中月考)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,sinB)的值为________．[答案]2[解析]由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，由正弦定理得eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(BC＋BA,AC)＝2.8．(2022·江西四校联考)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝eq\f(π,3)，a＝2b，则b的值为________．[答案]eq\r(3)[解析]依题意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9＝(2b)2＋b2－2×2b×bcoseq\f(π,3)，解得b2＝3，∴b＝eq\r(3).9．(文)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．[答案]eq\r(3)<c<eq\r(5)[解析]边c最长时(c≥2)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1＋4－c2,2×1×2)>0，∴c2<5.∴2≤c<eq\r(5).边b最长时(c<2)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1＋c2－4,2c)>0，∴c2>3.∴eq\r(3)<c<2.综上，eq\r(3)<c<eq\r(5).(理)在△ABC中，C＝60°，a、b、c分别为A、B、C的对边，则eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＝________.[答案]1[解析]∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，∴eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,a＋c)＝1.三、解答题10．(文)(2022·安徽理)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sin(A＋eq\f(π,4))的值．[解析](1)由于A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由正、余弦定理得a＝2b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，由于b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2eq\r(3).(2)由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋1－12,6)＝－eq\f(1,3)，由于0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\f(1,9))＝eq\f(2\r(2),3)，故sin(A＋eq\f(π,4))＝sinAcoseq\f(π,4)＋cosAsineq\f(π,4)＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(2),2)＋(－eq\f(1,3))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4－\r(2),6).(理)(2022·陕西理)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.(1)若a、b、c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a、b、c成等比数列，求cosB的最小值.[解析](1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝c时，等号成立．∴cosB的最小值为eq\f(1,2).一、选择题11．(文)(2021·呼和浩特第一次统考)在△ABC中，假如sinA＝eq\r(3)sinC，B＝30°，角B所对的边长b＝2，则△ABC的面积为()A．4 B．1C.eq\r(3) D．2[答案]C[解析]据正弦定理将角化边得a＝eq\r(3)c，再由余弦定理得c2＋(eq\r(3)c)2－2eq\r(3)c2cos30°＝4，解得c＝2，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×sin30°＝eq\r(3).(理)(2021·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，且b2＋c2＝a2＋eq\r(3)bc，则2sinBcosC－sin(B－C)的值为()A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)[答案]D[解析]利用余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,6)，B＋C＝eq\f(5π,6)，所以2sinBcosC－sin(B－C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝eq\f(1,2).12．(2021·浙江五校其次次联考)若△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝()A．5 B．25C.eq\r(41) D．5eq\r(2)[答案]A[解析]解法1：由S△ABC＝eq\f(1,2)acsin45°＝2⇒c＝4eq\r(2)，再由余弦定理可得b＝5.解法2：作三角形ABC中AB边上的高CD，在Rt△BDC中求得高CD＝eq\f(\r(2),2)，结合面积求得AB＝4eq\r(2)，AD＝eq\f(7\r(2),2)，从而b＝eq\r(AD2＋CD2)＝5.13．(2022·长春市调研)△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，则角A的取值范围是()A．(0，eq\f(π,3)] B．(0，eq\f(π,6)]C．[eq\f(π,3)，π) D．[eq\f(π,6)，π)[答案]A[解析]由eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1得：b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得：b2＋c2－a2≥bc，同除以2bc得，eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(1,2)，即cosA≥eq\f(1,2)，由于0<A<π，所以0<A≤eq\f(π,3)，故选A.14．若AB＝2，AC＝eq\r(2)BC，则S△ABC的最大值为()A．2eq\r(2) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),3) D．3eq\r(2)[答案]A[解析]设BC＝x，则AC＝eq\r(2)x，依据面积公式得S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×BCsinB＝xeq\r(1－cos2B)①，依据余弦定理得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(4＋x2－2x2,4x)＝eq\f(4－x2,4x)②，将②代入①得，S△ABC＝xeq\r(1－\f(4－x2,4x)2)＝eq\r(\f(128－x2－122,16))，由三角形的三边关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋x>2,x＋2>\r(2)x))，解得2eq\r(2)－2<x<2eq\r(2)＋2，故当x＝2eq\r(3)时，S△ABC取得最大值2eq\r(2)，故选A.二、填空题15．(文)(2022·河南名校联考)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．[答案]eq\f(4,3)[解析]∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab＝2abcos60°，∴ab＝eq\f(4,3).(理)(2022·衡水中学5月模拟)在△ABC中，P是BC边中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ceq\o(AC,\s\up6(→))＋aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＝0，则△ABC的外形为________．[答案]等边三角形[解析]∵ceq\o(AC,\s\up6(→))＋aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＝0，∴(a－c)eq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＋ceq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∵P为BC的中点，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝－eq\o(PC,\s\up6(→))，∴(a－c)eq\o(PA,\s\up6(→))＋(b－c)eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，∵eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))不共线，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c.16．(2022·吉林九校联合体联考)在△ABC中，C＝60°，AB＝eq\r(3)，AB边上的高为eq\f(4,3)，则AC＋BC＝________.[答案]eq\r(11)[解析]由条件eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(4,3)＝eq\f(1,2)AC·BC·sin60°，∴AC·BC＝eq\f(8,3)，由余弦定理知AC2＋BC2－3＝2AC·BC∴AC2＋BC2＝3＋AC·BC，∴(AC＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC＝3＋3AC·BC＝11，∴AC＋BC＝eq\r(11).三、解答题17．(文)(2022·浙江理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面积．[解析](1)由已知cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB得．eq\f(1,2)(1＋cos2A)－eq\f(1,2)(1＋cos2B)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，∴eq\f(1,2)cos2A－eq\f(\r(3),2)sin2A＝eq\f(1,2)cos2B－eq\f(\r(3),2)sin2B，即sin(－eq\f(π,6)＋2A)＝sin(－eq\f(π,6)＋2B)，∴－eq\f(π,6)＋2A＝－eq\f(π,6)＋2B或－eq\f(π,6)＋2A－eq\f(π,6)＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(2π,3)，∵a≠b，∴A＋B＝eq\f(2π,3)，∴∠C＝eq\f(π,3).(2)由(1)知sinC＝eq\f(\r(3),2)，cosC＝eq\f(1,2)，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(3\r(3)＋4,10)由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，又∵c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5).∴a＝eq\f(8,5).∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(18＋8\r(3),25).(理)(2021·沈阳市东北育才学校一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝eq\f(3π,4)，sinA＝eq\f(\r(5),5).(1)求sinB的值；(2)若c－a＝5－eq\r(10)，求△ABC的面积．[解析](1)由于C＝eq\f(3π,4)，sinA＝eq\f(\r(5),5)，所以cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(2\r(5),5)，由已知得B＝eq\f(π,4)－A.所以sinB＝sin(eq\f(π,4)－A)＝sineq\f(π,4)cosA－coseq\f(π,4)sinA＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(2),2)·eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(10),10).(2)由(1)知C＝eq\f(3π,4)，所以sinC＝eq\f(\r(2),2)且sinB＝eq\f(\r(10),10).由正弦定理得eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(\r(10),5).又由于c－a＝5－eq\r(10)，所以c＝5，a＝eq\r(10).所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\r(10)×5×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(5,2).18．(文)(2022·广东五校协作体其次次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是△ABC的面积．若a＝(2cosB,1)，b＝(－1,1)，且a∥b.(1)求tanB＋sinB的值；(2)若a＝8，S＝8eq\r(3)，求tanA的值．[解析](1)∵a∥b，∴2cosB＝－1，cosB＝－eq\f(1,2).∵