2021届重庆市缙云教育联盟高一上学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，总=sectionpages33页2020-2021学年重庆市缙云教育联盟高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（）A． B． C．0， D．0，【答案】D【分析】等价于，分、两种情况讨论，从而可得答案.【详解】.当时，为空集，满足条件.当时，或，解得或.综上可得，实数a的取值所组成的集合是2，.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题.2．设，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数的性质可判定,利用换底公式化为同底数的对数，可以证明从而比较大小.【详解】，，，故选:A.3．函数单调减区间为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复合函数的单调性可知，的单调减区间为在定义域上的单调增区间.再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即可.【详解】解：函数的定义域为令，则为单调递减函数，由复合函数的单调性可知：的单调递减区间为在上的单调增区间.，对称轴为，开口向下，所以的单调增区间为.故选：B.【点睛】本题考查复合函数的单调性，属于中档题.方法点睛：（1）先求出函数的定义域；（2）判断外层函数的单调性；（3）根据复合函数同增异减的原则，判断要求的内层函数的单调性；（4）求出单调区间.4．已知中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】不妨设为等腰直角三角形，其中，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系,分别求得向量的坐标，利用平面向量的基本定理求解.【详解】不妨设为等腰直角三角形，其中，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系；设，故，，故，，，故，，设，则，解得，故．故选：C5．设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的最小值为（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】由，求得，又由，求得，求得，得到，进而求得，结合题意，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，整理得，即，由，可得，即，所以，所以，所以，所以，因为恒成立，所以，故的最小值为1.故选：A.【点睛】若把一个数列的通项拆成两项之差，在去和时中间的一些项可以相互抵消，从而取得前和，其中常见裂项的技巧：①；②；③；④；⑤.6．已知等差数列的前项和为，满足，，则下列结论正确的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】令，利用奇偶性定义和导数可确定的奇偶性和单调性；将已知等式进行变形，令，，结合奇偶性和单调性可知且，利用等差数列求和公式可确定结果.【详解】设，则，为上的奇函数；又，为上的增函数.由得：，由得：，令，，则，，即，，为等差数列，；又为增函数且，，即，.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，结合函数的单调性和奇偶性，根据函数值的大小关系确定自变量的大小关系，进而确定数列中的项之间的关系，从而推导得出结论.7．在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别是AB，AD，的中点，设过P，Q，R的截面与面以及面的交线分别为l，m，则l，m所成的角为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作交于G，连接QP并延长与CB的延长线交于M，连接MR交于E，连接PE，延长PQ交CD的延长线于N，连接NG交于F，连接QF，FG，从而可得l，m所成的角即为EP，EM所成的角，在中即可求解.【详解】如图所示，作交于G，连接QP并延长与CB的延长线交于M，连接MR交于E，连接PE，RE为截面的部分图形，同理延长PQ交CD的延长线于N，连接NG交于F，连接QF，FG，则l，m所成的角即为EP，EM所成的角，设为，易知，，，所以.故选：D.8．若，且，则等于（）A．81 B．27 C．243 D．729【答案】A【分析】利用组合数的性质先求出n值，再用赋值法即可得解.【详解】因，由组合数的性质得(2n+6)+(n+2)=20，解得n=4，所求值的式子是x=-1时二项展开式的值，所以.故选：A二、多选题9．下列结论正确的有（）A．公共汽年上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是C．若随机变量X服从二项分布，则D．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12【答案】BCD【分析】应用排列组合的“住店法”，每个乘客可在5个站任一站下车即可判断A是否正确；应用捆绑、插空法即可知B的正误；由二项分布得到分布列即可求，进而判断C正误；由平均数、中位数、众数的概念，应用等差数列的性质，结合分类讨论中位数求出所有可能值并加总，即可知D是否正确.【详解】A选项：10位乘客，沿途5个车站，则每位乘客都可能在5个车站任意一个车站下车，所以每位乘客的下车可能方式有种，故10位乘客一共有种；B选项：两位男生和两位女生随机排成一列，两位女生不相邻：先将女生看成一组，在两位男生所排的队列中插空有种排法，而一共有，所以不相邻的情况有，故概率为；C选项：X服从二项分布有，则分布列如下：012345∴；D选项：设丢失数据为，则平均数为，而数据的众数一定为3，对于中位数有：当时，中位数是3；当时，中位数是；当时，中位数是5；∴中位数是3时，有，即；中位数是时，，即；中位数是5时，，即；∴丢失数据的所有可能值的和为12.