工程流体力学全套教案

1、流体力学：研究流体的运动和平衡的规律以及流体和固体之间相互作用的一门科学。（1）航空航天领域——空气动力学、稀薄空气动力学飞机、火箭、人造地球卫星、宇宙探测器、航天飞机等航空器都是在大气层内活动的飞飞机为什么能飞？——各种飞机都是靠空气动力克服自身重力实现升空的。飞机在空中飞行，必然有外力作用。在水平飞行中，飞机上主要作用着4种力，它们是们相互平衡时，飞机便作水平匀速直线飞行。尽管有各个部件的配合，但是最主要的是飞机有一对采用特殊剖面形状的机翼。翼剖面又称翼型。大家知道，机翼外形都是采用称流线形设计。根据流体的连续性和伯努利定理可知，相对远前方的空气来说，流经上翼面的气流受挤，流速加快，压力减小，甚至形成吸力（负压力而流过下翼面的气流流速减慢。于是上下翼面就形成了压力差。这个压力差就动机提供的推力克服，升力正好可克服自身的重力，将飞机托向空中。这就是飞机会飞的奥稳定性等特性，在设计时必须考虑在流体力学上如何使船体线型达到最佳。现代潜艇按艇体线型的形状可分为三种，即常规型面航行，但对提高水下航速是不利的。水滴型水下阻力小，有利于提高水下航速，但水滴型潜艇的水面航行性能较差，艇首容易上浪，而且易出现埋首现象。过渡型潜艇是把常规型的直首和水滴型的尖尾相结合的一种潜艇线型，这种潜艇的水面航行性能优于水滴型，而水下航行性能优于常规型潜艇。船吸现象1912年秋天，"奥林匹克"号正在大海上航行，在距离这艘当时世界上最大远洋轮的100米处，有一艘比它小得多的铁甲巡洋舰"豪克"号正在向前疾驶，两艘船似乎在比赛，彼此靠得较拢，平行着驶向前方。忽然，正在疾驶中的"豪克"号好像被大船吸引似地，一点也不服从舵手的操纵，竟一头向"奥林匹克"号闯去。最后，"豪克"号的船头撞在"奥林匹克"号的船舷上，撞出个大洞，酿成一件重大海难事故。根据流体力学的伯努利原理，流体的压强与它的流速有关，流速越大，压强越小；反之亦然。用这个原理来审视这次事故，就不难找出事故的原因了。原来，当两艘船平行着向前航行时，在两艘船中间的水比外侧的水流得快，中间水对两船内侧对两船外侧的压强要小。于是，在外侧水的压力作用下，两船渐渐靠近，最后相撞。又由于"豪克"号较小，在同样大小压力的作用下，它向两船中间靠拢时速度要快得多，因此，造成了"豪克"号撞击"奥林匹克"号的事故。现在航海上把这种现象称为"船吸现象"。鉴于这类海难事故不断发生，而且轮船和军舰越造越大，一旦发生撞船事故，它们的危害性也越大，因此，世界海事组织对这两船同向行驶时，彼此必须保持多大的间隔，在通过狭窄地段时，小船与大船彼此应作怎样（3）水利工程等关系到国计民生的大工程—理论计算、设计、勘察三峡工程：五级连续船闸——U形管原理（连通器）①当轮船从上游驶进船闸的时侯，上游阀门A打开，水通过底下的阀门从上游流进闸室，根据连通器原理，闸室内水位升高，直至与上游水位相平。②这时打开上游闸门C，轮船就可以驶入闸室了。④当闸室内的水位降到与下游水位相平的时侯就不再下降了，这时打开下游闸门D，轮船就可以从闸室驶向下游。江苏，最后抵达上海。沿途将穿越戈壁沙漠、黄土高原，以及吕梁山、太行山、太岳山，并跨越黄河、长江、淮河等江河，全长4000多公里。预计工程总投资1500亿元，输量最终达西气东输工程的目标市场是长江三角洲地区的上海市、江苏省、浙江省以及沿线的河南南水北调总体规划推荐东线、中线和西线三条调水线路。通过三条调水线路与长江、黄河、淮河和海河四大江河的联系，构成以“四横三纵”为主体的总体布局。南水北调需要穿越隧道、黄河、倒吸虹、暗渠、桥等，输水河道、泵站枢纽的设计、钻井工程：洗井液、钻头水力学、泵、射流及喷射钻井、钻井浮船及平台设计等。储运工程：管道及泵功率的设计、船舶运输等。炼油工程：设备流程设计，设备清洗。（5）医疗：高压水射流手术刀，人工心脏。现在血液在人体内的流动也是研究的一个热点。（6）其它：食品加工，飞机制造，跑道清洗，除尘，水力工程等。（7）身边典型实例：石大太阳广场喷水池3、流体力学的发展简况——四个阶段（1）第一阶段——经验阶段：十七世纪前，主要是人们在与大自然斗争中的经验总结。例如，我国秦代李冰父子设计建造的四川都江堰工程，隋代大运河，水车，汉代张衡发明的水力浑天仪，古代铜壶滴漏计（2）第二阶段——理论阶段：十七世纪～十九世纪一些水力原理论著出现，标志着流体力学的发展进入了理论阶段。念协调起来20世纪初至中叶，流体力学理论、实验全面展开，航空航天迅速发展，湍流，稳定性工业流体力学，实验流体力学，地球流体力学，非牛顿流体力学，多相流体力学，生物流体力学，物理—化学流体力学，渗流力学等，都已形成相对独立的学科。流体力学是一门基础性很强和应用性很广的学科，它的研究对象随着生产的需要与科学的发展在不断的更新、深化和扩大。从学科上看属于这一范畴的有理论流体力学、工程流体力学、水力学。理论流体力学：侧重于用数学分析方法进行理论探讨工程流体力学：从实用角度，对工程中涉及的问题建立相应的理论基础，并进行计算。水力学：侧重于用物理分析和实验方法进行实用计算二、工程流体力学概述1、特点：以物理为基础、以力学为依据、以数学为工具在流体力学的发展过程中，实验方法是最先使用的的一种，其他两种方法出现一已做出过巨大贡献，即使到现在，若不使用这种方法，航空，航天事业和大型水利枢纽等复杂系统的顺利实现，将仍然是不可能的。利用相似原理，在风洞，水洞，水池，激波管进行模型试验，采用光、电手段，清晰显示流动图象，精确测量流场中的诸物理量与物体受力特性．这是实验流体力学的任务。①所给定的问题，选择适当的无量纲相似参数，并确定其大小范围；②据①准备试验条件，其中包括模型的设计制造与设备仪器的选择使用等；③订实验方案并进行试验；④理和分析实验结果，并与其他方法或著者所得的结果进行比较等。优点：能直接解决生产中的复杂问题，能发现流动中的新现象；它的结果，可以作为检验其他方法是否正确的依据。缺点：对不同情况，需作不同的实验，即所得结果的普适性较差。继实验方法之后出现的是分析方法。①建立简化的数学模型，即根据所给问题的特点，作出一定的假设，并用以简化一般的流体力学运动方程组和初始条件与边界条件；②用分析方法求简化后的初始问题或边值问题的解析解；③选择适当的算例，利用解析解进行具体的数值计算；④将所得算例结果与用其他所得的相应结果进行比较，以检验简化模型的合理性。优点：解析解明确给出各种物理量与流动参量之间的变化关系，有较好的普适性缺点：数学上的难度很大，能获得的分析解的数量有限。如N－S方程依靠计算机，精确、高效地求解大规模离散化的流体力学方程组，是计算流体力学的研究任务，20世纪中叶才出现的一种方法。