2024学年天水市一中高一数学上学期期末模拟考试卷及答案解析

学年天水市一中高一数学上学期期末模拟考试卷一、单选题（本大题共12小题）1．设集合，下列说法正确的是（

）A．B．C． D．2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则的取值范围是（

）A．B．C． D．3．设A、B、C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知函数，其中表示不超过的最大整数.设，定义函数，，则下列说法正确的有（

）个①的定义域为；②设，则；③；④若集合，则中至少含有8个元素.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知定义在上的函数满足：对任意实数，均有，则下列结论中，错误的是（

）A．存在使且B．可能为常数函数C．若，则D．若，且时，，则解集为6．已知，则下列正确的是（

）A． B．C． D．以上均不正确7．函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于（

）A． B． C． D．8．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（

）A．9 B．1 C． D．39．定义在上的奇函数满足，当时，，设，则（

）A． B．C． D．10．已知函数，在0,+∞上有个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．11．定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数的最小值为（

）.A． B． C．6 D．712．已知函数，下列命题中错误的是（

）A．，使得是偶函数 B．，都不是R上的单调函数C．，使得有三个零点 D．若的最小值是，则二、多选题（本大题共6小题）13．已知函数和实数，，则下列说法正确的是（

）A．定义在上的函数恒有，则当时，函数的图象有对称轴B．定义在上的函数恒有，则当时，函数具有周期性C．若，，，则，恒成立D．若，，，且的4个不同的零点分别为，且，则14．已知锐角满足，设，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．15．，，非常数函数都有，则下列结论正确的是（

）A． B．若，是偶函数C．若，则 D．的值不可能是16．已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（

）A． B．0 C． D．117．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对所有的、，有；②、、，有；③，使得，有，称为单位元；④，，使，称与互为逆元．则称关于“”构成一个群．则下列说法正确的有（

）A．关于数的乘法构成群B．实数集R关于数的加法构成群C．关于数的乘法构成群D．关于数的加法构成群18．若满足对任意的实数都有，且，则下列判断正确的有（

）A．是奇函数B．在定义域上单调递增C．当时，函数D．三、填空题（本大题共3小题）19．已知函数，则下列四组关于的函数关系：①；②；③；④，其中能使得函数取相同最大值的函数关系为.20．已知（其中为自然对数的底数），若在上有三个不同的零点，则的取值范围是.21．已知函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）22．已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意､，若函数为定义在上的一次函数，则.(1)若，均在集合中，求证：函数；(2)若函数在集合中，求实数的取值范围；(3)若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有.23．设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，记.(1)当时，若，求和的值；(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.24．设对集合上的任意两相异实数，若恒成立，则称在上优于；若恒成立，则称在上严格优于.(1)设在上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性；(2)若在上严格优于，若是上的增函数，求证：在上也是增函数；(3)设函数，若，是否存在实数使得在上优于，若存在，求实数的最大值；若不存在，请说明理由.25．定义，中元素称为奇函数；，中元素称为奇函数；，中元素称为双偶函数.例如：，，(1)在下面横线上填下列词的一个：“真包含”“真包含于”“相等”，___________，并说明理由；(2)若所有项系数均为正数的多项式函数，满足，且，则可以找到关于的多项式函数，使得当，时，，且等号当时取到，求这样的；(3)证明：对任何函数，均可得到如下分解：，其中为奇函数，为奇函数，为双偶函数.26．排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和乱序和顺序和”.当且仅当或时，反序和等于顺序和.(1)设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过___________.(2)设是个互不相同的正整数，求证：.(3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？

