2024年1月中学生标准学术能力诊断性测试数学卷附答案解析

2024年1月中学生标准学术能力诊断性测试数学卷

本试卷共150分，考试时间120分钟.2024.1

一、单项共选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知，"GR,集合A=卜〃T2},'=忖|。*"},若C=且C的所有元素和为12,则〃?=（）

A.-3B.0C.1D.2

2.已知数列{““}满足q=向出，则凡=（）

2121

A.2"-"B.FC.2"+1D.2T

3.兔数z满足G+2）i=l-i（i为虚数单位），则z的共辑堂数的虚部是（）

A.-3B.IC.iD.-i

4.在直三棱柱ABC-AUG中，所有校长均为1,则点A到平面的距离为（）

叵叵叵M

A.7B.5c.6D.4

5.设（l+2x）”二旬+囚工+/“/++a”x",若。$=4,则n=［）

A.6B.7C.8D.9

6.若不等式-4x+5+J?一己+17«4的解集为m，句,则。+〃的值是（）

A.5B.4万c.6D.7

a=e2,Z>=—ln2,c=15-51n5

7.已知2,则（）

A.a>b>cB.b>c>ac.ci>c>bD.b>a>c

x,y>0,x3+y3—x—y=3

8.已知44，则⑶1O+丁的最大值是（）

A.15B.18C.20D.24

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得。分.

9.设以尸，7为互不重合的平面，机，〃为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）

A若a〃片?〃y,则。〃£B.若ac尸=〃?,w_L7,则aJ.7,/?，/

若,则则a〃夕

C.m//a,n//p,m//na//pD.若aLy.pLyy

工—2T

10.已知点夕为双曲线一上的任意一点，过点月作渐近线的垂线，垂足分别为反/，则（）

阀+网=华附卜归尸

A.3B.

8

PEPF=-—

C.25D.4「卬的最大值为25

11.直线4：心+分+c=。和仆以+①+叱。将圆Udf+U-1)2=1分成长度相等的四段弧，则

(“-1)2+(力-1)2+(。-1)2的取值可以是()

48

--

32C33

A.B.D.

12.已知sin2a+sin2£=2sin(2a+2〃)，口0+万工阮从金工，则出11。+21@"二+")+3311〃的值可能为

()

A.-6B.-5c.50D.8

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设函数/(X)的定义域为RJ(")为偶函数，4+2)-1为奇函数，当天«2,4］时，f(x)=a\og2x+bf

若〃。)+/⑹=4,则0+处=

厂,y」2

U.已知是椭圆.7+后―”>>的左、右焦点，尸是0上一点，线段^的中垂线/过点反

\AB\=-a

与椭圆C相交于48两点，且।।5,则椭圆°的离心率为

15.已知函数g(“)的图象与函数〃x)=e'—"的图象关于原点对称，动直线与函数

/(x)，g(M的图象分别交于点AB,函数/(%)的图象在A处的切线4与函数g(”的图象在B处的切线4

相交于点°,则/8c面积的最小值是

16.对任意的xwR,不等式(~7X+14)之g2―6%+吼/―8工+17)恒成立，则实数阳的取值范围

为.

匹、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

fIS?=a(S

17.数列的前〃项和为3间=L当〃之2时，"A02人

1

»

⑴求证：数列1sj是等差数列，并求S”的表达式；

h=n\_2

⑵设"一左R,数列间的前"项和为乙，不等式9*/-3的+〃对所有的.恒成立，求正整数〃?

2

的最小值.

，八ZBAD=-ZDAC

18.如图所示，在ABC中，A3=1,O是8c上的点，2

N8AC=------------=>/5

⑴若2,求证：AOAC；

BD=-DC

⑵若4,求面积的最大值.

19.如图所示，一只蚂蚁从正方为的顶点A出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个

顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚊沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为％,沿正方

2

体的侧棱爬行的概率为5.

⑴若蚂蚁爬行〃次，求蚂蚁在下底面顶点的概率;

⑵若蚂蚁爬行5次，记它在顶点°出现的次数为X,求X的分布列与数学期望.