①对一般的流体运动方程，初始或边界条件，进行必要的简化或改写；②选用适当的数值方法，对简化或改写的初始问题或边值问题进行离散化；③编制程序，选取算例进行具体计算，并将所得结果绘制成图表；④将算例结果与实验或其他计算方法结果，进行比较。优点：许多用分析法无法求解的问题，用此法可以求得它们的数值解。如果计算机的速度和容量继续提高，计算方法不断改进，它所起的作用，将愈来愈大，但应注意，它仍是一种近似方法，它的结果仍应与实验或其他精确结果进行比较。缺点：对复杂而又缺乏完善数学模型的问题，仍无能为力。3、研究对象——流体（1）压缩性大小：液体(水)、气体（2）剪切变形特性：牛顿流体、非牛顿流体（1）流体平衡和运动规律（2）流体与固体相互作用的基本理论（3）解决工程设计和使用问题，比如管路设计三、本课程的学习任务（1）牛顿内摩擦定律（2）静力学基本方程（3）连续性方程——质量守恒（4）伯努利方程——能量守恒（5）动量方程——动量守恒静压强计算、管路的水力计算、液体（静止或运动）对固体的作用力，等等（1）水静压强实验（4）沿程阻力实验认真听讲，记笔记，下课复习——强调平时努力的重要性作业：避免眼高手低，独立完成，每周收一次积极参与教学活动点名，不旷课单位制单位制MLTF物理单位克秒达因工程单位公斤力﹒秒2/米米秒(MKS)千克米秒/米第一节流体的概念自然界的物质有三态：固体、液体、气体从外观上看，液体和气体很不相同，但是从某些性能方面来看，却很相似。流体与固体相比，分子排列松散，分子引力较小，运动较强烈，无一定形状，易流动，只能抗压，不能流体：是一种受任何微小剪切力都能连续变形的物质。它是气体和液体的通称。二、流体的特点分子排列紧密分子排列松散易流动，只受压力，不受拉力和切力，没有固定形状，受到微小的剪切力就产生变形或流动有固定的体积不易压缩粘性大，随温度增加粘性下降→分子间的吸引力（内聚力）没有固定的体积粘性小，随温度增加粘性上升→分子间的碰撞、动量交换温度对粘性的影响：产生粘性的主要因素不同（1）气体：T升高，µ变大分子间动量交换为主三、连续介质假设——连续性说明（稠密性假设）从微观上讲，流体由分子组成，分子间有间隙，是不连续的，但流体力学是研究流体的宏观机械运动，通常不考虑流体分子的存在，而是把真实流体看成由无数连续分布的流体微团（或流体质点）所组成的连续介质，流体质点紧密接触，彼此间无任何间隙。这就是），微观上足够大（无穷大它里面包含着许许多多的分子，其行为已经表现出大量分子的统2、引入意义：第一个根本性的假设将真实流体看成为连续介质，意味着流体的一切宏观物理量，如密度、压力、速度等，都可作为时间和空间位置的连续函数，使我们有可能用数学分析来讨论和解决流体力学中的对稀薄气体，不能适用，必须考虑为不连续流体。内因：流体本身的物理性质——第二节外因：作用在流体上的力——第三节第二节流体的主要物理性质M——流体质量（kg）V——流体体积（m3）32（1）液体的相对密度：液体的重量与同体积4ºC蒸馏水重量之比。水（2）气体的相对密度：气体的重度与同温同压下的空气重度之比。5、气体的比容(v)：单位重量气体的体积二、压缩性和膨胀性（1）定义：温度不变时，流体在压力作用下体积缩小的性质。单位，体积的相对变化量。β=-pVdV——体积改变量V——原有体积dp——压强改变量或p或0（1）定义：压力不变时，温度升高，流体体积增大的性质。（2）体积膨胀系数βtCoefficientofvolumetricexpansion）压力不变时，温度增加一个单位，体积的相对变化量。或0dt——温度改变量（4）说明：表1-3表明液体膨胀性很小——在实际计算中，一般不考虑液体的膨胀性。p——=-粘性是流体所特有的性质，自然界中的任何流体都具有粘性，只是有大有小。1、定义：流体微团发生相对运动时所产生的抵抗变形、阻碍流动的性质。（3）流体分子和固体壁面之间的附着力3、产生条件：流体发生相对运动4、产生的实质：微观分子作用的宏观表现怎样确定流体运动时的粘滞力呢？它与哪些因素有关？牛顿经过大量实验研究于1686年提出了确定流体内摩擦力的所谓“牛顿内摩擦定律”。图速度分布规律如图，A、B为长宽都是足够大的平板，互相平行，设B板以u0运动，A板不动。由于（1）两平板间流体流层：速度自上而下递减，按直线分布；慢层：uT：快层对慢层产生一个切力T，使慢层加速，方向与流向相同。T’：慢层对快层有一个反作用力T’，使快层减速，方向与流向相反，这种阻止运动的力，称为阻力。（3）T与T’：大小相等，方向相反的一对力，分别作用在两个流体层的接触面上，这对力是在流体内部产生的，叫内摩擦力。流体相对运动时，层间内摩擦力T的大小与接触面积、速度梯度成正比，与流体种类T——内摩擦力，单位：牛顿（N）μ——动力粘性系数，与流体性质、温度有关A——接触面积（5）粘性切应力τ：单位面积上的内摩擦力①“±”是为使T、τ永远为正值而设取“＋”号=0取“－”号(①拖下板②y轴向下③管流）ττ不符合③公式适用条件：牛顿流体做层流运动τ①定义：由公式τ②物理意义：表示速度梯度为1时，单位面积上的摩擦力的大小。μP——在方程中经常出现②国际单位：米2／秒；（1）理想流体：假想没有粘性的流体μ=0，能量损失＝0（2）实际流体：又称为粘性流体，即真实流体流体在运动中因克服摩擦力必然要做功，所以粘性也是流体中发生机械能量损失的根μ=0.142Pa.s，hμ=0.235Pa.s，h求：平板上所受的内摩擦力F绘制：平板间流体的流速分布图及应力分布图解前提条件：牛顿流体、层流运动）EQ\*jc3\*hps39\o\al(\s\up2147483646(du),dy)因为τ=τ所以1→四、表面张力σ1、定义：使液体表面处于拉伸状态的力为表面张力2、表面张力系数σ：单位长度上的表面张力3、表面张力的产生：液、气接触自由表面在气液自由表面上，由于液体分子的内聚力显著的大，因此在液体表面的分子有向液体内部收缩的倾向，使得自由表面有一拉紧作用的力产生，即表面张力。在液固交界面上，也会产生附着力。液体内聚力的大小决定其是否产生湿润管壁。水与玻璃管相互作用计算及分析管壁圆周上总表面张力在垂直方向上的分力：πDσcosθ（1）π令可得毛细管内液柱上升高度其中：θ为液面与壁面的接触角D为毛细管内径mσ为表面张力N/m第三节作用在流体上的力本书：按力的表现形式1、定义：作用于流体的每一个质点上，与流体的质量成正比。v23、单位质量力：流体质量为M，总质量力为一Ff=单位质量力M，一一f=Xi+Yj+Zk设1、定义：作用于流体表面上，与作用面的表面积成正比。）