【2021届备考】2021全国名校数学试题分类解析汇编(1月第三期)：B单元函数与导数

B单元函数与导数名目B1函数及其表示 II）（1）利用导数推得结论.（2）不妨设，，依题意得：①-②得：，+②得：，∴，设，下面考虑分析法：欲证，只要证：，即证：，即证：，设g(t)=,∴g(t)在（1，+∞）上递增，∴g(t)>g(1)=0，∴，∴，∴.【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版(自动保存的)】10.设函数，则（）.A.B.C.D.【学问点】导数的应用；比较大小.B12【答案】【解析】A解析：由于，x∈[0,1]，所以.设，利用导数判定h(x)是上的减函数，得h(x)h(0)=0；设，利用导数判定g(x)是上的增函数，得g(x)g(0)=0,故选A.【思路点拨】利用导数比较函数的大小关系.【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】22．（本小题满分13分） 已知函数f（x）=21nx－x2－ax． （1）当a≥3时，争辩函数f（x）在上的单调性； （2）假如x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1是函数f（x）的导函数，用x1，x2表示a并证明：【学问点】导数的应用B12【答案】（1）上函数单调递减.；（2）.【解析】解析：由已知可得：，令得（负根舍去），故在上恒成立，所以在上函数单调递减.（2）是函数的两个零点，两式子相减可得：∴

令∴∴上单调递减，

∴

又【思路点拨】(1)求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．(2)由题意可得，代入可得l令，求导数可得单调性和求值范围，进而可得答案．【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设（x）是函数y=f（x）的导数，（x）是（x）的导数，若方程（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发觉：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）=x3x2+3x，则g+g+…+g A．2013 B．2014 C．2015 D．2016【学问点】导数的应用函数的对称中心B12B8【答案】B【解析】解析：依题意，得：，

由，可得，而，即函数的拐点为，即，所以所以所求为，故选择B.【思路点拨】依据所给的信息可求得函数的拐点为，即，即可得到.【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】8．已知函数的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为 A．2 B．2+1n2 C．e2+ D．2e－ln【学问点】导数在最大值、最小值问题中的应用B12【答案】B【解析】解析：由题意，其中，所以，令，则，∴即函数单调递减，在，函数单调递增，所以在处取得微小值，即为最小值，所以故选择B.【思路点拨】由题意设，则，令求得其最小值即可.【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】22．（本小题满分13分） 已知函数f（x）=21nx－x2－ax． （1）当a≥3时，争辩函数f（x）在上的单调性； （2）假如x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1是函数f（x）的导函数，用x1，x2表示a并证明：【学问点】导数的应用B12【答案】（1）上函数单调递减.；（2）.【解析】解析：由已知可得：，令得（负根舍去），故在上恒成立，所以在上函数单调递减.（2）是函数的两个零点，两式子相减可得：∴

令∴∴上单调递减，

∴

又【思路点拨】(1)求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．(2)由题意可得，代入可得l令，求导数可得单调性和求值范围，进而可得答案．【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设（x）是函数y=f（x）的导数，（x）是（x）的导数，若方程（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发觉：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）=x3x2+3x，则g+g+…+g A．2013 B．2014 C．2015 D．2016【学问点】导数的应用函数的对称中心B12B8【答案】B【解析】解析：依题意，得：，

由，可得，而，即函数的拐点为，即，所以所以所求为，故选择B.【思路点拨】依据所给的信息可求得函数的拐点为，即，即可得到.【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】8．已知函数的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为 A．2 B．2+1n2 C．e2+ D．2e－ln【学问点】导数在最大值、最小值问题中的应用B12【答案】B【解析】解析：由题意，其中，所以，令，则，∴即函数单调递减，在，函数单调递增，所以在处取得微小值，即为最小值，所以故选择B.【思路点拨】由题意设，则，令求得其最小值即可.【数学理卷·2021届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（202101）word版】22．（本大题满分14分）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2+bx+1（b为常数），h（x）=f（x）-g（x）．（1）若存在过腰点的直线与函数f（x）、g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）当b=-2时，、x2∈[0，1]使得h（x1）-h（x2）≥M成立，求M的最大值；（3）若函数h（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0），且0<x1<x2，求证：h′（）<0．【学问点】导数的应用B12【答案】(1)b=－1或b=3（2）1+ln2（3）略【解析】(1)解：，

