人教版八年级数学下册全册 教学教案

2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：h二、合作探究探究点一：二次根式的定义解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数.3－x(x≤3)-5x(x≥0)x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式.方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“v厂”；(2)被开方数是非负数.探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x的取值范围.解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解.(3)由题意得{lx≠0，解得x≥-5且x≠0.当x≥-5且x≠0时，x有意义.方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.【类型二】利用二次根式的非负性求解(2)已知x、y都是实数，且y＝x－3＋3－x＋4，求yx的平方根.解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根.＝－＝－方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题.(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子.为正整数)．读找出题目隐含条件并用关系式表示出来.三、板书设计一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点)一、情境导入我们不妨取a的一些值，如22，33，„分别计算出对应的a2的值，看看有什么规律．＝9＝3；„二、合作探究探究点一：二次根式的性质解析：根据二次根式的性质进行计算即可.方法总结：利用a2＝|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数.在实数范围内分解因式.解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式.方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式.探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简-b|.根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解.＝－方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质.【类型二】二次根式的化简与三角形三边关系的综合已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2b＋c－a）2+解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可.合二次根式的性质进行化简.【类型三】利用分类讨论的思想对二次根式进行化简解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答.方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正【类型四】二次根式的规律探究性问题细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．12EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),10)解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n个三角形的一直角边长就是n，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得.nn(1)2(2)2(3)2(10)21(3)SEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(2),1)＋SEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(2),2)＋SEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(2),3)＋„＋SEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(2),10)＝(2,＋(2,＋(2,＋„＋(2,＝4(1＋2＋3＋„＋10)＝方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想.探究点三：代数式的定义及简单应用按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是．解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，根据程序所给的运算可得输出的代数式为n－n.故答案为n－n.方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据关系及运算顺序写出代数式.三、板书设计用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活.2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入二、合作探究探究点一：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件式子x＋1·2－xx＋12－x）成立的条件是()A．x≤2B．x≥-1解析：根据题意得{解得－1≤x≤2.故选C.均是非负数这一条件.【类型二】二次根式的乘法运算1解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式.2)2)方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘.探究点二：积的算术平方根的性质(1)(1)36）×16×(-92＝12×5=方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简.探究点三：二次根式乘法的综合应用面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号).解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算.解：设圆的半径为rcm.因为矩形木相框的面积为588π×48π=168π(cm2)，所以πr2＝－方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想.三、板书设计在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养.2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)一、情境导入49_______.9(1)49_______.99(2)9949______________二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】二次根式的除法运算;4);4)((解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分.554=-1÷=-2554=-1÷=-2＝－×=-.方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简.【类型二】二次根式的乘除混合运算aa解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算.方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数.探究点二：商的算术平方根的性质【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围解析：根据题意得{解得0≤a＜2.故选C.a=a非负数且分母不等于零这一条件.【类型二】利用商的算术平方根的性质化简二次根式343解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.33方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式.探究点三：最简二次根式在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由. 4解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可.5(3)2，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简(4)0.5=4(4)0.5=45＝5，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式.方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条探究点四：二次根式除法的综合运用座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T=2πEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(l),g)，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(0),9)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(5),8)滴答声.方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一.三、板书设计被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展.2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)一、情境导入二、合作探究探究点一：被开方数相同的最简二次根式解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可.方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解.探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加减运算3解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变.【类型二】二次根式的化简求值解析：先将原式化为最简形式，再将a与b的值代入计算即可求出.方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解.【类型三】二次根式加减运算在实际生活中的应用母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?=77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色细彩带.方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求.三、板书设计1．被开方数相同的最简二次根式一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐.第2课时二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入1=23＋62(cm2).二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的四则运算(1)(1)2然后进行加法运算.2-2-方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算)-)-解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可.-9＋62＝－7＋62；＝－根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用.探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】与二次根式的混合运算有关的新定义题型ll计算方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键.【类型二】二次根式运算的拓展应用他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多1有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用5表示这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.