：1º研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。2º静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。①绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。{②相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相{共同点：不体现粘性，无切应力3º适用范围：理想流体、实际流体4º主要内容：流体平衡微分方程式静力学基本方程式（重点）等压面方程（测压计）作用于平面和曲面上的力（难点）第一节流体静压强及其特性设微小面积ΔA上的总压力为ΔP，则平均静压强ΔP即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。2、总压力：作用于某一面上的总的静压力。P单位：N(牛)工程单位：kgf/m21、静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向——方向特性。（垂直并指向作用面）证明：反证法证明之。有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。设切割面上任一点m处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为pn和切应力τ。而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平衡，这与静止的前提不符。所以静压强p的方向只能是沿着作用面内法线方向。2、静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与作用面的方位无关，即p只1、选取研究对象（微元体）2、受力分析（质量力与表面力）ΣF=03、导出关系式4、得出结论从静止流体中取出一微小四面体OABC，其坐标如图，三个垂直边的长度分别为dx、ΔABC表面上的静压强，pn与x、y、z轴的夹角为α、β、Y。2、受力分析（质量力与表面力）流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。表面力与作用面的面积成正比。作用在ΔOAC、ΔOBC、ΔOAB、ΔABC面上的总压质量力与微元体的体积成正比。四面体的质量pdxdydz设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X、Y、Z，则质量力F在坐标轴方ΣF=0因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为零。则在x方向上，有：将上面各表面力、质量力表达式代入后得pxn11则当dx、dy、dz趋于零时也就是四面体p=pp=pp=pp=p=p=p因n方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个方向连续介质中，p仅是位置坐标的连续函数p=p(x,y,z).？＝以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。如：第二节流体平衡微分方程式它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。l根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为零，可l微元体：无穷小平行六面体，因压强分布是坐标的连续函数，则A1点、A2点的压强p1、p2可按泰勒级数展开，略去二阶以上无穷小量，得到A1、A2处的压强分别为：微元体质量：M=ρdxdydz设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。ΣF=0对微元体应用平衡条件，则同理，在y和z方向可求得：——欧拉平衡微分方程式X、Y、Z——单位质量力在x、y、z轴方向的分量单位质量流体所受的表面力在x、y、z轴方向上的分量平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。二、方程的积分（压强分布公式）1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将Euler方程分别乘以dx，因为p＝p（x，y，z所以上式等号左边为压强p的全微分dp，则上式可写为2、势函数（力函数）又因为EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up16(U),x)因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。(U-U0)在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体三、等压面①等压面就是等势面。因为dp=pdU。②作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。证明：沿等压面移动无穷小距离dEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up16(一),L)=dx+dy+dz则由空间解析几何：单位质量力做的功应为EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(一),F)所以，质量力与等压面相垂直。③等压面不能相交相交→一点有2个压强值：错误④绝对静止流体的等压面是水平面X＝Y＝0，Z＝－g+性质②⑤两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差为dp。因为它们同属于两种流dp=ρ1dU且dp=ρ2dU所以只有当dp、dU均为零时，方程才等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。第三节重力作用下的流体平衡本节只研究流体相对于地球没有运动的静止状态。一、静力学基本方程式1、坐标系的原点选在自由面上，z轴垂直向上，液面上的压强为p0，则＝－对于不可压缩流体(公式使用条件之一)，γ=const，积分（2）式得：ppy——静力学基本方程形式之一则p0＝C’——静力学基本方程形式之二。