20.如图所示，已知48c是以8c为斜边的等腰直角三角形，点M是边A8的中点，点N在边8c上,

口BN=3NC.以MN为折痕将ABMN折起，使点B到达点。的位置，且平面血肥，平面ABC,连接

DADC

⑴若E是线段OM的中点，求证：NE〃平面DAC；

⑵求二面角O-AC-8的余弦值.

3

21.如图所示，己知抛物线）'=*-LM（O,1）,A,8是抛物线与x轴的交点，过点M作斜率不为零的直线/

与抛物线交于CD两点，与X轴交于点Q,直线AC与直线8。交于点尸.

⑴求lCDl的取值范围；

⑵问在平面内是否存在一定点丁，使得7Pk2为定值？若存在，求出点下的坐标；若不存在，请说明理

由.

22.已知函数/"一4+*a有两个零点/大2a<W）.

⑴求实数。的取值范围；

⑵求证：%々<1；

⑶求证：占-%<"2-4<4一片.

1.A

【分析】先确定集合8中可能的元素，根据两集合中元素的和求出，”的值，再根据集合中元素的互异性

取值.

【详解】集合8中的元素可能为：机2,1,4

因为加工一1,〃?工2.

若〃z=l,则A={I2},B={1,4},则C={1,T,2,4},元素和不为⑵

若〃?=-2,贝产{々T2},5={1,4},则。={-2,-1,2,4},元素和不为⑵

兰'"土1,±2时，C={九-1,2,诡1,4},因为C中所有的元素和为12.

所以〃『+〃?=6,解得〃?二-3或〃?=2（舍去）.

综上：加二-3.

故选：A

2.D

4

【分析】对%一矶=2"%《,+响时除以。必.何得。川%再由累加法求解即可得出答案.

【详解】若〃尸°,则％一.向=°,则%=%=°,

这与％=1矛盾，所以勺+尸°,

对外一%=2”的用同时除以。"%+],

--I----」=z--I--I--=2叱--1-----।-=_-，

aaCla

所以。”+14,则nn-\,n-\n-2

-----=2

......,生4,

上面的n-l式子相加可得：

—=2+22+23+,+2"T=20-2)=2—

4%1-2,

wn1

—=2-2+l=2-la-

所以凡，所以"2"-1,

故选：D.

3.B

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简,求H」3,即可得到其虚部.

【详解】解：由(z+2)i=>i可得：zi+2i=l-i,

l-3i(l-3i)ia

z=---=-~=-3-i

ii2

二z=-3+i,

则z的共桅复数的虚部为1,

故选：B.

4.A

【分析】取AB的中点M,连接CW,可证CM_L平面A84A,利用等体枳法求点到面的距离.

【详解】取A8的中点M,连接CM,

5

因为，人8c为等边三角形，则创J_AB,

又因为人4,平面ABC,且CMu平面A8C,则。知_14人，

^ABr>AAx=AAS,AA,u平面AB8|A,可得0^1_1_平面4844

AB.=CR=42,CM=—

由题意可知：2

设点4到平面AAC的距离为d,

Ix^xlxlxl

因为。-叫即3322

（1=叵

解得7

后

所以点A到平面八的距离为7.

故选：A.

5.C

【分析】先求出（"2x）"展开式第i］项，再由%=&,代入即可求出〃的值.

【详解】（1+2x）"展开式第r+1项加=C；（2»=C：2F

・.・%=4,.・.C：25=C26,即—,

加二2、加

.5!（/2-5）!"X6!（/i-6）!

••，

整理得〃-5=3,.*.«=8

故选：C.

6.C

6

【分析】将+无7行转化为点（x，0）与点亿1）,（4』）距离的和为4,求出以（2，1）,（4,1）

为焦点，长轴长为4的椭圆方程，则点（H°）不能在椭圆外，正而可得x的范围，则。+〃的值可求.

