《机械基础》课件第3章 构件的内力和强度计算

第3章构件的内力和强度计算3.1强度计算的基本概念3.2内力与截面法3.3杆件的内力图3.4杆件的应力及强度计算习题33.1强度计算的基本概念1.变形固体及其基本假设变形固体指受力后形状、大小发生改变的物体。变形固体有如下的基本假设：

(1)各向同性：物体各个方向的力学性能相同；

(2)均匀连续：物体内被同一种物质充满，没有空隙；

(3)小变形：物体受到外力后产生的变形与物体的原始尺寸相比很小，有时甚至可以忽略不计。

2.强度构件抵抗破坏的能力称为强度。

3.杆件构件某一方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸时称为杆件（见图3－1(a)）。杆件的受力变形有拉伸与压缩、剪切与挤压、扭转、弯曲四种基本形式，图3－1(b)即为杆件的弯曲。图3－1杆件和杆件的弯曲3.2内力与截面法3.2.1截面法的概念杆件的内力指杆件受到外力作用时，其内部产生的保持其形状和大小不变的反作用力。该反作用力随外力的作用而产生，随外力的消失而消失。截面法是求杆件内力的方法。

截面法求内力的步骤：

(1)作一假想截面把杆件切开成两部分（见图3-2（a））；

(2)留下其中的一部分，并在切开处加上假设的内力（如图3-2(b)或图3-2(c)所示）；

(3)以该部分为研究对象列静力平衡方程，求解未知的内力。图3-2截面法求内力3.2.2截面法的应用截面法可用于杆件的拉压、剪切、扭转、弯曲四种情况的截面内力的计算，这四种内力分别称为轴力、剪力、扭矩和弯矩。

【例3-1】

如图3-3(a)所示，杆件在A、B两点受两等值反向共线的力P的作用，求任意截面m-m处的内力（轴力）。

解此杆受两力作用而处于平衡。作假想截面m-m将杆件切开，留下左半段（称为左截），并在截面上加上右半部分在该截面上对左半部分的作用力Nm；沿杆件的轴线取坐标轴x。

列投影方程：∑Fx=0，-P+Nm=0

则

Nm=P

式中，Nm为m-m截面的内力，又称杆件的轴力。轴力与该截面垂直。图3-3例3-1图

注意：①也可留下右半段(称为右截)，所得该截面的轴力Nm′向左（如图3－3(c)所示）。此二内力等值、反向、共线，为一对作用与反作用力。②规定轴力的方向为：轴力离开截面为正，指向截面为负。因此，例3－1中Nm与Nm′均为正。当两力相背时，杆件将伸长，这种变形称为拉伸（见图3－4(a)）；当两力相向时，杆件将缩短，这种变形称为压缩(见图3－4(b))。图3-4拉伸与压缩(a)拉伸；(b)压缩

【例3-2】

一螺栓受到两个等值、反向而互相平行且距离很近的力P、P′的作用(见图4-5(a))，求截面m-m的内力。

解如图3-5(b)所示，作假想截面将螺栓切开。取螺栓的下半部分为研究对象，在截面上加上内力Q，如图4-5（c）所示，列平衡方程：

∑x=0,P-Q=0

则Q=P

式中，Q称为截面上的剪力，在该截面上与截面平行。取螺栓的上半部分为研究对象时，该截面上的剪力Q′向左，Q=Q′。构件的这种受力情况称为剪切。图3－5例3－2图

【例3-3】

一圆形杆件受两个力偶矩相等、转向相反、作用面互相平行且垂直于杆件的轴线的力偶m，m′的作用(见图3-6（a）)，求截面1-1上的内力。

解仍用左截法，留下截面左半段杆件，取坐标轴x(见图3-6(b))。列力偶平衡方程：

∑mx(F)=0，Mn-m=0

则Mn=m

式中，Mn为截面上的内力，实际为一力偶，称为扭矩，单位为N·m。扭矩与截面平行。如采用右截法，则如图3-6(c)所示。图3-6例3-3图注意：①此杆件的截面为圆形，称这类杆件为轴或圆轴。②圆轴受垂直于杆件轴线的力偶作用而平衡，这种受力情况称为扭转。③不论左截还是右截，对截面观察，逆时针转向的扭矩为正，顺时针转向的扭矩为负，即同一截面上两边的扭矩数值相等、转向相反。【例3-4】