参考答案1．【答案】D【详解】对于集合，因为与互为反函数，所以其图象互相关于对称，因为，所以有解，因为，所以，所以有解，所以，设，得，所以单调递增；单调递减，所以，故，所以；对于集合，化简得，设，因为，可设，单调递减，又，所以当时，单调递减，利用洛必达法则，时，，所以，所以；由于，所以D正确故选：D2．【答案】C【详解】由题意时，，当时，；当时，；当时，，又因为函数为定义在R上的奇函数，则，；；.即得函数解析式为：由此作出函数图象如图所示：由题意x∈R时，恒成立，即得函数的图象恒在函数y=fx的图象下方，则由图象需使，解得，即的取值范围为.故选：C.3．【答案】B【详解】由已知条件及三角函数诱导公式得：所以函数，的周期,在同一直角坐标系中作出函数，的图像，如图所示：因为A、B、C为连续三交点，(不妨设B在x轴下方)，D为AC的中点，由对称性知，是以AC为底边的等腰三角形，所以,由展开整理得：，又，所以，设点A、B的纵坐标分别为，则，即,要使为锐角三角形，则，又，所以当且仅当时满足要求，此时，解得，所以的取值范围是.故选：B.4．【答案】C【详解】①因，由，可得，当时，则由可得，所以；当时，则由恒成立，所以；当时，成立，所以符合.因此函数定义域为，故①正确；②由题意，由可得，即；又由可得，即；又由可得，即.因此,故②正确；③由，可得即，则，则，故③错误；④由上分析可知：为中的元素，又，则中至少含有8个元素，即④正确.综上所述，有①②④共3个正确说法.故选：C.5．【答案】A【详解】对于A，假设存在使且，则必有,而对任意的，若取，则，显然产生矛盾，故假设不成立，即A错误；对于B，由A可得恒成立，若存在使，则，此时，，故B正确；对于C，令，则有，因，故得，即，故C正确；对于D，由展开整理得，，任取，，则，依题意，，又由上分析，因知函数不是常数函数，则必有恒成立，于是由，则得，即为R上的增函数.因，则，即得，于是等价于，设，则得，解得或，即得或，又，由C项知，，因为R上的增函数，可得或，即不等式解集为,故D正确.故选：A.6．【答案】A【详解】有题意知，，因为幂函数中，函数在上单调递增，因为，所以，即，同理，对于分别取对数得，不妨设，则，其中，易得，则，综上所述，.故选：A7．【答案】D【详解】函数在上为非减函数，①，③，令，得；令，得.又②.令，得.令，得；令，得.当时，都有，..故选：D8．【答案】B【详解】，，又均为正实数，（当且仅当时取“），，此时.，，当且仅当时取得，满足题意.的最大值为1.故选：B.9．【答案】A【详解】因为是在上的奇函数，所以，故，所以，，，当时，，则在上单调递增，又因为，所以，即，因为，所以，则，故，又因为，所以，故，所以，故，综上：，所以，即，故，因为，则，所以，即，综上：.故选：A.10．【答案】D【详解】因为函数在0,+∞上有个不同的零点，所以，关于的方程在0,+∞上有个不同的实数根，作出函数的图象如下图所示：函数的图象恒过点，当时，函数的图象与轴的交点为，①当时，即当时，函数与的图象在0,+∞上仅有个不同的交点，如下图所示：②当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示：③当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示：④当时，即当时，函数与的图象在0,+∞上有个交点，如下图所示：⑤当时，要使得函数与的图象在0,+∞上有个交点，则与的图象在0,+∞上有个交点，则与函数在上的图象有两个交点，即方程在上有两个不等的实根，设，则在上有两个零点，可得，解得，此时.且与的图象在上有一个交点，则，解得.由上可知，；⑥当时，，如下图所示：直线与函数在0,+∞上的图象有三个交点.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.11．【答案】B【详解】，由，得，即，当时，，不等式为，则，其区间长度为；当时，，不等式为，无解；当时，，不等式为，无解；当时，，不等式为，无解；当时，，不等式为，无解；当时，，不等式为，则，其区间长度为；当时，，不等式为，则，其区间长度为；当时，，不等式为，则，其区间长度为；因此当时，不等式的解集为，而，于是当时，不等式解集的区间长度为，所以实数的最小值为.故选：B12．【答案】D【分析】A选项，可举出时，是偶函数；B选项，得到在分段处函数值相等，结合分段函数的开口方向，对称轴，得到结论；C选项，可举出时，满足要求；D选项，分类讨论得到若的最小值是，则，D错误.【详解】当时，，定义域为R，且，故此时为偶函数，A正确；当时，，开口向上，对称轴为，当时，，开口向上，对称轴为，即，且，，即在分段处函数值相等，由于的对称轴在的对称轴的左侧，故，都不是R上的单调函数，B正确；当时，，若，即时，当时，令，解得：，当时，令，解得：，均符合要求，综上：此时函数有3个零点，故C正确；由B选项可知的最小值在或处取到，，当时，函数最小值在处取到，由，解得：（舍）或1，故满足题意；当时，函数最小值在处取到，由，解得：或2（舍），故满足题意，当时，函数最小值在或处取到，由于此时恒成立，恒成立，故都不合要求，舍去；综上：若的最小值是，则，D错误.故选：D【点睛】二次函数相关知识点总结，对称轴为，顶点坐标为，若，二次函数与轴有两个交点，若，二次函数与轴有1个交点，若，二次函数与轴有0个交点.13．【答案】ACD【分析】根据函数的对称性和周期性可分别判断AB；求出时的解析式，然后根据自变量范围代入相应表达式解不等式即可判断C；将问题转化为直线与函数有四个交点，结合图象求得四根的关系即可判断D.【详解】对于A，若，则，所以函数的图象的对称轴为直线，故A正确.对于B，当时，.若，则，函数不具有周期性，故B错误.对于C，若，，则，当时，，则，即当时，.当时，，所以，所以恒成立，C正确.对于D，当时，，则，令，作出函数的图象和直线，如图.要使有4个不同的零点，则函数的图象与直线有4个不同的交点.又，则，所以，，所以，，则，所以，D正确.故选ACD.【方法总结】关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析求解即可.14．