【详解】令"=&一4X+5+&-8X+17=J（X-2）2+（0-1）2+J（、—4）2+（0-1）;

则加的值为平面直舛坐标系中点（“'°）与点（2」），（4」）距离的和

若M=4,即点«°）与点（2」），HD距离的和为4,

虹点（“°）为以（2」），（4/）为焦点，长轴长为4的椭圆与不轴的交点，

（.1-3）2Jy_l）2]

设以（2』），（4,1）为焦点，长轴长为4的椭圆方程为片一产一,

则/=4,c2=I,b2=a2-c2=3,

（IlJ）-）]

故椭圆方程为43,如图:

,0

椭圆内的点到（2」），（4J的距离和小于4,椭圆外的点到（2，1）,（41）的距离和大于4,

所以点（*'°）不能在椭圆外，即点（乂°）在线段AB上，

22®_26

3--------<x<3+-------

所以66,

”3-巫,b=3+运

即66

所以。+〃=6

故选：C.

7

7.A

/(x)=e3\

【分析】将的结构变形，根据变形结果构造函数％,然后分析“旬的单调性，根据

In2_in4

以及e'>2()可比较，Aj

21Ine,e,caIn2«…-？

e-=e----,b=—ln2=e3-----,c=15-51n5=e5哆

e22

【详解】因为

\31-lnx

构造函c呼，所以J(x)=e-(x>0)

兰问“)时，r(H>0,4)单调递增,

兰xe(e,+8)时，rW<。，/(x)单调递减,

In21n4f/=/(e),/2=/(2)=/(4),c=/y

又因为可一丁，所以

e_>4>

区为e3>2.7183>20,所以不>,,

/(e)>/(4)>/修

所以I",所以a>>>J

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考杳导数中的构造函数比较大小，对学生的转化与计算能力要求较高，难度

In2

较大.解答本题的关键在于：通过所给数值进行合适变形，可由B项中的〒作为突破点，从而构造出函

f(x)=e3

数x解决问题.

8.C

【分析】先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有'+)'"一》'的一个等式，然后利用配方进

行整理即出现含13x+)’的式子，即可得出答案.

【详解】利用公式办”3旅-树力山+淤+力2-3司

口+»一")2

及4可得：

/+i+),"『-3.也更

8

二(中)9士中

所以代入已知式化简可得a+y)F(»y)(x-»++y)=i2,

由观察可得：当x-y=l,x+)'=2时，即23+3x2x『—2=12成立,

31

x=—,y=—

此时2-2,

44①,

3”]=3f+2

又I2)4②,

则①+②+③可得:

"3丫/1丫33273r

+3

X\X~2)+()'+I)|/一句=x+y-丁-w)'+7

x3+y3--x--y=(x+3)f^--1fJ>-+7

+(y+i),一2

所以.4，'\2)444.4.

=(.r+3)[-9+(y+l)0-£]+"丁一7=3

(»3)「9+(尹1)])」丫+3=]。

故原不等式可化为：I2；2,

13x+^<10

即2一，故小+”2。，

=3

此时当时等号成立，即I3x+y的最大值是20.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题的关键点在于寻求当乂)'分别为何值时，13工+了可能取得最大值，根据原式不

易观察，所以先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有X+)'"-)'的一个等式，然后利用配

方进行整理即出现含I3X+)'的式子，即可得出答案.

9.AB

【分析】把几何语言转化问文字语言，想象空间模型，得出结论.

【详解】对A：平行于同一个平面的两个平面互相平行，正确；

9

对B：两个平面的交线垂直于第三个平面，则这两个平面都垂直于第三个平面.根据面面垂直的判定定理,

该结论正确；

对C：和两条平行直线分别平行的两个平面相交或平行，故C错误；

对D：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交.故D错误.

故选：AB

10.BCD

【分析】对A找到反例即可；对B利用点到直线距离公式计算即可；对C,利用二倍角的余弦公式和向

量数量积的定理计算即可；对D利用三角形的面积公式计算即可.