∴f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=x

由得：

∵y=x与函数g(x)的图象相切，∴，b=－1或b=3 (2)解：当b=－2时，

当x∈[0，1]时，，∴h(x)在[0，1]上单调递增

∴

∵x1、x2∈[0，1]使得h(x1)－h(x2)≥M成立

∴M的最大值是1+ln2 (3)证：由于h(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1，0)、B(x2，0)

所以方程的两个根为x1、x2，故

两式相减得：

要证：，即

也就是

令，则在(0，1)上恒成立 ∵

又0<t<1，∴

因此u(t)在(0，1)上是增函数，则u(t)<u(1)=0，即

故，即成立 【思路点拨】依据导数的几何意义求出方程，依据单调性求出最大值再证明结果。【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】21、（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ）若在上存在一点，使得＜成立，求的取值范围。【学问点】导数的应用B12【答案】【解析】（Ⅰ）y=1；（Ⅱ）时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增．（Ⅲ）或．解析：（Ⅰ）的定义域为，当时，，，，,切点，斜率∴曲线在点处的切线方程为；（Ⅱ），，①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，在上，所以函数在上单调递增．（Ⅲ）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零．由（Ⅱ）可知：①当，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，由于，所以；②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得；③当，即时，可得最小值为，由于，所以，故此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或．【思路点拨】理解切线的斜率与函数的单调性与导数的关系是解题的关键，遇到不等式恒成立或存在性问题通常转化为函数的最值问题进行解答.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，假如多做，则按所做第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上所选题目的题号涂黑。留意所做题目的题号必需和所涂题目的题号全都。【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】20、（本小题满分12分）已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．【学问点】抛物线直线与抛物线的位置关系导数的应用H7H8B12【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）联立，消并化简整理得．依题意应有，解得．设，则，设圆心，则应有．由于以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又．所以，解得．所以，所以圆心为．故所求圆的方程为．（Ⅱ）由于直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离，所以．令，，，由上表可得的最大值为．所以当时，的面积取得最大值．【思路点拨】遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】8、已知函数（）的图象在处的切线斜率为（），且当时，其图象经过，则（）A、B、5C、6D、7【学问点】导数的应用等差数列B12D2【答案】【解析】B解析：函数求导得，=整理得，又由于当n=1时过（2,8）可求得，综上可得，求得，故答案为B.【思路点拨】先利用导数的几何意义得到数列的递推公式，再结合等差数列定义得其通项公式，代入解答即可.【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】21、（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ）若在上存在一点，使得＜成立，求的取值范围。【学问点】导数的应用B12【答案】【解析】（Ⅰ）y=1；（Ⅱ）时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增．（Ⅲ）或．解析：（Ⅰ）的定义域为，当时，，，，,切点，斜率∴曲线在点处的切线方程为；（Ⅱ），，①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，在上，所以函数在上单调递增．（Ⅲ）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零．由（Ⅱ）可知：①当，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，由于，所以；②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得；③当，即时，可得最小值为，由于，所以，故此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或．【思路点拨】理解切线的斜率与函数的单调性与导数的关系是解题的关键，遇到不等式恒成立或存在性问题通常转化为函数的最值问题进行解答.