如图3-7(a)所示，一水平杆件受A、B两支座支承，杆上受一垂直力P的作用。设杆长L、a、b均已知，求1-1和2-2截面上的内力。

解取杆AB为研究对象，求支座A、B的约束反力（见图3-7（b）），得

作1-1截面，用左截法(如图3-7（c）所示)。设截面形心为O，列平衡方程

∑Fy=0，NA-Q1=0

则

Q1=NA

式中，Q1为截面1-1上的剪力。

剪力的正负：左截时，Q向下为正，向上为负；右截时，Q向上为正，向下为负。观察该图，内力Q1与NA组成了一力偶，则1-1截面上必有一内力偶与之平衡。设截面的内力偶为M1，列力偶平衡方程

∑mo(F)=0，M1-NA×(a-Δ)=0

得M1=NA×a

式中，M1为截面1-1上的内力偶，称为截面1-1上的弯矩，单位为N·m。单位为N·m；Δ为一无穷小量，如图3－7(b)所示。图3-7例3-4图注意：①杆件受到垂直于轴线的力的作用时，其轴线会变弯，这类变形称为弯曲。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。②在一般情况下，梁的任一横截面上的内力包含剪力和弯矩。③弯矩的正负：左截时，M逆时针为正，顺时针为负；右截时，M顺时针为正，逆时针为负。请读者按此法求出2－2截面上的剪力和弯矩。3.3杆件的内力图

由以上例题可以看出，当杆件受到力的作用时，杆件上各段截面的内力不同。为了清楚地反映杆件的内力沿轴线变化的情况而作的图称杆件的内力图。下面分别对杆件在受到拉伸、扭转、弯曲时，横截面的内力图的作法进行介绍。

1.轴力图杆件在受到拉伸(压缩)时，横截面的内力沿杆件轴心线变化的内力图形称为轴力图。

【例3-5】一左端固定的杆件受到三个沿轴线方向的力的作用，P1=15kN，P2=13kN，P3=8kN（见图3-8（a）），求截面1-1、2-2、3-3（见图3-8（b））的内力，并画出内力图。

解

(1）求出固定端反力R=10kN。（2）依前面介绍过的方法，分别求出各截面的内力：作1-1截面（内力图见图3-8(c)），得N1=10kN;

作2-2截面（内力图见图3-8(d)），得N2=-5kN;

作3-3截面（内力图见图3-8(e)），得N3=8kN。(3）定坐标轴N-x，垂直坐标轴N表示内力，单位为kN；水平线为x轴，代表杆件的轴线。

(4）按照正内力在x轴上方，负内力在x轴下方，参照各段内力的大小，分段作表示内力的水平线，即得到反映杆件各段内力的图线（见图3-8(f)）。此图称为轴力图。轴力图清楚地反映出该杆件各段是受到拉伸或是压缩，以及各段内力的大小，比较直观。为多个载荷作用下的拉压杆的强度及变形计算带来很大的方便。图3-8例3-5图

2.扭矩图杆件在受到扭转时，横截面的内力沿杆件轴心线变化的图形称为扭矩图。

【例3-6】

一圆轴受四个力偶作用(见图3-9(a))，m1=110N·m，m2=50N·m，m3=20N·m，m4=30N·m。作轴的(扭矩图)。

解作1-1截面，取其左段研究（见图3-9(b)），设该截面的扭矩为Mn1，有平衡方程:

∑mx(F)=0，Mn1=-110Nm

同理可得截面2-2的扭矩Mn2=-50N·m（见图3-9（c）），截面3-3的扭矩Mn3=-30N·m。由以上各截面的扭矩可作出圆轴的内力图。图3-9例3-6图

3.弯矩图与剪力图杆件在受到弯曲时，横截面的剪力和弯矩沿杆件轴心线变化的图形分别称为剪力图与弯矩图。

【例3-7】已知一水平梁两端由铰链支承（称简支梁），受力P=12kN（见图3-10(a)）。作梁的内力图。

解

(1）先求出两支点的反力，作梁的受力图（见图4-10（b））。∑Fx=0∑mA(F)=0，P×2-NB×3=0∑y=0，NA+NB-P=0NA=P-NB=12-8=4kN

(2）作1-1截面，距A点为x1(见图3-10(b))，并留下截面的左段。此时，右段对左段的作用相当于固定端。在截面上加上内力Q1和M1（均假设为正向，见图3-10（c）），列平衡方程：