解析：分别把n＝1、2代入式子化简即可.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键.三、板书设计先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的.2．运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理2方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可.【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2=(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2= 方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意.【类型三】勾股定理的证明对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°,且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示1方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理.探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积.三、板书设计如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”.3．勾股定理与图形的面积股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理的实际应用【类型一】勾股定理在实际问题中的应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?即可求得AB的值，然后解答即可.米.知条件转化到同一直角三角形中求解.【类型二】利用勾股定理解决方位角问题如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向C两点之间的距离.解析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解.解：∵AD∥BE，∴∠ABE=∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°,∴∠ABC＝180°-∠ABE-∠CBF＝180°-60°-30°=90°.在Rt△ABC中，AB＝1003km，BC＝100km，∴AC=方法总结：先确定△ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长.【类型三】利用勾股定理解决立体图形最短距离问题CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多解：分两种情况比较最短距离：答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可.【类型四】运用勾股定理解决折叠中的有关计算边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是()MD2＝MD2方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答.【类型五】勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高=xm，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x的值，即可计算树高.+10＝12(米).答：树高AB为12米.方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解.探究点二：勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点距离是5.那么点A所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值.三、板书设计方位角问题；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想.本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，突现教学生真正成为主动学习者.1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．(重点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角.二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】判断三角形的形状如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，A．直角三角形B．锐角三角形 方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较【类型二】利用勾股定理的逆定理证明垂直关系运用勾股定理的逆定理进行证明.1且∠FEC＝90°,即EF⊥CE.方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理【类型三】勾股数判断下列几组数中，一定是勾股数的是()=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.【类型四】运用勾股定理的逆定理解决面积问题边形ABCD的面积.解析：连接AC，根据已知条件可求出AC，再运用勾股定理可证△ACD为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形ABCD的面积.=144.利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等.探究点二：互逆命题与互逆定理写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形.解析：求一个命题的逆命题时，分别找出各命题的题设和结论将其互换即可得原命题的逆命题.解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；(4)等边三角形有一个角是60°,真命题.方法总结：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举三、板书设计如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.2．互逆命题与互逆定理在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主．激励学生回答问题，激发学生的求知欲．课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率．学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆.第2课时勾股定理的逆定理的应用2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．(难点)一、情境导入某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海二、合作探究探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】运用勾股定理的逆定理求角度且∠APE＝90°,即可得到∠APB的度数.角形，且∠APE＝90°,∴∠APB＝90°+60°=150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题的关键是根据题意构造△APE为直角三角形.【类型二】运用勾股定理的逆定理求边长长.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的长度.三角形，∠ADC=∠ADB＝90°,∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中.【类型三】勾股定理逆定理的实际应用如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形.=81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°,∴该农民挖的不合格.方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答.【类型四】运用勾股定理的逆定理解决方位角问题如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离出走私船何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私船所走的路程走私船所走的路程．由题意可知，△ABE和△ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出.中的有效信息，并转化成数学语言.三、板书设计1．利用勾股定理逆定理求角的度数2．利用勾股定理逆定理求线段的长3．利用勾股定理逆定理解决实际问题在本节课的教学活动中，尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想.3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)一、情境导入如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对二、合作探究探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形.AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可.证明：∵∠1+∠B+∠ACB＝180°,∠2+∠D+∠CAD＝180°,∠B=∠D，∠1=∠2，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法.探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD=.握各性质是解题的关键.【类型二】利用平行四边形的性质求角如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°,则∠BCE的度数为方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题.【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC证出△PCF≌△PCE即可得出结论.∴∠DGC=∠DCG，∴∠DCG=∠GCB.∵∠DCG+∠ECP＝180°,∠GCB+∠FCP＝180°,∴∠ECP=∠FCP.在△PCF和△PCE中，∵{∠FCP=∠ECP，∴△PCF≌△PCE(SAS方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多.【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明.∴AM＝AD，∴∠ADM=∠AMD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AMD=∠MDC，∴∠ADM=∠MDC，则∠MDC＝2∠ADC，同理∠MCD＝2∠BCD.∵AD∥BC，∠MCD+∠DMC＝180°,∴∠DMC＝90°,∴DM与MC互相垂直.方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系.探究点三：两平行线间的距离面积相等.解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明.面积.后可推出两三角形同底等高，面积相等.三、板书设计2．平行四边形的边、角特征学生通过观看多媒体课件的演示和动手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性质，效果比较好．例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式练习，使教师能根的掌握情况及时解决学生在练习的过程中发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，极大提高课堂效率.第2课时平行四边形的对角线的特征2．利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．(难点)一、情境导入二、合作探究探究点一：平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长.方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF〔∠FDO=∠EBO，l∠FOD=∠EOB，方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质.