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，假如多做，则按所做第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上所选题目的题号涂黑。留意所做题目的题号必需和所涂题目的题号全都。【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】20、（本小题满分12分）已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．【学问点】抛物线直线与抛物线的位置关系导数的应用H7H8B12【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）联立，消并化简整理得．依题意应有，解得．设，则，设圆心，则应有．由于以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又．所以，解得．所以，所以圆心为．故所求圆的方程为．（Ⅱ）由于直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离，所以．令，，，由上表可得的最大值为．所以当时，的面积取得最大值．【思路点拨】遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】8、已知函数（）的图象在处的切线斜率为（），且当时，其图象经过，则（）A、B、5C、6D、7【学问点】导数的应用等差数列B12D2【答案】【解析】B解析：函数求导得，=整理得，又由于当n=1时过（2,8）可求得，综上可得，求得，故答案为B.【思路点拨】先利用导数的几何意义得到数列的递推公式，再结合等差数列定义得其通项公式，代入解答即可.【数学理卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】21.(本小题满分12分)设函数（其中28．．．），，已知它们在处有相同的切线.(1)求函数,的解析式；(2)求函数在上的最小值；(3)若对，恒成立，求实数的取值范围．【学问点】导数的应用B12【答案】（1），(2)(3)【解析】（1），．由题意两函数在处有相同的切线．，，．，．，（2），由得，由得，在单调递增，在单调递减．当时，在单调递减，在单调递增，当时，在单调递增，；（3）令，由题意，当，．，恒成立，，．，，由得，．由得在单调递减，在单调递增．当，即时，在单调递增，，不满足．当，即时，由知满足．当，即时，在单调递减，在单调递增，，满足．综上所述，满足题意的的取值范围为．【思路点拨】由，，．，．得。争辩t，由单调性得到，在单调递减，在单调递增，的取值范围为。请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．【数学理卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】11在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该图像在点处的切线交轴于点.过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的横坐标为，则的最大值是A． B． C．D．【学问点】导数的应用B12【答案】B【解析】设P的坐标为（m,lnm），，则切线方程为y-lnm=(x-m),垂线方程为y-lnm=-m(x-m),令y=0解得，M（m-mlnm,0）,N(m+,0),故t=，，故先增后减，故最大值为【思路点拨】有题意设P的坐标为（m,lnm）从而写出直线方程，从而得到M（m-mlnm,0）N(m+,0),从而求得t=,再由导数求最值。【数学理卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】21．（本小题满分14分）已知函数.(I)若函数在点（0，）处的切线与直线平行，求a的值；(II)当时，恒成立，求实数a的取值范围.【学问点】利用导数争辩曲线上某点切线方程.B11B12【答案】【解析】(I)；(II)解析：（Ⅰ），由条件知，由于函数在点的切线与直线平行，所以,.………………4分（Ⅱ）①当时，，在上，有，函数是增函数；在上，有函数是减函数，函数的最小值为0，结论不成立．………………6分②当时，(1)若，，结论不成立………………7分(2)若，则，在上，有，函数是增函数；在上，有，函数是减函数，只需，所以………………10分(3)若，则，在上，有，函数是减函数；在,有,函数是增函数;在上，有，函数是减函数.函数在有微小值，只需得到，由于，所以.………………13分综上所述可得.………………14分【思路点拨】（1）求出导数，求得切线斜率，由两直线平行的条件即可得到a；（2）当x∈[0，4]时，f（x）≥e﹣4恒成立，即有当x∈[0，4]时，f（x）min≥e﹣4．求出导数，争辩①当a≥0时，②当a＜0时，当a≤﹣1，当﹣1＜a＜0时，当﹣1＜a＜0时，运用单调性，求出f（x）最小值即可得到．【数学理卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】21．（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若，使成立，求实数a的取值范围.【学问点】导数在最大值、最小值问题中的应用B12【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，，所以，故所以的最小值为.（Ⅱ）“若，使成立”等价于当时，有，当时，有，问题等价于：“当时，有”①当时，在上为减函数.则，故.②当时，由于在上为增函数，故的值域为，即．由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；所以，．所以，与冲突，不合题意．综上，【思路点拨】（I）因在上为减函数，故在上恒成立，求出导函数的最值，即可求实数的最小值；