（1）适用条件：静止、不可压缩流体。（2）静止流体中任一点的压强p由两部分组成，即液面压强p0与该点到液面间单位面积上推广：已知某点压强求任一点压强（3）静止流体中，压强随深度呈线性变化用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。大小：静力学基本方程式方向：垂直并且指向作用面（特性一）（4）同种连续静止流体中，深度相同的点压力相同。连通器：二、几种压强的表示（基准不同）是以绝对真空为零点而计量的压强。是以当地大气压为零点而计量的压强。当绝对压强小于当地大气压时，当地大气压与绝对压强的差值。注：①只有当p表<0时，才用真空度的概念②气体的压强都是绝对压强③尽可能用表压：pa在液体内部等值传递的三、压强的度量2四、静力学基本方程式的意义pYz——位置水头：该点到基准面的高度。pp静止流体中各点的测压管水头是一个常数。z比位能：单位重量流体所具有的位能。z=pY——比压能：单位重量流体从大气压力为基点算起所具有的压力势能。是一种潜在的势能，若在某点压力为p，接出一测压管，则在该压力作用p下，液面上升的高度为Yp静止流体中，单位重量流体的总势能是恒等的。五、测压计1、分类：根据适用范围、适用条件的不同，分为液式、金属式、电测式。2、液式测压计原理：p=p0+yh（p、p0的标准必须一致，用表压）方法：找等压面（性质5：两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面）特点：结构简单、使用方便、制造简单，常用于实验室中。AAEQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up16(1),p)f．组合式U形管压差计所以p2)所以（1）原理：弹性元件在压力作用下产生弹性变形。（2）分类：弹簧管式、薄膜式压力表。（3）缺点：易坏（超量程操作）4、电测式测压计第四节几种质量力作用下的流体平衡1º研究对象：相对于坐标系静止的流体称为相对平衡流体。•等加速直线运动•等角速旋转运动利用达朗贝尔原理ΣF=0变为的静力学问题如果在运动的质点上加上惯性力，则作用在质点上的主动力、约束力与惯性力平衡。•压强分布公式•等压面方程一、等加速水平运动容器中流体的相对平衡如图，作用在流体上的质量力除重力外，还有一个与加速度方向相反的惯性力。显然，在EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up13(→),a)不变时亦不变化。这时，流体相对于容器不动。如果把坐标固定在容器上，2、等加速直线运动流体的压强分布及等压面方程。成α角。a.等压面是一簇平行斜平面b.等压面与x轴夹角为：α=tg-1等压面与重力和惯性力的合力垂直）zs——自由液面上点的z坐标③静压强分布设ρ=const，对（1）式积分，得p=p+Pg(-ax-z)=p+y(z-z)=p+yh0g0s0——符合静力学基本方程式的通大气压孔，试计算当汽车以加速度为3m/s2向前行驶时，水箱底面上前后两点A、B的分布规律不变，自由液面仍为一倾斜平面，符合ax+等压面与x轴方向之间的夹角g但由于惯性力而引起的液体内部压力s二、等角速旋转容器中液体的相对平衡容器以ω角速度绕轴旋转时，由于粘性作用，靠近壁处流体首先被带动旋转，平衡后，各流体质点具有相同的角速度，此时，液体与容器一起旋转。相对于作等角速运动的圆桶而言，流体处于相对平衡状态。受力分析：液体中任一质点所受的质量力有2、压强分布、等压面方程坐标固定在容器上，坐标原点O在旋转轴与自由液面的交点，z轴竖直向上。FrF所以所以M（单位质量力）所以所以2yy而而结论：等压面是一簇绕z轴旋转的抛物面。得得③流体静压强分布不可压ρ=const，积分（4）式得：即结论：在同一高度上，其静压强沿径向按二次方增长。（1）装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡分析：容器内液体虽然借离心惯性力向外甩，但由于受容器顶限制，液面并不能形成旋转抛物面，但内部压强分布规律不变：p=Y.不能体现绝压、表压）（2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡求：W0Δh作用面上的总压力1º解决问题：力的大小、方向、作用点p=p+yh0面积矩惯性矩移轴定理力矩原理AcJ=∫y2dAx平行力系合成微积分4º方法：解析法、图解法5°说明：p一般用相对压强（表压）表示第五节静止液体作用在平面上的总压力设静止液体中有一任意形状的平面，它与水平面的夹角为α,面积为A。2、坐标：选坐标如图X轴——平面或其延伸面与自由液面的交线；Y轴——垂直于ox轴沿着平面向下。（一）总压力的大小在A上取微元面积dA，坐标为（*）面积A对ox轴的面积矩，即ydA=yc.A所以——总压力计算公式结论：总压力＝形心处压强×平面面积问题：平面形心处压强与平面的平均压强大小一样么一样）（二）总压力的方向：垂直并指向平面（三）总压力的作用点（压力中心）根据平行力系的力矩原理：每一微小面积上所受的对x轴的静力矩之和应该等于作用在面积A上的合力对x轴的静力矩。即：D因为（*）式得因为（*）式得所以其中x理换算成：对通过面积形心c且平行于ox轴的轴线的惯性矩Jc所以其中偏心距压力中心（作用点）D永远在平面形心C的下边，距离为偏心距eC总结：若液面上表压强不为0时，即p0≠pa，可将表压换算成液柱高加到原来的液面上，以一个表压为0的假想液面来计算总压力大小、方向、作用点。它是利用画出流体静压强的分布图来计算作用在平面上总压力的方法。此法适用于沿深度为等宽的矩形平面。如图：P=Ωb（9）Ω——压强分布图面积压力方向：水平向右。压力作用点：在受压面对称轴上，且作用线通过压强分布图的形心。解：把p0折算成水柱高：(3c3c设在B点加水平力F使闸门AB平衡，对A点取矩ΣMA＝02+FAB第六节静止流体作用在曲面上的总压力它包括压力的大小、作用点及作用方向三个方面。求解时，通常将总压力分解成空间坐标系的三个分量，求出各分量后再合成。工程上遇到最多的是二向曲面（柱面）。因此，我们只推导如图所示曲面总压力计算公式。求总压力问题就是空间力系的合成问题。