故选：BCD【点睛】本题考查了排列组合、概率等知识，综合应用了排列组合的住店法、捆绑插空法，利用二项分布得到分布列，进而求概率，以及中位数、平均数、众数的概念，结合等差数列、分类讨论等方法求值，属于难题.10．已知抛物线，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于，两点，则下列说法一定正确的是（）A．的最小值为2B．线段AB为直径的圆与直线相切C．为定值D．过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则【答案】BCD【分析】由抛物线的方程可得，准线方程为：，设，，直线的方程为：代入可得：，所以，，可判断A，求出的中点坐标计算到直线的距离是否等于弦长的一半即可判断B，计算可判断选项C，，，分别计算等式左右两端可以判断选项D，即可得正确答案.【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为：，设，，直线的方程为：代入可得：，所以，，弦长，所以过焦点的弦的最小值为，故选项A不正确；所以的中点为到直线的距离为，而，所以半径，所以圆心到直线的距离等于半径，可得以线段AB为直径的圆与直线相切，故选项B正确；，即，故选项C正确；，，所以，，所以，故选项D正确；故选：BCD【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：（1），；（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，弦长，（为直线的倾斜角）；（3）；（4）以为直径的圆与准线相切；（5）以或为直径的圆与轴相切.11．已知，为正实数，且，则（）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为4 D．的最大值为【答案】ABD【分析】依次将代数式进行适当变形，通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值.【详解】对于A，由，得，令，则，，得，所以，当且仅当时等号成立，此时满足，即，故选项A正确；对于B，由，得.令，则，可得，解得(舍去)或，即，当且仅当时等号成立，故选项B正确；对于C，，即.，当且仅当，时等号成立，选项C不正确；对于D，，当且仅当，时等号成立，选项D正确.故选：ABD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．在单位圆上任取一点，圆O与x轴正半轴的交点为A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为，记x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（）A．函数是偶函数B．函数的最小正周期为C．函数的一个单调减区间为D．函数的最大值为【答案】BCD【分析】依据三角函数的基本概念可知，，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B；根据辅助角公式知，再利用三角函数求单调递减区间即可判断C；对于D，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意知，，对于A，，，为奇函数，故错误；对于B，，最小正周期为，故正确；对于C，，因为，又在单调递减，故C正确；对于D，，因为，当，是减函数，当，是增函数，所以当，，t最大，则，正确，故选：BCD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.三、双空题13．兄弟三人同在某单位上班，该单位规定，每位职工可以在每周7天中任选2天休息，一旦选定以后不再改动，则兄弟三人恰有两人休息日完全一致的概率为____；设兄弟三人中休息日完全一致的人数为X，则随机变量X的均值是_____.【答案】【分析】先求出三人中每个人都从7天选2天的试验的基本事件总数，再求出恰有两人选择完全一致的事件所含基本事件数即可得解；写出X的可能值，并求出各个取值时的概率即可作答.【详解】每个人从7天中选2天休息有种，三人中每个人都从7天选2天的试验的基本事件总数是，它们等可能，三人中取两人选择一致有种，再选两天有种，第三人选两天选法有种，三人恰有两人休息日完全一致的事件A有个基本事件，；随机变量X的可能值是0，2，3，，，，，所以随机变量X的均值是.故答案为：；【点睛】关键点睛：古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.四、填空题14．抛物线的焦点为F，点F关于原点的对称点为，P为抛物线上一点，，，若，则直线PF的斜率为________.【答案】【分析】设抛物线的准线与轴的交点为，过点作，垂足为．可求出，由此可求出，，进而求出，从而求出直线的斜率．【详解】解：设抛物线的准线与轴的交点为，过点作，垂足为．则，根据抛物线的定义，知．在△中，，，，，可求得．与不能重合，所以直线与抛物线有两个交点，，即，直线的斜率为．故答案为：15．将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为______.【答案】【分析】上面三个球心记为，下面三个球心记为，平面到圆柱上底面距离为1，平面到圆柱下底面距离为1，再求出平面和平面的距离即可得圆柱高的最小值．【详解】6个球抽象出6个球心，上面三个球心记为，下面三个球心记为，平面到圆柱上底面距离为1，平面到圆柱下底面距离为1，平面与平面平行，多面体棱长均为2，设分别是和的中心，则在路线上，在中线上，平面，易知，连接作于，则，，由题意，，∴，∴圆柱高的最小值为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查圆柱内切球问题，解题关键由6个球外切抽象出球心构成有多面体，由对称性得出这个多面体的性质，从而求得两个平面和平面的距离，得出圆柱体的高的最小值．