（Ⅱ）“若，使成立”等价于当时，有，当时，若，使成立，等价于使．求出最值，即可确定的取值范围．请考生在第23,24题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.【数学文卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】21．（本小题满分13分）已知函数（1）若函数g（x）=-ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若，求h（x）的微小值；（3）设，若函数F（x）存在两个零点m，n（0<rn<n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由，【学问点】导数的应用B12【答案】（1）；（2）；（3）在的切线不能平行于x轴.【解析】解析：（1）∴在成立，即由由于x在，所以，当且仅当时等号成立，所以可得；（2）由（1）知，以及条件得：，令则，则由得（舍去），

∵，∴若，则单调递减；若则单调递增

∴当时，取得微小值，微小值为（3）设在的切线平行于x轴，其中结合题意，有

①-②得所以由④得所以⑤

设⑤式变为设，所以函数在上单调递增，

因此，即也就是此式与⑤冲突所以在的切线不能平行于x轴.【思路点拨】（1）先依据题意写出：再求导数，由题意知，恒成立，即由此即可求得实数a的取值范围；

（2）由（1）知，利用换元法令，则，则接下来利用导数争辩此函数的单调性，从而得出的微小值；

（3）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在的切线平行于x轴，其中结合题意，列出方程组，证得函数上单调递增，最终毁灭冲突，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．【数学文卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】21．(本小题满分12分）已知函数。（Ⅰ）求函数的图像在处的切线方程；（Ⅱ）求的最大值;（Ⅲ）设实数，求函数在上的最小值【学问点】导数的应用B12【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）解析：（1）定义域为,,又函数的在处的切线方程为：，即4分（2）令得当时，，在上为增函数当时，，在上为减函数8分（3），由（2）知：在上单调递增，在上单调递减。在上的最小值当时，当时，12分【思路点拨】理解切线的斜率与函数的单调性与导数的关系是解题的关键，求函数的最值时，可先利用导数推断函数的单调性，结合函数的单调性确定函数的最值.请考生在第23、24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.【数学文卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】5．函数在定义域上的导函数是，若，且当时，，设、、，则()A．B．C．D．【学问点】导数的应用函数的单调性B3B12【答案】【解析】C解析：由于当时，，得,所以函数在单调递增，又，得函数f(x)图象关于直线x=1对称，所以函数f(x)图象上的点距离x=1越近函数值越大，又，所以，得，则选C.【思路点拨】抓住函数的单调性与对称性，利用函数的图象特征推断函数值的大小关系即可.【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】21.(本小题满分12分)设函数（）.（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【学问点】导数的应用B12【答案】（1）[1，+∞)（2）(eq\f(4e,e2-1),+∞).【解析】（1）f′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)=eq\f(px2－2x＋p,x2)，依题意，f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，只需px2－2x＋p≥0在(0,+∞)内恒成立，只需p≥eq\f(2x,x2＋1)在(0,+∞)内恒成立，只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。（应当验证时，符合题意，此题不验证也不扣分）（2）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)=f(x)－g(x)=px－eq\f(p,x)－2lnx－eq\f(2e,x),x∈[1,e]，h′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)＋eq\f(2e,x2)=eq\f(px2＋p＋2(e－x),x2)，由于x∈[1,e]，p>0，所以h′(x)>0在[1,e]上恒成立，所以h(x)在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)=h(e)=p(e－eq\f(1,e))－4,依题意，要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).【思路点拨】只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0,解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】21.(本小题满分12分)设函数（）.（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【学问点】导数的应用B12【答案】（1）[1，+∞)（2）(eq\f(4e,e2-1),+∞).【解析】（1）f′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)=eq\f(px2－2x＋p,x2)，依题意，f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，只需px2－2x＋p≥0在(0,+∞)内恒成立，只需p≥eq\f(2x,x2＋1)在(0,+∞)内恒成立，只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。（应当验证时，符合题意，此题不验证也不扣分）（2）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)=f(x)－g(x)=px－eq\f(p,x)－2lnx－eq\f(2e,x),x∈[1,e]，h′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)＋eq\f(2e,x2)=eq\f(px2＋p＋2(e－x),x2)，由于x∈[1,e]，p>0，所以h′(x)>0在[1,e]上恒成立，所以h(x)在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)=h(e)=p(e－eq\f(1,e))－4,依题意，要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).【思路点拨】只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0,解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】21.(本小题满分12分)设函数（）.（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【学问点】导数的应用B12【答案】（1）[1，+∞)（2）(eq\f(4e,e2-1),+∞).【解析】（1）f′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)=eq\f(px2－2x＋p,x2)，依题意，f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，只需px2－2x＋p≥0在(0,+∞)内恒成立，只需p≥eq\f(2x,x2＋1)在(0,+∞)内恒成立，只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。（应当验证时，符合题意，此题不验证也不扣分）（2）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)=f(x)－g(x)=px－eq\f(p,x)－2lnx－eq\f(2e,x),x∈[1,e]，h′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)＋eq\f(2e,x2)=eq\f(px2＋p＋2(e－x),x2)，由于x∈[1,e]，p>0，所以h′(x)>0在[1,e]上恒成立，所以h(x)在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)=h(e)=p(e－eq\f(1,e))－4,依题意，要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).【思路点拨】只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0,解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】21.