【类型三】判断直线的位置关系如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论.解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB=∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF=∠OBE，∴BE∥DF.方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题.探究点二：平行四边形的面积(2)如图②,设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由.解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO＝CO，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答.11方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等.三、板书设计通过分组讨论学习和自主探究，加强了学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识增强，与同学交流学习的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，教学相长.2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点)一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如3．两条对角线互相平分.那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方二、合作探究探究点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形.解析：根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形.解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF＝60°,四边形是平行四边形).方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决.探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°,∠1＝85°,∠2＝40°.(2)求证：四边形ABCD是平行四边形.解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明.(1)解：∵∠D+∠2+∠1＝180°,∴∠D＝180°-∠2-∠1＝180°-40°-85°=55°;是平行四边形.方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路.探究点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形(2)四边形AFBE是平行四边形.解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF即可.〔∠C=∠D，证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C=∠D.在△AOC和△BOD中，∵{∠COA=∠DOB，11=2OC，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形.方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法.探究点四：平行四边形的判定定理(1)的应用【类型一】利用平行四边形的判定定理(1)证明线段或角相等的中点，请判断线段DE，BF的位置关系和数量关系，并说明你的结论.意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而得出DE＝BF，DE∥BF.方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法.【类型二】平行四边形的判定定理(1)的综合运用如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明.行四边形.〔∠DFC=∠BEA，{∠FCD=∠EAB，∴△ABE≌△CDF((2)解：四边形BFDE是平行四边形．理由如下：∵△ABDF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴{∠DAE=∠BCF，行四边形.方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形.三、板书设计两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形.在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要．在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上.第2课时平行四边形的判定(2)3．平行四边形性质与判定的综合运用．(难点)一、情境导入如图所示，吴伯伯家一块等边三角形ABC的空地，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆二、合作探究探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【类型一】判定四边形是平行四边形四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.AD∥CB.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论.解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB.又∵AF=CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形.方法总结：根据题设条件，通过证明三角形全等，得出等量关系，继而证明四边形是平行四边形是判定时的一般解题思路.【类型二】判定平行四边形的条件解析：①②组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；综上有4种可选B.方法总结：熟练运用平行四边形的判定定理是解决问题的关键.探究点二：三角形的中位线【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长3A.2解析：“D、E分别为AC、BC的中点，:DE是△ABC的中位线，:DEⅡAB，:上2=上3.又“AF平分上CAB，:上1＝上3，:上1＝上2，:AD＝DF＝3，:AC＝2AD＝6.故方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用.【类型二】利用三角形中位线定理求角解析：“C、D分别为EA、EB的中点，:CD是△EAB的中位线，:CDⅡAB，:上2方法总结：中位线定理涉及平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题.【类型三】运用三角形的中位线性质进行计算垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长.解析：首先证明△AMD纟△AMC，得到DM＝MC，易得MN为解决问题.解：“AM平分上BAC，CM丄AM，:上DAM＝上CAM，上AMD＝上AMC.在△AMD与〔∠DAM=∠CAM，l∠AMD=∠AMC，方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点.【类型四】中位线定理的综合应用BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论.的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系.OA＝OC，∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF〔∠BAF=∠CEF，l∠ABF=∠ECF，三、板书设计一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．(难点)一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状.我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示.二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】运用矩形的性质求线段或角解析：在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.【类型二】运用矩形的性质解决有关面积问题则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(){OB＝OD，{OB＝OD，ABCD方法总结：运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键.【类型三】运用矩形的性质证明线段相等解析：利用矩形的性质得出AD∥BC，∠A＝90°,再利用全等三角形的判定得出〔∠A=∠CFB，方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明.【类型四】运用矩形的性质证明角相等CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证.=90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF+∠CED＝90°.∴∠BFE=∠CED，∴∠BEF=∠EDC.在△EBF〔∠BFE=∠CED，l∠BEF=∠EDC，=∠BEA＝45°,∴∠EAD＝45°,∴∠BAE=∠EAD，∴AE平分∠BAD.方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决.探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点.(2)求证：EF垂直平分AD.1解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE＝AE＝2AB，DF1=AF＝2AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可.=18；AD.方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解.三、板书设计矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.2．直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形学真正落实到学生的发展上.2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：2．四个内角都是直角.二、合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形.得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可得出四边形ADCE是矩形.+∠ACB=∠FAE+∠EAC，∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴是矩形.方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可.探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O=OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形.而CM＝AN，即ON＝OM.由此可证得四边形NDMB的对角线相等且互相平分，即可得证.方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等.探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图，ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.是矩形.解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180是矩形.方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形.探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】矩形的性质和判定的运用上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得.).