【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-概率、随机变量及其分布列测试题

建议用时实际用时错题档案45分钟一、选择题1．(2022·湖北高考)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p2【解析】由题意知p1＝eq\f(5,18)，p2＝eq\f(13,18)，p3＝eq\f(1,2)，∴p1＜p3＜p2.【答案】C2．(2022·广东七校联考)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A、B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子．则豆子落在三角形ABC内的概率为()A.eq\f(3＋\r(3),16π)B.eq\f(3＋\r(3),4π)C.eq\f(4π,3＋\r(3))D.eq\f(16π,3＋\r(3))【解析】由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝2R(R为圆的半径)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝20sin60°,AC＝20sin45°))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝10\r(3)，,AC＝10\r(2).))那么S△ABC＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)sin75°＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝25(3＋eq\r(3))．于是，豆子落在三角形ABC内的概率为eq\f(S△ABC,圆的面积)＝eq\f(253＋\r(3),102π)＝eq\f(3＋\r(3),4π).故选B.【答案】B3．(2022·山东聊城一模)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A.eq\f(11,27)B.eq\f(11,24)C.eq\f(16,27)D.eq\f(9,24)【解析】记大事A：最终从2号箱中取出的是红球；大事B：从1号箱中取出的是红球，则依据古典概型和对立大事的概率和为1，可知：P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)；P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(3,9).从而P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(A|B)·P(B)＋P(A|eq\x\to(B))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(11,27)，选A.【答案】A4．已知随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【解析】∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X＞4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(X＜0)＝P(X＞4)＝0.2，∴P(0＜X＜4)＝1－P(X＜0)－P(X＞4)＝0.6.∴P(0＜X＜2)＝eq\f(1,2)P(0＜X＜4)＝0.3.【答案】C5．(2022·浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则()A．p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)B．p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)D．p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)【解析】法一p1＝eq\f(m,m＋n)＋eq\f(n,m＋n)×eq\f(1,2)＝eq\f(2m＋n,2m＋n)p2＝eq\f(3m2－3m＋2mn＋n2－n,3m＋nm＋n－1)p1－p2＝eq\f(2m＋n,2m＋n)－eq\f(3m2－3m＋2mn＋n2－n,3m＋nm＋n－1)＝eq\f(5mn＋nn－1,6m＋nm＋n－1)>0，故p1>p2E(ξ1)＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋n)×\f(1,2)))＋1×eq\f(2m＋n,2m＋n)＝eq\f(2m＋n,2m＋n)E(ξ2)＝eq\f(3m＋n,m＋n)∴E(ξ1)＜E(ξ2)，故选A.法二本题可用特例法和极限思想分析，易知p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)．【答案】A二、填空题6．(2022·广东高考)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．【解析】十个数中任取七个不同的数共有Ceq\o\al(7,10)种状况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有Ceq\o\al(3,6)种状况，于是所求概率P＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(7,10))＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7．(2022·温州十校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为ξ，则ξ的数学期望是________．【解析】依据题意知ξ＝0,1,2，而P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(24,45)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)，∴E(ξ)＝0×eq\f(15,45)＋1×eq\f(24,25)＋2×eq\f(6,45)＝eq\f(36,45)＝eq\f(4,5).【答案】eq\f(4,5)8．(2022·武汉调研)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均听从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________。【解析】由于三个电子元件的使用寿命均听从正态分布N(1000,502)，所以三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为eq\f(1,2).因此元件1和元件2超过1000小时后至少有一个正常工作的概率为1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，故所求概率为eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)三、解答题9．(2022·湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5).现支配甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，估计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，估计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．【解】记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5).且大事E与F、E与eq\o(F,\s\up6(－))、eq\o(E,\s\up6(－))与F、eq\o(E,\s\up6(－))与eq\o(F,\s\up6(－))都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则eq\o(H,\s\up6(－))＝eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))，于是P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝P(eq\o(E,\s\up6(－)))P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率为P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因P(X＝0)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)，P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15).故所求的分布列为X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(3,15)eq\f(4,15)eq\f(6,15)数学期望为E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(3,15)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(6,15)＝eq\f(300＋480＋1320,15)＝eq\f(2100,15)＝140.10．(2022·重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)【解】(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P＝eq\f(C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,84).(2)X的全部可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,5)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)C\o\al(