(本小题满分12分)设函数（）.（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【学问点】导数的应用B12【答案】（1）[1，+∞)（2）(eq\f(4e,e2-1),+∞).【解析】（1）f′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)=eq\f(px2－2x＋p,x2)，依题意，f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，只需px2－2x＋p≥0在(0,+∞)内恒成立，只需p≥eq\f(2x,x2＋1)在(0,+∞)内恒成立，只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。（应当验证时，符合题意，此题不验证也不扣分）（2）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)=f(x)－g(x)=px－eq\f(p,x)－2lnx－eq\f(2e,x),x∈[1,e]，h′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)＋eq\f(2e,x2)=eq\f(px2＋p＋2(e－x),x2)，由于x∈[1,e]，p>0，所以h′(x)>0在[1,e]上恒成立，所以h(x)在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)=h(e)=p(e－eq\f(1,e))－4,依题意，要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).【思路点拨】只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0,解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】21.(本小题满分12分)设函数（）.（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【学问点】导数的应用B12【答案】（1）[1，+∞)（2）(eq\f(4e,e2-1),+∞).【解析】（1）f′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)=eq\f(px2－2x＋p,x2)，依题意，f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，只需px2－2x＋p≥0在(0,+∞)内恒成立，只需p≥eq\f(2x,x2＋1)在(0,+∞)内恒成立，只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。（应当验证时，符合题意，此题不验证也不扣分）（2）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)=f(x)－g(x)=px－eq\f(p,x)－2lnx－eq\f(2e,x),x∈[1,e]，h′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)＋eq\f(2e,x2)=eq\f(px2＋p＋2(e－x),x2)，由于x∈[1,e]，p>0，所以h′(x)>0在[1,e]上恒成立，所以h(x)在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)=h(e)=p(e－eq\f(1,e))－4,依题意，要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).【思路点拨】只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0,解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】21.(本小题满分12分)设函数（）.（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【学问点】导数的应用B12【答案】（1）[1，+∞)（2）(eq\f(4e,e2-1),+∞).【解析】（1）f′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)=eq\f(px2－2x＋p,x2)，依题意，f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，只需px2－2x＋p≥0在(0,+∞)内恒成立，只需p≥eq\f(2x,x2＋1)在(0,+∞)内恒成立，只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。（应当验证时，符合题意，此题不验证也不扣分）（2）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)=f(x)－g(x)=px－eq\f(p,x)－2lnx－eq\f(2e,x),x∈[1,e]，h′(x)=p＋eq\f(p,x2)－eq\f(2,x)＋eq\f(2e,x2)=eq\f(px2＋p＋2(e－x),x2)，由于x∈[1,e]，p>0，所以h′(x)>0在[1,e]上恒成立，所以h(x)在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)=h(e)=p(e－eq\f(1,e))－4,依题意，要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).【思路点拨】只需p≥（eq\f(2x,x2＋1)）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－eq\f(1,e))－4>0,解得p>eq\f(4e,e2-1)，所以p的取值范围是(eq\f(4e,e2-1),+∞).请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．【数学文卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】21．（本小题满分14分）设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.【学问点】利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B11B12【答案】【解析】(Ⅰ)函数的递减区间为,递增区间为,.(Ⅱ)最大值.解析：(Ⅰ)当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:极大值微小值右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.(Ⅱ),令,得,,令,则,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,;当时,;所以令,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.由于,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.【思路点拨】(Ⅰ)利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间;(Ⅱ)利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．【数学文卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】19．（本小题满分12分）设,其中,曲线在点处的切线与轴相交于点.(=1\*ROMANI)求的值;(Ⅱ)求函数的单调区间与极值.【学问点】利用导数争辩函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数争辩曲线上某点切线方程．B11B12【答案】【解析】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析解析：(Ⅰ)因，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．(Ⅱ)由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得微小值f（3）=2+6ln3．【思路点拨】(Ⅰ)先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再依据导数的几何意义求出切线的斜率，最终由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，推断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，依据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．【数学文卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】10．已知为自然对数的底数,设函数,则A．当时,在处取得微小值 B．当时,在处取得极大值C．当时,在处取得微小值D．当时,在处取得极大值【学问点】函数在某点取得极值的条件．B11B12【答案】【解析】C解析：当k=1时，函数f（x）=（ex-1）（x-1）．