【答案】ABC【详解】因为为锐角，若，则，，则，同理，与矛盾，所以，A项正确；所以，所以，B项正确；同理可得，，所以，所以是减函数，所以正确；错误.故选：ABC.15．【答案】ABC【详解】由条件①，对于A，取，有即（*），若，则为常数，与题意矛盾，即，故A正确；对于B，由A项已得，代入（*），可得，在①式中，取，有②，再取，有，可得，则有或.因，故，代入②式，可得，用替换，即得，故为偶函数，即B正确；对于C，若，在①式中取，可得则有，由B项知为偶函数，在①式中，取，有，即③，再取，有即，用替换，即得④，由③④，易得，即，由上已得，，，，依次代入，可得，，故C正确；对于D，取，因，而，即符合①式，此时，故D错误.故选：ABC.16．【答案】ABC【详解】由题意得为奇函数，则为偶函数，；将代入到得：，与原式联立可得：，又因为等价于，整理得，令，则在为单调递减，对任意的、且，则，则，，所以，，可得，故.故选：ABC.17．【答案】ABD【详解】对A，对所有的，有，且满足乘法结合律；，使得，有；，有，故A正确.对B，若，，有，满足加法结合律；当时，满足③；，使，即④成立，故B正确.对C，因为，且，但，故C错误.对D，，可设，则，则G满足加法结合律，即，有；，使得，有；，，，使得，故D正确.故选：ABD.18．【答案】BD【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出判断A；先利用证明所有有理数，有，然后用任意无理数都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得，这样可判断C，由此再根据单调性定义判断B，根据定义计算（），然后求得D中的和，从而判断D．【详解】对于选项A，令，则，即，，不可能是奇函数，选项A不正确；证明，对于任意，.假设存在，使得，则，与矛盾，故对于任意，，所以对于任意，，因为，所以对任意正整数，，所以，同理，对任意正有理数，显然有（是互质的正整数），则，对任意正无理数，可得看作是某个有理数列的极限，而，，所以与的极限，所以，综上对所有正实数，有，选项C不正确，设，则，所以，则，所以在定义域上是增函数，选项B正确；由已知，所以，所以，选项D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解函数新定义，利用函数奇偶性的判断和函数单调性的证明即可判断AB选项.19．【答案】①②④【详解】依题意，令，当取得最小值时，取得最大值.（1）当时，.（2）当时：由（1）去分母并化简得，此方程有解，故，整理得，此一元二次不等式有解，所以，整理得，即，解得.综上所述，所以的最小值为.由，化简得，即，所以.即当时，取得最小值，取得最大值.将点代入①②③④进行验证：①，符合；②，符合；③，不符合；④，符合.所以点满足①②④，不满足③.故答案为：①②④20．【答案】【详解】（1）当时，，当时，由，可得，当时，由，可得.（2）当时，，当时，由，可得无解，当时，由，可得，因为在上有三个不同的零点，所以，解得，故答案为：.21．【答案】【详解】如图，作出函数的图象，由，令，由图知，当时，方程有个不同的解，当时，方程有个解，令，则，即，即，如图所示，作出函数的图象，函数恒过定点，当函数的图象只有一个交点时，即，即只有一个解，则，解得（舍去）当时，由图知函数的图象只有一个交点，即方程有且仅有一个根，且这个根在上，所以方程有个不同的解，即函数有两个零点，所以符合题意；当时，由图知函数的图象有个交点，即方程有个根，且一个在上，一个为，所以方程有个不同的解，即函数有两个零点，所以不符合题意；当时，由图知函数的图象有个交点，即方程有个根，且一个在上，另外两个在上，所以方程有个不同的解，即函数有两个零点，所以不符合题意；当时，方程没有正数根，此时令，则，当时，方程无解，所以方程无解，即函数没有零点，所以不符合题意；当时，，（1）当时，，即方程的解为，所以方程有个不同的解，即函数有两个零点，所以符合题意；（2）当时，，则由，得，则，所以方程有个不同的解，即函数有两个零点，所以符合题意；（3）当时，，则由，得，则，所以方程只有个解，即函数有个零点，故符合题意；（4）当时，，则由，得，则，所以方程有个不同的解，即函数有个零点，故不符题意，综上所述，a的取值范围是.故答案为：.22．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【详解】（1）由，根据性质①可得，且数形结合可知，存在，使得，由，且为一次函数，根据性质③可得：，综上，；（2）由性质②，方程，即在上有解，，由，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，若时，，且，根据反函数的性质，有，即对于反函数，对一个自变量，有两个函数值与其对应，不满足函数定义，即没有反函数，即不满足性质①；若时，函数在上单调递增，此时有反函数，即满足性质①.综上：.（3）任取，由性质①，若，此时不存在反函数，若，根据性质②，需满足有解，则必有，同理，若，则必有，即此时，显然满足存在相同的满足：，接下来讨论，由性质③，函数，，由性质①，的反函数，由性质③：，由性质②方程：，，即，令，可得，令，可得，由此可知：对于任意两个函数，存在相同的满足：，存在一个实数，使得对一切，均有.23．【答案】(1)2，1(2)最大值为4(3)，理由见解析【详解】（1），；（2）考虑数对相应的分别为，所以中的每个元素应有奇数个，所以的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：，，对于任意两个只有个的元素都满足是偶数，所以集合满足题意，假设中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素，则互补元素中含有1个1的元素与之满足不合题意，故中元素个数的最大值为4.（3），此时中有个元素，下证其为最大.对于任意两个不同的元素满足，则中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以