16．函数在区间内递增，则a的取值范围是_____________.【答案】【分析】是复合函数，由其外函数的单调性和已知条件，确定出内函数在区间内单调性即可作答.【详解】因函数在R上单调递增，而复合函数在区间内递增，所以函数在区间内递增，又二次函数的单调递增区间是，则有，即.故答案为：五、解答题17．已知是等差数列，其前项和为，是正项等比数列，且，，，．（1）求数列与的通项公式；（2）若，记，，求．【答案】（1），，；（2）．【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得，，从而可求出，，进而可求得数列与的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用错位相减法求数列的前项和，利用等比数列的前项和公式求出数列的前项和，进而可求出【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，．由，，得解得，（舍负），故，，．（2）由（1）得设．①．②由①-②得∴又∴18．在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若角为钝角，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据三角形内角和，可得，再利用正弦定理边化角可得，结合角，的范围，利用二倍角公式，可得，即可求得角的大小；（2）根据角B为钝角得，即可求得角C的范围，进而可得的范围，利用正弦定理边化角可得，利用两角和的正弦公式，展开化简，可得，根据的范围，即可求得答案.【详解】解：（1）因为，所以，由正弦定理边化角得：．由，得，所以，因为，所以，所以，所以，所以．（2）由角B为钝角，得，解得，从而，．由正弦定理边化角得：故的取值范围是．【点睛】易错点为：根据角B为钝角，需列出，进而可得角C的范围，再结合正弦定理求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.19．已知圆台轴截面，圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，点为下底圆弧的中点，点为上底圆周上靠近点A的的四等分点，经过、，三点的平面与弧交于点，且，，三点在平面的同侧．（1）判断平面与直线的位置关系，并证明你的结论﹔（2）为上底圆周上的一个动点，当四棱锥的体积最大时，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）平面；证明见解析；（2）．【分析】（1）先证，由线线平行得到线面平行；（2）设圆台的上底面圆的半径为，建立空间直角坐标系，表示出向量，，再求解夹角的余弦值即可.【详解】（1）平面∵圆台的两个底面互相平行∴平面与圆台两个底面的交线平行．又因为点为上底圆周上靠近点的的四等分点，∴点为下底圆周上靠近点的的四等分点，∴．∵点为下底圆弧的中点，∴，所以．又平面，平面，∴平面．（2）当四棱锥的体积最大时，也就是点到平面的距离最大，此时点为上底圆周上的中点．设圆台的上底面圆的半径为，则高为，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，则，∴异面直线与所成角的余弦值为．当点在的另一侧中点时，异面直线与所成角的余弦值也是∴异面直线与所成角的余弦值为．【点睛】本题采用建立空间直角坐标系的方法求解异面直线所成角，可求出两条直线所在向量，利用，求出向量夹角的余弦值，由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．20．已知函数，设函数的最大值为m.（1）求m的值；（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）对函数求导，判断函数的单调性，进而可以求出最值；（2）构造函数，然后按照含参数的求导即可判断函数的单调性，求出最值，然后求出结果.【详解】（1）当时，，当时，，在上为增函数，在上为减函数.，即.（2）原问题转化为在上恒成立.设，，，令，.（i）若，则恒成立，在上为增函数，，，即恒成立，在上为增函数，而，.（ii）若，令，得.①当，即时，在上为增函数，又，同（i）成立；②当，即时，此时在为减函数，在上为增函数，而，

在上有唯一的解，在上为减函数，上为增函数，而，存在，不符合题意.综上，实数a的取值范围为.【点睛】恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.21．已知曲线上的点D到点的距离与到直线：的距离的比为，点P为直线m上的一个动点，且过点M的直线l与曲线C交于A，B两点.（1）求曲线C的方程；（2）若为等边三角形，求线段AB的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设点，由题意直接列方程，化简整理即可求解.（2）讨论直线l的斜率不存在或直线l的斜率存在，设直线l的方程为，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，求出AB的中点为，根据，求出直线l的斜率即可求解.【详解】（1）设点为曲线上的一点，则，整理得曲线C的方程为.（2）由（1）知，，，.当直线l的斜率不存在时，，此时，或，，，若为等边三角形，则点P在x轴上，又点P为直线上的一个动点，，，此时不是等边三角形，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立消去y，得.直线恒过定点，在椭圆内部，恒成立.设，，则有，，则.设AB的中点为，则，，直线PQ的斜率为由题意知，又P为直线上的一点，，.当为等边三角形时，，即，解得，.【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系、弦长公式，解题的关键是根据求出直线的斜率，考查了数学运算能力.2