①化整为零②变不平行为平行即曲面上所受的液体总静压力P可分解为在ox轴方向的水平分力Px和在oz轴方向的垂直xγ=C，xAxcxcx式中Axcx为面积A在yoz平面EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up2(dP),z)令γ=C，对（2）式积分3）其中为压力体体积二、总压力的方向总压力的方向与垂线夹角为θ,则z三、总压力的作用点P应通过Px与Pz的汇交点E，于是根据E点和α角可确定P作用线位置，此线与曲四、压力体——用于求垂直分力(↑或↓)由承受压力的曲面、曲面边缘向上引垂面与自由液面或延长线（面）相交形成的无限多c.沿曲面的周界垂直至液面（或其延伸面）的铅垂面b.找出液固分界面c.据静压力作用方向的不同(↑或↓)找特殊点，分段。一示压水箱的横剖面如图所示，压力表的读数为0.14个大气压，圆柱体长L＝1.2m，半径R＝0.6m，求：圆柱体保持如图所示位置时所静水水平分力：→垂直分力：↑第七节物体在液体中的潜浮原理2、浮体：当物体当中的部分浸没在流体中，另一部分露出在自由表面之上时，称为浮体。3、浮力：浮体或潜体表面所受到流体对它的作用力的合力成为浮力。浮浸入部分4、浮心：浮力的作用点，为V的几何中心。二、潜体的稳定与平衡浮力F，作用点在浸水部分的几何中心。（2）重心和浮心要在一条垂直线上3、潜体稳定分析潜体的稳定性是指平衡物体受某种外力作用发生倾斜后不依靠外力而恢复原来平衡状根据重心D和浮心C的相对位置，可分三种情况来讨论潜体稳定性。(a)稳定平衡（b）不稳定平衡（c）随遇平衡三、浮体的平衡及稳定b.重心D和形心C在同一垂直线上2、稳定性分析a.重心在浮心之下——稳定平衡b.重心与浮心重合——稳定平衡c.重心在浮心之上——复杂，分别说明浮轴：物体平衡时，重心与浮心连成的垂直线。定倾中心：浮体发生倾斜时，C→C’，此时浮力P’的作用线与浮体原来平衡时的浮轴的则：m在重心之上——稳定平衡m在重心之下——不稳定平衡l伯努利方程——能量守恒**重点l动量方程——动量守恒**难点第一节研究流体运动的两种方法其几何尺寸可忽略微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。标识，称为拉格朗日变数。3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z)4、适用情况：流体的振动和波动问题。缺点：不便于研究整个流场的特性。1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。说明：x、y、z也是时间t的函数。z全加速度＝当地加速度＋迁移加速度当地加速度：在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率。迁移加速度：流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率。说明：两种方法具有互换性。但由于欧拉法较简单，且本书着重讨论流场的整体运动特性。所以，采用欧拉法研究问题。2、二元流场：凡具有两个坐标自变量的流场。3、一元流场：具有一个坐标自变量的流场。管截面A=A(l)，若人们研究的是各截面上流动的平均物理参数，则它可以简化为一元流场B=B(l,t)。第二节流体运动的基本概念一、稳定流动和不稳定流动二、迹线和流线①定义：流体质点在一段时间内运动所经过的路线。②迹线特点：每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一簇曲线，且只随质点不同而异，③迹线方程：可由“欧拉法”与“拉格朗日法”互换求出。——这就是迹线微分方程式。①定义：是某一瞬时流场中的一条曲线，该曲线上所有质点的速度矢量都和该曲线相切。——表示流场在某一瞬时的流动方向不稳定流时，流线的空间方位形状随时间变化；稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合；流线是一条光滑曲线，既不能相交，也不能转折。特例：点源、点汇、驻点、相切点xzu证明：在M点沿流线方向取有向微元长dS解：x+t-y+t积分：ln(x+t)=-ln(-y+t)+C→(x+t)(-y+t)=C`所以，过A1，1）点流线的方程为：xy1⑤流线的绘制方法：采用微元长切线方法P49三、流管、流束、总流①定义：在流场内画一条曲线，从曲线上每一点做流线，由许多流线围成的管子。（人为引入的一个虚构空间）A.流管内外无流体质点交换B.稳定流时，流管形状不随时间而变2、流束：充满在流管内部的流体微小流束：断面无穷小的流束——断面上各点运动要素相等。3、总流：无数微小流束的总和——所有问题都归于总流问题四、有效断面、流量和断面平均流速）：有效断面可以是曲面或平面2、流量：单位时间内流过有效断面的流体量。（a）体积流量：单位时间内流过有效断面的流体体积A单位Kg/s假想断面上各点流速相等，以V表示，且其流量等于实际流速u流过该断面的流量。A第三节连续性方程流体的连续性方程是质量守恒定律的一个特殊形式，对于不同的液流情形，连续性方程质量守恒定律：对于空间固定的封闭曲面，dt时间内流出的流体质量与流入的流体质量之差应等于封dt时间内：流出质量－流入质量＝减少量一、一元流动（管流）连续性方程工程上一般研究均匀管流，即设同一截面上的物理量均匀，因此，前面引入了断面平均稳定流动，dM＝0，即流出质量＝流入质量——可压缩流体沿微小流束稳定流的连续性方程。即或——可压缩流体稳定流沿总流的连续性方程：沿流程的质量流量保持不变。对于不可压缩流体：ρ=C或——不可压缩流体稳定流动总流的连续性方程：沿流程的体积流量保持不变。二、空间运动的连续性方程本节介绍直角坐标中的连续性方程：微元分析法。在流场中任取一微元六面体，其边长分别为dx，dy，dz；a点速度u在三个方向的分量ldt时间内流出与流入微元体的质量之差Δm1、dt时间内流出与流入微元体的质量之差ΔmxxEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up38(所),Δ)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up38(以，),m)EQ\*jc3\*hps34\o\al(\s\up38(t),Δ)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up38(时间),mx)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up38(流),Δ)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up38(出),m)