【详解】对A,当尸趋近于无穷远处时归国+归目故A错误；

对B,设点P(2。)，满足W"一I即4一”：=4,

又两条渐近线方程分别为'一±5",即x±2y=°,故有

忸同仍尸|_辰+2%|员-2%|」片-4引_4

6逐55,故BIE确；

1

y=­X

对C,设渐近线2的倾斜角为。，则

cosZ.EPF=cos(n-/.EOF)=-cosZ.EOF=-cos2a=---"=--

'7l+tanI2a5,

PEPF=\PE[\PF\COSZ.EPV=----=-—

所以5I5J25,故c正确;

4

sinZEPF=

对D,由C可知,5,所以

IQ

s=一IPEI•I。尸I•SinNEPF=—

225为定值，故D正确.

故选：BCD.

11.CD

1()

【分析】考虑两种情况，第一种L和4垂直且过圆心C(U),第二种4和4平行，圆心C(L1)到直线4和4

旦

的距离都等于2,分别求解即可.

【详解】①若4和’2相交，由题意可知，圆心C(U)应该是两直线的交点，所以4+〃+。=。,

71

出于4和72将圆C分成长度相等的四段弧，所以母段弧所对的圆心角都为5,

所以直线+外+c=()和6+cy+a=O垂直，

所以"+仇*=0,所以"（”+c）=0,再由a+0+c=0,

可得：a+c=0，〃=。，

所以(a―1)-+-+(c—1)"=(a—1)+1+(—a—1)~=3+2a~N3

②若4和12平行,则无=讹，

由于4和4将单位圆分成长度相等的四段弧，

兀

所以每段弧所对的圆心角都为2,

旦

所以圆心到直线4和4的距离都等于2,

|a+〃+d&也+c+a|>/2

222

月“J+A2yjc+b~2,所以/+尸=/+〃？，gpa=cf

又因为从=。。>°，所以A。同号，则。=J

当4=c=力时，yla2+a22,不满足题意，所以

(a-lF+S-1)2+(0_])2=3«2_%+3=3(4」]

所以I3J33,

综上①②，可知CD正确.

故选：CD.

12.ACD

,2

4tana+----

【分析】借助二倍角公式及两角和差公式化简，得到tana，再利用基本不等式得到其取值范围,

从而得到答案.

II

【详解】因为sin2a+sin24=2s1n(2a+2/?)

所以sin[(a+,)+(a_/?)]+sin[(a+,)_(a_/)]=2sin(2a+2,)

2sin(a+〃)cos(a-/7)=2sin(2a+2/7)

sin(tz+^)cos(cr-/?)=2sin(tz+^)cos(£z+^)

运为a+B于加,kwZ,所以sin(a+尸)HO,

所以cos(a_77)=2cos(a+0

cosacos^+sinasin/?=2cosacos^-2sinasin0,

3sinasin/?=costzcos/?,cosacosp/0,

tanatan/7=-tan/7=——

所以3,即3tana,

所以tana+2lan(a+1)+3tan1

ctana+tanfl_

=tana+2-------------+3tanpn

1-tanatan

1

tana+-------

+3.—!—

二tana+2---------

3tana

1-tana------

3tana

=4123

tana,

4tana+二一>2J4tana•——=4拒

兰tana>0时，tanaVtana

42上tan,=^

兰且仅当tana,即2等号成立;

(-4lana)+=4>/2

兰tcina<。时,

4tana+—=—<-4夜-4tana=---=-tana=....-

即tana,当且仅当tana,即2时的等号成立,

4tana+-----£(-8,-40卜45/2,+oo即tana+2(an(a+^)+3(an^e(-oo,-4>72JU^4A/2,+ooj

综上，tana'」L

故选：ACD.

12

【点睛】关键点点睛：灵活变换，利用2a=（。+尸）+（。叫，2尸=（。+0-（"/）,两角和与差公式化

简已知的等式是解本题的关犍.

13.4

【分析】根据奇函数、偶函数的性质求出八2）=1及/@-2）+/0+2）=2,赋值即可得解.

