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第一章函数与极限1第四节无穷小与无穷大一、无穷小的概念三、无穷大的概念五、无穷小与极限的关系二、无穷小的运算性质四、无穷小与无穷大的关系2当定义.

若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;数列时为无穷小。为时的无穷小.一、无穷小的概念?无穷小是一个很小的数吗？无穷小是比任意一个数都小的量吗？3.在某极限过程中，两个无穷小量之和仍是一个无穷小.可推广至有限个情形定理五、无穷小的运算性质例如：说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!5推论1.常数与无穷小量之积仍为无穷小量.推论2.有限个无穷小量之积仍为无穷小量.定理在某一极限过程中，无穷小与有界量的积仍是一个无穷小量.例如：6例1.

求解:

利用定理2可知说明:

y=0是的渐近线.7注意：

我们没有讨论两个无穷小的商的情形，因为这一情形较复杂，将在以后专门讨论.例如：不是无穷小量.是无穷小量；是无穷大量；8定义

.若任给M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在三、无穷大9例2.10证明证:任给正数M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:例3.11例4.证:要取故12注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!注意：不要混淆无穷大与无界变量两个概念！13例5.解:但是该数列无界.14四、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.在自变量的同一变化过程中,说明:定理当时为无穷小.15?1.两个无穷大的和（差）仍是无穷大吗？2.无穷大与有界变量的积仍是无穷大吗？考虑:16五、无穷小与极限的关系其中

为时的无穷小量.证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.定理17小结无穷小的定义无穷大的定义无穷小与极限的关系无穷小的运算性质无穷

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