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up38(与),y)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up38(入),Δ)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up38(微),m)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up38(的),L)EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up3(u),y)12(,=-y)物理意义：单位时间内，流体流经单位体积的流出与流入之差与其内部质量变化的y)1、反过来判断流场是否连续2、减少未知数，定义流函数、势函数3、求解复杂问题时，使方程封闭它表达了理想流体受力与运动之间的动力学关系。在流场中取微元体如图。压力为p（1）因为理想流体μ=0，质量力为单位质量流体受的质量力为：X-xx——Euler运动微分方程（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于加速度。①理想流体：无粘性、无能量消耗。②可压缩、不可压缩流体③稳定流、不稳定流（4）方程可解性Euler方程三式分别乘以流线上两点坐标增量dx、dy、dz，①EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(d),d)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(x),t)uy=2、设作用在流体上的质量力只有重力（条件之三则：所以对于流线上任意两点1、2——理想流体沿流线的伯努利方程。（1）.适用条件：①理想流体②稳定流动③质量力只受重力④不可压流体⑤沿流线或微小流束。pu22g——速度水头pu22g——比动能：单位重量流体所具有的动能三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之和始终保持一常数。对于实际流体：有粘性存在，消耗能量l本身摩擦变成热能散发l与壁面的摩擦损耗21只适用于理想流体，且只适用于流线，而不适用于实际流体的总流。一、实际流体总流与理想流体流束的比较1、能量的表现形式一致：比位能、比压能、比动能流束：up2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(1),g)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(2),g)二、实际流体总流的伯努利方程1、实际流体沿微小流束（流线）的能量方程2、实际流体沿总流的伯努利方程公式推导：因为通过一个通道的流体总流是由许多流束组成的。每个流束的流动参量都有差别，而对于总流，希望利用平均参量来描述其流动特性。因此，(2).单位时间在微小流束有效断面上通过流体重量dG=γudA(4).单位时间通过总流有效断面流体总能量(5).给定断面平均单位重量流体的能量积分存在那些问题？——总流有效断面上运动参数不等：压力不等&速度不等此式不宜计算，须先求出各项积分，为此引进两个新的概念：!!忽略直线惯性力忽略离心惯性力（2）引入目的：忽略由于速度V的数值或方向变化而产生的惯性力①缓变流断面接近平面②质量力只有重力。因为r大，u2/r不计，进而X=Y=0③水力特性：证明：在缓变流中取相距极近的两流线S1及S2，并在有效断面上取一面积为dA，长为所以AAY急变流：流动参量沿流程急剧变化的总流。（2）因为总流有效断面上的速度分布是不均匀的，设各点真实速度u与平均速度V之差为Δu，则有2A,2A,|动能修正系数:则——实际流体总流的Bernoulli方程它是总流有效断面上的实际动能对按平均流速算出假想动能的比值。速度越大，雷诺数（3）w1-2的物理意义：实际总流1→2有效断面间，单④选取的计算断面为缓变流断面，中间允许有急变流；⑤具有共同流线。22233三、伯努利方程式的应用①一般水力计算②节流式流量计③毕托管、驻压强、总压强（测速管）④流动吸力问题①顺液流方向取三面两个计算断面：所求未知量所在断面；已知条件比较充分的断面；②列伯努利方程求解①搞清使用条件②方程中位置水头z是相对基准面而言③计算时，方程两边选用压力标准一致，单位统一④动能修正系数α≈1⑥对于水罐、水池等，液面上速度近似为零。据连续性方程4wA-BwB-C求：Vc＝？Q＝？pB=?解：分析：A、B、C三个断面各有三个参数z、p、VA把基准面定在A点，使用表压计算。VA=VA对A－C断面列能量方程C3/sB（2）.节流式流量计常用的几种类型的流量计：①孔板流量计、②喷嘴流量计、③文丘利流量计、④浮子流量计、⑤涡轮流量计、⑥容积式流量计（椭圆齿轮流量计、腰轮流量计、刮板流量计）其中①、②、③皆为节流式流量计。特点：有效断面面积减小基本原理：当管路中的流体流经节流装置时，在收缩断面处流速增加，压力降低，使节流装置前后产生压差，可通过测量压差来计量流量。流量计公式：公式推导根据能量方程和连续性方程。孔眼处速度为V。暂不考虑损失，取1－2断面列能量方程和连续性方程（2）式代入（1）式，整理得p-p-pY(|Y(|A)2(A)2,|考虑到实际流体的损失及与理论计算的差别，需对公式进行校正，用流量系数α代替μ,则：①.α——流量系数A——孔口面积②.对于液气压差计对于水－汞压差计U试问：压差计读数Δh等于多少？（不计水头损失）则p1-所以Hg（3）.毕托管原理②动压强：流动流体中不受流速影响的某点的压强poY③总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。④单孔测速管制作原理：当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向四周分流时，在物体表明上受水流顶冲的A点流速等于零，称为水流滞止点（驻点）。驻点处的动能全部转化为压能，单孔测速管和毕托管就是根据这一原理制成的一种测速仪。如图，1管测的是动压强，2管测的是总压强，则驻压强p-p=A=A0的圆盘，若水层离开盘边的厚度δ=1mm，求流量Q3每点都有一个未知数，可对任何两点列方程。①①②②③③（忽略δ/2）（忽略δ/2）V2＝8.74m/s,V1=4.196m/s/sa－a等压面：3a－a等压面：3（4）流动吸力——喷雾器、喷射泵原理：利用喷嘴处高速水流造成的低压将液箱内的液体吸入泵内与主液流混合。