【详解】因为/（x+2）T为奇函数，所以八0+2）-1=0,即/（2）=1,

因为当xe[2,4]时，/（x）=«log2x+/^

所以〃2）=a+6=l,

由/（x+2）-l为奇函数，可得/（-+2）-1+/*+2）-1=0,

即/（-x+2）+/（x+2）=2,

又/⑶为偶函数,所以于。.2）+f（x+2）=2f

令x=2,可得/（0）+/（4）=2,

令x=4,可得/(2)+/(6)=2,

两式相加可得，/⑵+/(4)+/9)+/(6)=4,

由/(0)+/(6)=4,可得/(2)+/(4)=0,

由/（2）=1,可得f（4）=T,即加+〃=一1,

a+b=\

联立|2a+b=-l可得〃=-2m=3,故a+2/?=4.

故答案为：4

5

k.13

【分析】设直线/方程）'="（人十’）,然后与椭圆联立，再利用根与系数关系求出弦长卜邳，再结合题中

几何关系得到以k为中间元的关于"，c的等式，化简从而求解.

【详解】由题意得"（P°）,玛亿°）,设直线/的方程为丁=*3+0）,4斗,），6（心必）,

y=Z(x+c)

x2y2

^■+乒=^(/?2+a2A:2)x2+2a1k2cx+a1k2c2-a2b2=0

联立方程

13

2a-k2ccrk-c2-a-b~

x,+x,=----丁=x,x=---；---——

由根与系数关系得一b'crk",y一b-+a-匕

222222222

I.D|r.~~尸r72~■r-7T1（2akcVakc-ab2ab（1+k）

所以弦长=N+/""北西前J7=，+八2

tan/环居=但1

由题意知，设直侬/与尸鸟的交点为心加图，所以在Rt班人中，I环I,

乂由椭圆定义知附㈤°周=2/因为直线,是尸鸟的中垂线,

所以陷白耳国=2。，陷|=Z明=2（a-c）,

IEFJ

tanNE丹氏=-----------=k

但用^4c2-（«-（?）

所以②,

联立①②得5/+1女2T8次、=0,所以13e2-]8e+5=0,解得‘一百或e=l（舍）.

5

【点睛】方法点睛：通过直线与椭圆联立及结合弦长公式求出关于人的表达式，再结合题中的几何条件

从而建立以左为中间元的关于4c的等式，从而求解.

15.2

【分析】先利用两个函数对称求出解析式，再利用导数求函数的切线方程，利用基本不等式可求答案.

【详解】因为函数80）的图象与函数/（人）=°、一大的图象关于原点对称，

所以8（力=-/（-力=七』,所以|AB|=|/（a）-g（〃）|=e"+：

r（x）=ev-l,/（1）=e-x—1,r⑷=e〃—I,/⑷二十一1,

所以直线KZe\"）』''-*]—。），即），=（。“一1卜+（一）J

直线幻尹（尸+。）=（尸-1）（.。），即y=（e-"-l）x-（l+〃）e

14

y=(e"-1卜+(1-o)e"

联立b="l)x-(l+a)e,得

所以点C到x="(a"°)的距离为

]u+e-fl(e"+e-”「

-xe

5=—(e+e")------=^-j-----^-r

设”的面积为s,则2e“一e"2卜"一e“|

令…“-尸，则①=(e。-/+4=/+4,

即卜“Y*2时，取到等号.

故答案为：2

1

心5

16.

2

【分析】设"二丁-6"+13=(“-3)-+4",v=x-8x+l7=(.r-4)-+l>l>将不等式恒成立问题转化成

构造〃加普，根据单调性求最值.

=X2-6X+13=(X-3)2+4>4

【详解】设“

V=X2-8,V+17-(X-4)2+1^1

x2-7x+14=—(z/+v-2)

则2V7,

1nH一74+14『n〃?(/一6%+13)(/一版+17)；(〃+”2)'N

则I)l八，恒成立可化为4怛成乂,

J^v-2)2

即4,9恒成立，故L」min,

/⑺=(〃士2)2=士2(“二2)匕(〃二2)：工J+(〃二2)2+一

“'J4。4/YV4〃v'7

设L」9

易知/⑺在1v"〃-2时递减，在y>〃-2时递增，

所以〃％“=/("-2)=l=l[=g("),

而g3显然在〃24时单调递增，所以g®min-g(4)-5,

15

故2,当且仅当「=2时，即1=3时，等号成立,

所以实数机的取值范围为（双2_

【点睛】方法点睛：本题将恒成立问题转化成求最值问题，然后采用双换元和轮流作主法求最值.

