【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-坐标系与参数方程(选修4-4)测试题

建议用时实际用时错题档案45分钟一、选择题1．直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tsin20°＋1，,y＝－tcos20°))(t为参数)的倾斜角为()A．20°B．70°C．110°D．160°【解析】∵x＝tsin20°＋1，y＝－tcos20°，∴eq\f(y,x－1)＝eq\f(－tcos20°,tsin20°)＝－eq\f(cos20°,sin20°)＝tan110°.∴α＝110°.【答案】C2．点(2，eq\f(π,6))关于极点的对称点的坐标是()A．(－2，－eq\f(π,6))B．(－2，eq\f(π,6))C．(2，－eq\f(π,6))D．(2，eq\f(7π,6))【解析】点(2，eq\f(π,6))关于极点的对称点为(2，eq\f(7π,6))．故选D.【答案】D3．(猜测题)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－cosθ，,y＝－sinθ))(θ为参数，且0≤θ≤eq\f(π,2))所表示的曲线的弧长为()A．2πB．πC.eq\f(π,2)D.eq\f(3π,2)【解析】由0≤θ≤eq\f(π,2)知方程表示的曲线为(x－2)2＋y2＝1.(1≤x≤2，－1≤y≤0)为eq\f(1,4)个圆，其半径为1，则其弧长为eq\f(1,4)×2π×1＝eq\f(π,2).【答案】C4．(2022·江西南昌一模)已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t,y＝t＋1))，(t是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝－6cosθ，则圆心C到直线l的距离为()A．2B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．3eq\r(2)【解析】直线l的一般方程为x－y＋1＝0，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝－6x，即(x＋3)2＋y2＝32，圆心C的坐标为(－3,0)，所以它到直线l的距离为eq\f(|－3＋1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2).【答案】B5．已知圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3\r(3)cosφ,y＝3\r(3)sinφ))(φ为参数，且φ∈[0,2π))被圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ,y＝3sinθ))(θ为参数)所截得的劣弧的长为()A．3πB.eq\r(3)πC．3eq\r(3)πD.eq\r(6)π【解析】由题意两圆相交，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋3\r(3)cosφ＝3cosθ，,3\r(3)sinφ＝3sinθ.))两边平方相加消去θ，化简得cosφ＝－eq\f(\r(3),2).又φ∈[0,2π)．∴φ1＝eq\f(5π,6)，φ2＝eq\f(7π,6).如图∠MO1N＝φ2－φ1＝eq\f(π,3).又∵大圆半径为3eq\r(3)，∴大圆被小圆所截劣弧长为3eq\r(3)×eq\f(π,3)＝eq\r(3)π.【答案】B二、填空题6．(2022·湖南高考)在平面直角坐标系中，倾斜角为eq\f(π,4)的直线l与曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．【解析】由题意知直线l过C的圆心，直线l的方程为y－1＝x－2，即x＝1＋y，∴ρcosθ＝1＋ρsinθ，∴ρcosθ－ρsinθ＝1.【答案】ρcosθ－ρsinθ＝17．(2022·湖北高考)已知曲线C1的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为________．【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)，))消去t得x＝eq\r(3)y，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,x＝\r(3)y，))解得x＝eq\r(3)，y＝1.【答案】(eq\r(3)，1)8．(2022·湖北武汉调研)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(eq\r(2)cosθ－sinθ)－a＝0与曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ＋cosθ,y＝1＋sin2θ))(θ为参数)有两个不同的交点，则实数a的取值范围为________．【解析】直线的直角坐标方程为eq\r(2)x－y－a＝0，曲线的一般方程为x2＝y(－eq\r(2)≤x≤eq\r(2))，画出图象分析，a的取值范围是0≤a＜eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))三、解答题9．(2022·福建高考)已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t为参数)，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ,y＝4sinθ))(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的一般方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【解】(1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t，))∴2x－y－2a＝0.又∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ，))，∴x2＋y2＝16.∴直线l的一般方程为2x－y－2a＝0，圆C的一般方程为x2＋y2＝16.(2)由于直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝eq\f(|－2a|,\r(5))≤4，解得－2eq\r(5)≤a≤2eq\r(5).10．(2022·辽宁高考)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x1,y＝2y1))，由xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝1，即曲线C的方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.故C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cost,y＝2sint))(t为参数)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1,2x＋y－2＝0))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝2)).不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为eq\b\l