例题：如图一喷射泵则A-C列能量方程可求pC.解1）.AcY（2）.欲渗液体吸入条件为：V≥0EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(2),C)p:H+CpV2Cpp即pc可把δ2=1.2的液体吸入的高度的极限值图示为一抽水装置，利用喷射水流在吼道断面上造成的负压，可将M容器中的积水抽出。求：吼道有效断面面积A1与喷嘴出口断面面积A2之间应满足什么样的条件能使抽水装置开要使抽水机工作：Y所以：三、水头线和水力坡降Bernoulli方程中的每一项比能和水头损失都具有长度的因次，则它们可用液柱高度来表示。它可直观地反映各能量转化关系。它是能量方程的几何表示，即用一个液柱高度来表示每一种比能。pp总水头沿程逐点水头连线叫做水头线。(①位置水头线；②压力水头线；③总水头线）（1）.总水头线（Ht）一般情况下总是下降的，有局部损失时集中下降，有泵时除外。（2）.测压管水头线（Hp）总是比总水头线小一速度水头值。ppp4、水头线的绘制（2）管线轴心线到基准面的距离的连线为位置水头线。（3）在各断面轴心向上作垂线，在其上截取高度等于中心点的压强水头p/γ,得测压管水头，然后，把各断面的测压管水头连起来，得测压管水头线。（4）在测压管水头线以上截取高度等于流速水头αV22g就得到该断面的总水头EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(p),Y)αV2,各断面总水头的连线称为总水头线。举例：局部损失不计单位长度上的水头损失直线段一、泵的扬程（H泵对单位重量液体所作的功。单位：米二、有能量输入（泵）的伯努利方程设在管路中有一水泵，水泵对液流作功，使液流能量增加。对于单位重量的液流来说，如果这种能量的加入为H，并取两个计算断面，其中一个位于泵的前面1—1，另一个位于泵的后面2—2，则2—2断面上液体的能量比入口1—1断面上H，如果再考虑两断面间的水头损失。pαV2pαV2能量供给能量消耗注意：跨越泵时，加H式中H为单位重量的液流通过水泵后增加的能量，也称管路所需的水泵扬程；对于上图所取两断面，则p1=p2=0，因两液池的速度相对于管内速度较小，可略去不计，则三、功率）：单位时间内通过水泵的水流重量为YQ，所以单位时间内水流从泵中实际获得的总能量为测得流量Q=0.06m3/s，水泵进口真空表读数为4mH2O，水泵出气压水管与两表连接的测压孔位置之间的高差h=0.5m。试求此时的水泵扬程H。若同时解：选取与真空表连接处的圆管断面1-1、与压力表连接处的圆管断面2-2为过流断面，以因为断面1-1、2-2位于水泵进、出口处，它们之间的能量损失，只是流经水泵内的损失，已考虑在水泵效率之内，所以hw1-2=0；另外，根据已给条件，知p Yp YEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(p),Y)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(2V),2g)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(2),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(p),Y)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(1V),2g)3将已知值代入得3轴w吸求：H＝？pB＝？N泵=?BN泵第七节系统与控制体2、特点：质点不变，形状、位置、体积可以变化。能量交换，边界上可以受力。2、特点：形状、位置不变，质点可变设N：某一瞬时系统内流体所具有的某一种物理量的总和η：单位质量流体所具有的这种物理量物理意义：系统内部N的时间变化率等于控制体内N的时间变化率加上单位时间经过控制第八节稳定流的动量方程及其应用一、稳定流动量方程从物理学中的动量定律我们知道，单位时间内物体的动量变化等于作用于该物体上外力的总和。我们研究流体的一个系统，取初始瞬间系统的边界作为控制面。所以根据动量定律：系统内的流体动量对时间的导数等于作用在系统上的外力的矢量和，即对控制体内的流体应用动量方程设壁面对控制体内的流体的作用力为R,两端所受压力为p1，p2，重力mg,……稳定流动量方程等号左边括号中：2－2、1－1两断面等号右边：1－1、2－2两断面间液流所受的和外力在x，y，z三个坐标方向的分量。（1）在计算过程中只涉及控制面上的运动要素，而不必考虑控制体内部的流动状态。（2）作用力与流速都是矢量，动量也是矢量，所以动量方程是一个矢量方程，所以应用投（3）使用时应注意：适当地选择控制面，完整地表达出作用在控制体和控制面上的一切外力，一般包括两端压力，重力，四周边界反力。（4）当各个矢量不在同一方向时，应先选取坐标轴方向，以有利于分析为原则，并在图上（5）对于未知的边界反力可先假定一个方向，如解出结果得正值，则作用力方向与假定的相符合；解出结果得负值，则作用力方向与假定的方向相反,求的力为外界对流体的作用力。二、动量方程的应用（2）.选取适当的坐标系（3）.对控制体内的流体进行受力分析①考虑重力G（水平放置的管路不考虑：与管壁的支撑力相抵消）EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up6(P),1)③边界对液流的作用力RR未知，假设方向求解（4）.速度分析：分量方向（5）.应用动量方程{（1）流体作用于弯管的力一水平转弯的管路。由于液流在弯道改变了流动方向，也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁。因此在设计管道时，在管路拐弯处必须考虑这个作用力，并设法平衡之，动量变化代入方程RRRx（2）射流的背压(反推力)容器在液面下深度等于h处有一比液面面积微小得多的出流孔，其面积为A。在出流孔微小的前提下，假使只就一段很短的时间来看，那出流过程就可以当作近似的稳定流动。FPQV-0•这一瞬刻在容器内的流体，它在水平方向的动量变化将决定于单位的时间内内容器流出•这一动量变化当然在大小、方向、位置恰等于器壁在水平方向加在流体上的压力合力。