=—!—

17.（1）证明见解析，2«-1

⑵3

1

【分析】（1）根据的关系可得〔S"为等差数列，即可利用等差数列的通项求解,

（2）根据分组求和以及裂项求和化简「，即可由数列的单调性求解最值求解.

【详解】（1）当〃之2时，数列的前〃项和为品，满足I2人

S；=（S.—s,T）卜—；］=S：；s,i

即I2J22,

整理可得2s£_、=S“_[_S”

o_1

•.4=1,则2s2£=S「52,即2s2=1-52,可得％3

?I1

由2s2sLs2-邑，即3s3="邑，可得$=5，，

以此类推可知，对任意的〃wN*b>0,

„=2

在等式2s“S“T=S“T两边同时除以S.S“T可得SnS-

,U1=1

所以数列2”J为等差数列，且其首项为4,公差为2

-,y=1+2(H-I)=2W-1

因此，S,,=2n-\

电』+1Li.ipq

2〃+l4[(2/I-1)(2H+1)J4812〃-12n+\)

(2)

16

1、2

2<m-3in

不等式（4〃？-3/〃+〃对所有的〃wN恒成立，4812/r+1;对所有的〃wN.恒成立,

记则

_2

所以乙+「4<°,故当〃=1时，?取最大值一3,

,2

in2-3m+—>0

因此3,

mN-9-历

m<

即6或~6~

因此，满足条件的正整数，"的最小值为3

18.（1）证明见解析

⑵«百-9

【分析】（1）由题意结合面积公式计算即可得；

（2）设/班。=。，结合题意由正弦定理可将.A"C面积表示出来，设出函数，结合导数得到该函数单

调性可得该函数的最大值，即可得A8C面积的最大值.

ABAC=-,ZBAD=-ZDAC^BAD=-^DAC=-

【详解】⑴由22，知63,

s=S=^ABAD^n^^ADACsin^=^ABAC

ABCABD+SACD

结合题设，即AO+J5A°.AC=2AC,

两边同除以A"AC,得AO4C；

(2)设44)=a,则NA4c=21,

AB_BD

△A8£)中，由正弦定理，得sin/ADAsina①，

ACDC

cAC£>中，由正弦定理，得sin/CDAsin2a②，

-C=2

②XD，结合sin/BDA=sinZCDA,DC=4BD,得cosa,

c1.c•csin3a3sina-4sin3a_..，

S，ARC=—-AC•sin3a=-----=-------------=3tana-4tana•sm-a

2cosacosa

17

,3tana（sin~a+cos"a）-4tanasin"a

SAM.=3tana-4tan«•sin~a=--------------------J------------

即sin-a+cos'a

_tan口（一taifa+3）_3tanatai?a

tan2«+ltan2«+l

设tanL（04）,即求函数〃'卜锻八（°词的最大值,

（3—3/）（1+产）—（3—3）2Z（2>/3-3-?）（2>/3+3+?）

r（»（M=（M

/£（0,2痒3）时，r（/）>0>函数单调递增,

产«2/-3,3）时,广⑺<0,函数单调递减,

些产=28一3时，函数有最大值,

也正一3（3-26+3）

=j6x/J-9je（0,同

1+26-3

此时

.工ABC面积的最大值为>/6^^一9.

⑼⑴心5+大5

8

⑵分布列见解析，27

【分析】（1）记蚂蚁爬行〃次在底面ABC。的概率为乙，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底

面，找到关系构造等比数列可得答案.

（2）结合题意易知X=（），l，2,求出对应得概率，列出分布列，计算期望即可.

【详解】（1）记蚂蚁爬行〃次在底面A8C〃的概率为巴，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底

面,

21?