求导函数可得f'（x）=ex（x-1）+（ex-1）=（xex-1），

f'（1）=e-1≠0，f'（2）=2e2-1≠0，

则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，

当k=2时，函数f（x）=（ex-1）（x-1）2．

求导函数可得f'（x）=ex（x-1）2+2（ex-1）（x-1）=（x-1）（xex+ex-2），

∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；

在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得微小值．对比选项．

故选C．【思路点拨】通过对函数f（x）求导，依据选项知函数在x=1处有极值，验证f'（1）=0，再验证f（x）在x=1处取得微小值还是极大值即可得结论．【数学文卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】21.（本小题满分12分）已知函数在点处的切线与轴平行．（1）求实数的值及的极值；（2）假如对任意，有，求实数的取值范围．【学问点】导数与极值B12【答案】【解析】（1），的极大值为1，无微小值（2）解析：（1）∵在点处的切线与轴平行,当时，当时，在上单调递增，在单调递减，故在处取得极大值1，无微小值.（2）由（1）的结论知，在上单调递减，不妨设，则函数在上单调递减，又，在上恒成立，在上恒成立，在上，【思路点拨】（1）直接利用导数与极值的关系求解即可（2）由（1）的结论知，在上单调递减，不妨设，化简得函数在上单调递减，利用导数可得k的取值范围.请考生在第23,24题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程【数学卷·2021届江苏省盐城中学高三1月月考（202101）】19.（本小题16分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．【学问点】利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数争辩函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．B11B12【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）或解析：（Ⅰ）（Ⅱ）=1\*GB3①时在上单调递减，在上单调递增=2\*GB3②时的单调递增区间，单调递减区间=3\*GB3③时的单调递增区间，单调递减区间（Ⅲ）=1\*GB3①由（2）时不符合题意=2\*GB3②时在上递减，在上递增，则当当时，,故则解得=3\*GB3③时在上递增，在上递减则且时则解得，综上或【思路点拨】（Ⅰ）当a=1时，先对函数求导，然后求出f'（0），即取消在原点处的切线斜率，可求得曲线y=f（x）在原点处的切线方程

（Ⅱ）先对函数求导，然后依据导数的符号可推断函数的单调区间

（III）由（Ⅱ）中函数的单调区间，可求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围。B13定积分与微积分基本定理【数学（理）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】14．在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．假如的力能使弹簧伸长，则把弹簧从平衡位置拉长（在弹性限度内）时所做的功为▲（单位：焦耳）.【学问点】定积分B13【答案】【解析】1.6解析：由F=kl可知20N的力能使弹簧伸长4cm,若使弹簧伸长8cm，由公式可求伸长到8cm时需40N的力，由定积分可知有关力与距离的函数F=kl图像中函数与x轴在（0,8）围成的面积即为力做的功.【思路点拨】由力与伸长距离的函数关系求得所需的力，再由定积分求得力所做的功.【数学（理）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】8．如图，矩形的四个顶点的坐标分别为正弦曲线和余弦曲线在矩形内交于点F，向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是CBCBxyOAEDFf(x)=sinxg(x)=cosxA． B．C． D．【学问点】定积分几何概型B13K3【答案】【解析】B解析：依据题意，可得曲线与围成的区域，

其面积为又矩形的面积为，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是：.所以选B.【思路点拨】利用定积分计算公式，算出曲线与围成的区域包含在区域D内的图形面积为，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版(自动保存的)】4、（）.A.1B.3C.7D.8【学问点】定积分的应用.B13【答案】【解析】C解析：所求=，故选C.【思路点拨】依据定积分的几何意义求解.【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版(自动保存的)】4、（）.A.1B.3C.7D.8【学问点】定积分的应用.B13【答案】【解析】C解析：所求=，故选C.【思路点拨】依据定积分的几何意义求解.【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】2、设集合P＝{x|}，则集合P的非空子集个数是（）A、2B、3C、7D、8【学问点】定积分集合A1B13【答案】【解析】B解析：由于得x=0或x=2或x=3，又由于x＞0，所以P={2，3}，则其非空子集个数为，所以选B.【思路点拨】先求定积分并求方程的根，再利用集合的非空子集计算公式解答即可.【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】2、设集合P＝{x|}，则集合P的非空子集个数是（）A、2B、3C、7D、8【学问点】定积分集合A1B13【答案】【解析】B解析：由于得x=0或x=2或x=3，又由于x＞0，所以P={2，3}，则其非空子集个数为，所以选B.【思路点拨】先求定积分并求方程的根，再利用集合的非空子集计算公式解答即可.【数学理卷·2021届山东省试验中学高三第三次诊断考试（202212）】5.等比数列，前三项和，则公比q的值为A.1 B. C. D.【学问点】数列的概念；积分的运算.B1