流动流体则反过来对容器壁上作用一个方向与出流速度相反的水平反推力，即（3）自由射流对挡板的压力（水平）射流从喷咀以速度冲向挡板，射流冲击挡板后将沿挡板表面分成两股射流，速度分别受力分析：Rx12RRx1一个水平放置的90º弯管输送水p不计水头损失求：水流对弯管的作用力大小和方向pV2pV2EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up12(P),2)设R为弯管对水流的作用力，与水平方向的夹角为θ,方向如图对选取的控制体列动量方程：pAR-y-R=PQ(0-V)p2A2=PQ(V2-0)xyxyR Rx所以，水流对弯管壁的作用力为R的反作用力R`，大小相等，方向相反。第一节流动阻力产生的原因及分类1、湿周：管子断面上流体与固体壁接触的边界周长。以x表示。单位：米2、水力半径：断面面积和湿周之比。x单位：米π3、绝对粗糙度：壁面上粗糙突起的高度。4、平均粗糙度：壁面上粗糙颗粒的平均高度或突起高度的平均值。以Δ表示。5、相对粗糙度：Δ/D（D——管径）。二、阻力产生的原因水力半径R，与阻力成反比。R↑,阻力↓（c）管长。与hf成正比。L↑,阻力↑流体在流动中永远存在质点的摩擦和撞击现象，流体质点由于相互摩擦所表现出的粘性，以及质点撞击引起速度变化所表现出的惯性，才是流动阻力产生的根本原因。沿程阻力：粘性造成的摩擦阻力和惯性造成的能量消耗。局部阻力：液流中流速重新分布，旋涡中粘性力做功和质点碰撞产生动量交换。三、阻力的分类（1）沿程阻力：沿着管路直管段所产生的阻力（管路直径不变，计算公式不变）（2）沿程水头损失：克服沿程阻力所消耗的能量f＝hf1+hf2+h2、局部阻力与局部阻力损失（1）局部阻力：液流流经局部装置时所产生的阻力。第二节两种流态及转化标准——流态转化演示实验：雷诺实验结果a）速度小时，色液直线前进，质点做直线运动——层流（b）速度较大时，色液颤动，质点做曲线运动——过渡区（c）速度大时，色液不连续，向四周紊乱扩散，质点做无规则运动——紊流（湍流）由此得出以下三个概念：层流、紊流、过渡状态流体质点平行向前推进，各层之间无掺混。主要以粘性力为主，表现为质点的摩擦和变形。为第一种流动状态。层流、紊流之间有短暂的过渡状态。为第二种流动状态。单个流体质点无规则的运动，不断掺混、碰撞，整体以平均速度向前推进。主要以惯性力为主，表现为质点的撞击和混掺，为第三种流动状态。二、沿程水头损失与流速的关系实验方法：在实验管路-A、B两点装测压管测压降，用实测流量求流速。p)2A实验数据处理：把实验点描在双对数坐标纸上（3）.实验还证明，不能用临界速度作为判别流态的标准，因为由层流到紊流变化时的V和由紊流到层流转化时的Vcdown不同，且有Vcup>Vcdown（4）.流动介质变化时，V也不同，由此得出，V不能作为判别流态的标准。1、雷诺实验中所发生的现象与下列因素有关，流体密度ρ,粘性系数μ,平均流速V，管流动现象＝f(ρVD/μ)=f（Re）即流动现象只与雷诺数Re有关。对于圆管，雷诺数V——管内流速d——管径μ——粘性系数式中L为特征长度，对于圆管，L＝d。3、单位：无量纲数流体平衡微分方程式：Xi-——理想/实际、可压/不可压、绝对静止/相对静止理想流体运动微分方程式：Xi-——只适用于理想流体实际流体与理想流体的区别在于存在着粘性力，因此，在推导粘性流体运动方程时要考虑粘性表面力理想流体实际流体粘性无有法向应力yny切向应力变形不变形变形微小六面体表面受力个数（1）取研究对象：微元体从运动着的流体中取出一块微小的长方体ABCDEFGH设长方体：中心点压强：p；粘性应力：τA、质量力单位质量流体所受的质量力在三个坐标轴方向的分量为：X，Y，Z.B、表面力：表面力有两部分。①由压强形成的压力，单位质量流体所受的压力在三个坐标方向的分量分别②流体的粘滞力而引起的流体间的相互作用力，此粘滞力在每个面上有三个分量。则得其中，第一个下脚标表示作用面的法线方向第二个下脚标表示应力方向法向力以拉力为正面面正应力切向应力EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2147483647(xx),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up10(dx),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up10(dx),2)xyEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up10(dx),2)+zy2+zx+zz则单位质量流体所受的粘滞应力在x轴方向投影之和为：x(τ),(x2xx2对于不可压流体——此式为单位质量流体所受的粘滞力在x方向的分量。于是根据牛顿第二定律，对于单位质量流体，在各坐标方向上各作用力的投影之和应等于此流体在各个坐标方向上的惯性分力。则有：1、对于理想流体ν=0，(6)式变成Eulerian运动微分方程式。3、适用条件：不可压缩流体方程求解是一个复杂问题，大部分情况下不能求解。平行平板间流体层流同心圆环间流体层流5、方程物理意义：单位质量的流体所受质量力、压力、粘性力（包括粘性切向力和粘性附加法向力）在各坐标轴上的分力之代数和等于加速度分量。由于流体流动十分复杂，至今对一些工程中的复杂流动问题，仍不能完全依靠理论分析实验资料的数据分析则要应用因次（量纲）分析。（1）单位：量度各种物理量数值大小的标准。基本单位：相互独立、不能互换的单位。导出单位：由基本单位根据物理方程或定义而导出的单位。（2）因次：即量纲，是标志性质不同的各类物理量的符号。如长度因次用[L]表示。（3）基本因次：某种单位制中基本单位对应的因次，它具有独立性。如国际单位制：[M]，[L]，[T]能正确反映物理现象的方程，各项的因次必须一致。（1）.物理量因次的推导（2）.检验新建立的公式的正确性（3）.建立物理方程式，求导公式中物理量的指数3、因次分析方法之一——雷利（Rayleigh）法适用于变量等于或少于4个：直接应用因次齐次性原理来分析。例：在圆管层流中，沿壁面的切应力τ0与管径d、流速V及粘性系数µ有关，用量纲分析法导出此关系的一般表达式。解：n＝4，应用雷利法，假设变量之间可能的关系为一简单的指数方程：（k为实验系数）对因次式的指数求解L1＝x＋y－zT2y－z代入函数式得（实验已证实）4、因次分析方法之二——BuckinghamΠ定理（白金汉（1）Π定理适用于：变量多于4个的复杂问题分析。（2）Π定理内容：某一物理过程包含有n个物理量，涉及到m个基本因次，则这个物理现象可由n个物理量组成的n－m个无因次量所表达的关系式来描述，即