∑Fy=0

得截面1-1的剪力

Q1=NA=4kN

以梁的轴线为x轴，剪力Q的值为垂直坐标轴，则在A-C段，剪力的图线为一水平线，在x轴的上方，并与x轴平行。根据∑mC(F)=0可得截面1－1的弯矩为

M1(x)=NAx

可见为一随截面位置而变化的一次函数，在图线上是一斜直线。以梁的轴线为x轴，弯矩M的值为垂直坐标轴，则当x1=0时，M1=0;

当x1=2m时，M1=NA×2=4×2=8kN·m。由以上两点可画出梁A-C段的弯矩图线。图3-10例3-7图

（3）作截面2-2，距A点为x2，留下截面的左段。在截面上加上内力Q2和M2（均假设为正向，见图3-10(d)），列平衡方程：∑Fy=0

得截面2-2的剪力

Q2=NA-P=4-12=-8kN

则C-B段的剪力图线为一水平线，在x轴的下方。A-C、C-B两段图线反映出水平梁各个横截面的剪力的情况，称为剪力图（见图3-10(e)）。再列力矩平衡方程：

∑mC(F)=0，M2-NAx2+P(x-2)=0

M2=NAx-P(x-2)=4x2-12(x2-2)=24-8x2由上式可以看出，该段弯矩图线也为一斜直线：当x=2m时，M2=MC=24-8×2=8kNm；当x=3m时，M2=MB=0。由此可以绘出C-B段的弯矩图线。连同已绘出的A-C段弯矩图线称为梁的弯矩图，如图3-10(f)所示。

【例3-8】水平梁在C处受力偶m的作用（见图3-11(a)），设L、a、b均已知，求作梁的弯矩图。

解

(1）先求出两支座反力：NA=NB=m/L（见图3-11(b)，注意NA的方向）。

(2）求剪力和弯矩。在A-C段距A点x1处作1-1截面，取左段，在截面上加上内力Q1、M1（见图3-11(c)），列平衡方程：

∑Fy=0，-NA-Q1=0

则

剪力为一常数，其图线应为一水平线，在x轴的下方，并与x轴平行（见图3-11(e)）。再列力矩平衡方程：

∑mC(F)=0，NAx1+M1=0M1=-NAx1

可见弯矩图线为一斜直线。当x=0时，M1=MA=0;

当x1=a-Δ时（Δ为无穷小量），M1=-NA(a-Δ)=-ma/L。可绘出该段弯矩图线（见图3-11(f)）。图3－11例3－8图(3）在C-B段距A点x2处作2-2截面，并加上内力Q2、M2（见图3-11(d)），列平衡方程：

∑Fy=0，-NA-Q2=0其图线与左段相同。

再列力矩平衡方程：

∑mC(F)=0，NAx-m+M2=0

可见其图线仍为一直线。当x2=a+Δ时，当x2=L时，由以上两点可绘出C-B段的弯矩图线（见图3-11（f））。3.4杆件的应力及强度计算

3.4.1杆件应力的概念求出杆件的内力后，一般还不能判断杆件是否易被破坏。如当两个受拉伸的杆件的内力相同时，杆件粗的就不容易破坏，显然这与杆件的横截面面积有关。因此，要判断杆件在外力作用下是否破坏，不仅要知道内力的大小，还要知道内力在杆件横截面上的分布规律及分布的密集程度。从而就引出了应力的概念。

取截面上的微面积ΔA，其上作用的内力的合力为ΔP（见图3－12（a）），则ΔP/ΔA称为微面积ΔA上的平均应力，用pm表示，即

当ΔA趋于无穷小时，则得该点的应力p。p为一矢量，可分解成垂直于截面的分量σ和切于截面的分量τ(见图3-12(b))。σ称截面上的正应力，τ称为截面上的剪应力。杆件变形不同，其截面上的应力的性质和分布也不同,其截面上的应力的性质和分布也不同，一般分为拉应力、扭转应力、弯曲应力等。图3－12杆件截面的应力

3.4.2杆件的强度计算

1.拉伸与压缩强度计算拉伸强度条件

其中：N——横截面上的轴力，单位为N；

A——横截面的面积，单位为m2；［σl］——杆件材料的许用拉伸应力，单位为MPa；σ——杆件横截面上的实际工作应力，单位为MPa。压缩强度条件其中：N、A同上;

［σy］——杆件材料的许用压缩应力，单位为MPa；

σ——杆件横截面上的实际工作应力，单位为MPa。［σl］、［σy］均由实验得出。【例3-9】图3-13(a)中的起重机由斜杆BC与横梁AB组成。斜杆直径d=55mm，材料为锻钢，其许用应力［σ］=200MPa，最大吊重W=50kN，α=20°。试校核斜杆的强度。