方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分.【类型二】矩形的性质和判定与动点问题时，另一点随之停止运动.(2)设经过t′s时，四边形PQBA是矩形，根据AP＝BQ，代入后求出即可.=6；(2)设经过t′s，四边形PQBA为矩形，即AP=方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形.三、板书设计有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.2．矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率.2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)一、情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形.二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】利用菱形的性质证明线段相等如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线解析：连接AC.根据菱形的性质可得AC平分=CF.方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.【类型二】利用菱形的性质进行有关的计算四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解.方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题.【类型三】运用菱形的性质证明角相等如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.解析：根据“菱形的对角线互相平分”可得OD＝OB，再根据“直角三角形线等于斜边的一半”可得OH＝OB，∠OHB=∠OBH，根据“两直线平行，内错角相等”求出∠OBH=∠ODC，然后根据“等角的余角相等”证明即可.1OB，∴∠OHB=∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，∴∠OHB=∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°.在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°,∴∠DHO=∠DCO.方法总结：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键.【类型四】运用菱形的性质解决探究性问题感知：如图①,在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.探究：如图②,在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由.拓展：如图③,在ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB＝50°,∠AFB＝32°,求∠ADE的度数.解析：探究：△ADE与△DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE平分线上，所以OA＝OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出=AD＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB=∠ADB＝60°,∴∠EAD=∠FDB=拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，∴OA＝OD.∴∠DAO=∠ADB＝50°,∴∠EAD=∠OAD-∠DEA＝18°.方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想.探究点二：菱形的面积菱形的面积是()方法总结：菱形的面积有三种计算方法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半.三、板书设计菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.1菱形＝边长×对应高＝2ab(a，b分别是两条对角线通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以引导．但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节．在整个新知生成过程中，探究活动起了重要的作用．课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：3．每条对角线平分一组对角.二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形求证：四边形BCFE是菱形.解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF=边形BCFE是菱形.方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等.【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形(2)四边形ABCD是菱形.解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形.方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.【类型三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形1①分别以A，C为圆心，大于2AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；(2)求证：四边形AECF是菱形.解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根〔∠EAC=∠FCA，方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边以平行四边形为起点进行判定.探究点二：菱形的判定的应用【类型一】菱形判定中的开放性问题有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 (只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”).:四边形AECF是平行四边形．」对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC丄EF.方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【类型二】菱形的性质和判定的综合应用连接DF.(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使得上EFD＝上BCD，并说明理由.CB＝CD＝AD，可得四边形ABCD是菱形；(3)首先证明△BCF纟△DCF，可得上CBF=上CDF，再根据BE丄CD可得上BEC＝上DEF＝90°,进而得到上EFD＝上BCD. :△ABC纟△ADC(SSS)，:上BAC＝上DAlAF＝AF，:△ABF纟△ADF(SAS)，:上AFD＝上AFB.」上AFB＝上CFE，:上AFD＝上CFE；=CD.」AB＝AD，CB＝CD，:AB＝CB＝CD＝AD，:四边形ABCD是菱形；(3)解：当EB丄CD于E时，上EFD＝上BCD.理由如下：」四边形ABCD为菱形，:BC:△BCF纟△DCF(SAS)，:上CBF＝上CDF.」BE丄CD，:上BEC＝上DEF＝90°,则,:上EFD＝上BCD.角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.三、板书设计有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.2．菱形的性质和判定的综合运用在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用.2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系.二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】特殊平行四边形的性质的综合菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质.【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证∴∠FEC=∠FCE＝45°,∴EF＝FC，∴BE＝CF；方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决.【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF的中点．连接解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB＝CD，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD=∠ADC＝90°,再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得1然后利用“SAS”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB＝EC是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°,然后求出∠ABE＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE，然后根据“等边对等角”可得∠AFD=∠BAE.=EF＝DE＝DF，∴∠EAD=∠EDA.∵∠BAE=∠BAD-∠EAD，∠CDE=∠ADC-1-30°)＝75°.又∵AE＝EF，∴∠AFD=∠BAE＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等.探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系1∠BAC的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO=∠AEB.根据“对顶角相等”11证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABE=∠AOF＝90°,∴∠BAE+∠AEB=∠CAE+∠AFO＝90°.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=∠BAE，∴∠AFO=∠AEB.又∵∠AFO=∠BFE，∴∠BFE=∠AEB，∴BE＝BF；11∠FEB.∵∠AFO=∠AEB，∴∠OGF=∠AFO，∴OG＝OF，∴OF＝2CE.方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决.【类型二】有关正方形性质的综合应用题正方形＝（＋（AFCE方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题.三、板书设计四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角.2．正方形性质的综合应用通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣.2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)一、情境导入老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形.小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意二、合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可.方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形.【类型二】利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论.解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，据“直角三角形中两个角锐角互余”得∠A＝45°.解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：∴∠3=∠1.∵∠ACB＝90°,∴∠3+∠4＝90°,∠1+∠2＝90°,∴∠2=∠4，∴EC＝AE，(2)当∠A＝45°时，菱形BECF