八人所工且殂6=彳，匕+|=4?+4（1一匕）

结合题总易得，333,

P-L=-L（p-1\-p--.1_1

川231“2,1"21是等比数列，首项为Z,公比为3,

18

（2）结合题意易得：X=0,1,2,

兰X=2时，蚂蚁第3次、第5次都在0处，

.fll212.l12.IW221111"|1

PD\/Xv=2A）=-x-x2nx—+—x—x2x—+—x—x2x—Ix-x—+—x—+—x—I=—,

'，（663636636八336666）18

兰x=l时，蚂蚁第3次在C处或第5次在C处，

设蚂蚁第3次在C处的概率为片,

11c212cl12-15I52M1

P\=—x—x2x—+—x—x2x—+—x—xzx——X—+—X—+—X—

663636636666633；18

设蚂蚁第5次在C处的概率为6,

设蚂蚁不过点C且第3次在•的概率为%设蚂蚁不过点°且第3次在用的概率为巴,

设蛆蚁不过点C且第3次在人的概率为乙，由对称性知，2=9,

「111,212.13„121^22211

66636354,又$63633327,

Py=2P,x—x—x2+^x—x—x2=—

得-6356654,

・•.P（X=I）=…得

P（X=0）=\-P（X=\）-P（X=2）=—

X的分布列为:

X012

4151

P

5427Is

Q

£（X）=0xP（X=0）+lxP（X=l）+2xP（X=2）=—

X的数学期望27

20.（1）证明见解析

4j3

⑵可

【分析】（1）过点七作人〃的平行线交4。于点尸，过点N作人8的平行线交AC于点G,连接向G,

即可证明四边形EPGN是平行匹边形，从而得到NE//FG,即可得证；

（2）解法1,以点A为原点，所在的直线为X轴、），轴，过点A垂直于平面A3C的直线为z轴,

19

建立空间直角坐标系，利用空间向软法计算可得；解法2,过点B作直线MN的垂线交于点/,交直线CM

于点〃，再过点〃作AC的垂线交于点°,连接即可证明是二面角O-AC-8的平面角，

最后利用平面几何的知识解得即可.

【详解】（1）过点石作AM的平行线交于点尸，过点N作48的平行线交AC于点G,连接尸G.

因为点E是线段OM的中点，BN=3NC,

EF=-ABGN=-AB

所以加7/A8且2,GN；/AB且4，又M为AB的中点，

..EF=NG=-AM〜〃〜

2,QEFVNG,四边形"BN是平行四边形.

所以NE//FG,框。平面。AC,尸Gu平面QAC,

;.NE〃平面DAC.

（2）解法1：以点A为原点，A8，AC所在的直线为X轴、＞轴，过点A垂直于平面人BC的直线为z轴,

建立空间直角坐标系.

设正心2,则取。，”。。。）,呜,训，设。（5）,

因为平面nwc_L平面ABCf所以点。在平面A8C上的射影落在直线CM上,

DM=1,DN=」&,.•.(%-1尸+y2+z2=1

出题意可知，2②,

20

8

x=—

7

2

<y=--

'7

2而

z=------

由①②③解得7

AD=区二2"

〒一〒7

所以

设平面AC。的法向量为"二（乂，z）,

ADH=04x-},+x/FTz=0

贝Jco-〃=（）,即14x—8y+Ez=（）,取x=VFT,y=0,z=_4,则〃=（E，°，T）

取平面ABC的法向量〃=z（°，°，l）.

设二面角O-AC-B的平面角为/显然二面角O-AC-3为锐角,

cos®=|cos/w,n|=

则11网〃I9.

4,

即二面角O-AC-3的余弦值为T.

解法2：如图，过点4作直线MN的垂线交于点/,交直线CM于点

由题意知，点。在底面A8C上的射影在直线8/上且在直线上,

所以点〃即点。在底面上的射影，即。"J■平面A6C,

2

BM=I,BN=士血,NMBN=-

设48=2,则24,

21

MN=JBN2+BM--2BN-BMcos-=—

由余弦定理得’42

BM?+MN2-BN?Vio

cos/BMN=