解取销钉B为研究对象，画出其受力图（见图3－13(b)）。求出两杆的内力：校核强度故斜杆强度足够。图3-13例3-9图【例3-10】冷镦机的曲柄滑块机构如图3-14所示。锻压时，连杆接近水平位置，承受锻压力P=1100kN，连杆截面为矩形，高宽比为h/b=1.4，材料的许用应力［σ］=58MPa。试确定截面尺寸h和b。

解此时的锻压力即为连杆所受的轴向力（压力），由强度计算公式可得截面面积的计算式为代入各值,得而A=h×b=1.4b2

即1.4b2=189cm2

得b=11.64cm，h=16.3cm图3-14例3-10图

2.剪切与挤压强度计算剪切强度条件：式中:

τ——构件剪切面的实际剪切应力，单位为MPa；Q——构件横截面上的剪力，单位为N；A——剪切面面积，单位为m

2；［τ］——材料的许用剪切应力，单位为MPa。

挤压强度条件：式中:

σjy——构件受挤面的实际挤压应力，单位为MPa；

Pjy——构件受挤面的挤压力，单位为N；

Ajy——实用挤压面面积，单位为m2；［σjy］——材料的许用挤压应力，单位为MPa。

【例3-11】如图3-15(a)所示的拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度δ=8mm，销钉材料的许用剪切应力［τ］=60MPa，许用挤压应力［σjy］=100MPa，拖力P=15kN。试设计销钉的直径d。图3-15例3-11图

解(1)

按剪切强度计算。销钉受力图如图3-15(b)所示。销钉有两个剪切面，用截面法将销钉沿剪切面截开（见图3-15(c)），以销钉中段为研究对象，由静力平衡条件可得每一截面上的剪力销钉受剪面积剪切强度计算公式得销钉直径(2）按销钉挤压强度计算。此时，挤压力Pjy=P/2，实用挤压面积为A=dδ,得【例3-12】一齿轮通过平键与轴连接（见图3-16（a））。已知轴传递的力偶矩mO=1.5kNm，轴的直径d=100mm，键的尺寸：宽b=28mm，高h=16mm，长L=42mm。键材料的许用剪切应力［τ］=40MPa，许用挤压应力［σjy］=100MPa。校核键的强度。图3-16例3-12图

解（1）校核键的剪切强度。沿键的剪切面m-m将键截开，以键的下部分和轴一起作为研究对象（见图3-16(c)），设剪切面上的剪力为Q，有如下平衡方程:得键的剪切面积为A=bl=28×42=1176mm2

由剪切强度条件得(2）按挤压强度校核。由图3-16（c），得挤压力

Pjy=Q=30kN

键与轴的接触面为平面，则挤压面即为该平面，挤压面积由挤压强度条件得3.圆轴扭转强度计算扭转强度条件式中:τ——横截面上的实际扭转剪应力，单位为MPa；［τ］——轴材料的许用扭转剪应力，单位为MPa。Mn——横截面上的扭矩，单位为N·m；Wn——横截面的抗扭截面模量，单位为m3。当轴的直径为D时，对于空心轴，当外径为D、内径为d时，其中，【例3-13】一汽车传动轴由无缝钢管制成，其外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，材料为45号钢，许用剪应力［τ］=60MPa，工作时的最大外力偶矩M=1.5kNm。求:(1)校核轴的强度；(2）将轴改成实心轴，计算相同条件下轴的直径；(3）比较实心轴与空心轴的重量。

解（1）校核轴的强度。轴受的扭矩（2）计算实心轴的直径。实心轴与空心轴的强度相同，两轴的抗扭截面模量应相等。设实心轴的直径为D1，则其抗扭截面模量为Wn1，有即（3）比较实心轴与空心轴的重量。由于两轴长度相等，材料相同，两者重量比即为横截面面积之比。设实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积为故两相比较，空心轴省材料。【例3-14】一传动轴受力情况如图3-17(a)所示，已知材料的许用剪应力［τ］=40MPa，设计轴的直径。图3－17例3－14图

解作轴的扭矩图（见图3－17（b））。设轴的直径为d，按轴的强度条件得取轴径d=53mm。

4.杆件的弯曲强度计算以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。梁的弯曲正应力强度条件式中:σ——梁的横截面上的正应力，单位为MPa；Mmax——梁的最大弯矩，单位为N·

m；WZ——梁的抗弯截面模量，单位为m3,按下式计算。