2023届高考数学一轮复习讲义：函数的最值与值域知识梳理

函数的最值与值域知识梳理

【考纲要求】

1.会求一些简单函数的定义域和值域；

2.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；

3.会运用函数图象理解和研究函数的性质.

4.在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和

最小值.

【知识网络】

函数的最值与值域

【考点梳理】

考点一、函数最值的定义

1.最大值：如果对于函数/(%)定义域。内的任意一个自变量x,存在毛eD,

使得/(x)</(x0)成立，则称/(x0)是函数f(x)的最大值.

注意：下面定义错在哪里？应怎样订正.

如果对于函数/(幻定义域。内的任意一个自变量x,都有,则称M

是函数/(%)的最大值.

2.最小值的定义同学们自己给出.

考点二、函数最值的常用求法

1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.

2.分离常数法：主要适用于分式函数求最值或值域

3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求.常用的换

元有-----三角代换，整体代换.

4.不等式法：利用均值不等式求最值.

5.利用函数的性质求函数的最值

6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法

7.利用导数求函数的最值。

8.构造斜率、距离、面积等，利用数形结合求最值。

要点诠释：

(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表

比较函数值大小给出最值；

(2)一些能转化为最值问题的问题：

/(x)>A在区间D上恒成立O函数/(初而>

/(x)<3在区间D上恒成立O函数/(x)max<B(xeD)

在区间D上存在实数了使/(x)<3O函数/(x)1mn<3(xe。)

在区间D上存在实数了使/⑴>A0函数/(x)1m*〉A(xe。)

【典型例题】

类型一、通过换元的方法求解函数的值域或最值

例1.求函数/(x)=e2x-mex+e~2x-me~x的最值.

【思路点拨】：此题中由于出现e2x,/,e-—e—2£四种指数形式，且

62工=(/)2,63=(小工)2

从而联想到通过换元将其转化为一个二次函数.而令e**或令印，=/均无法

达成目的，故可令短+"，=。

解：令V+e-=/«N2)则原函数的最值即g⑺=产-仁-2(d2)的最值。

因为g⑺关于”羡对称，从而有：

①当葭W2即加(4时，g⑺在［2,内)单调递增，；.g⑺m"g(2)=2-2机，

无最大值.

②当三〉2即加>4时,g⑺在2,；］单调递减，在T，+oo］单调递增

■'''g«)min=gg)=_^--2

例2.已知S=*l,求值域

氐刀A(-Ji，5nic2tano-32tancif-3八.。

斛：令%=tan/a£----,—,止匕日寸S=,---=----；----=2sin。-3cosa,

(22)71+tan2«J

COS。

32

由辅助角公式S=413sin（a-。）.其中角0满足sin0=—/=,cos(p=—7=且0((p(7r

713V139

(7171

从而可得到a-cp^\--------cp,------cp

一1Vsin(a-0)<三-V13<S<2

V13

例3.求/(x)=x+J1-2x的值域

,____]_产

解：令J1-2x=/«20)则x=------所以：

2

]一产1

原函数的值域即g⑺=+t(t>0)的值域.・••g(t)=1(-/+21+1)关于t=1

对称.

g(t)<g⑴=1二值域是(-oo,l]

变式：在上题中若将Jl-2x改为，1-2改呢?

22

【思路点拨】：若改为V1-2%,采用上面做法令Vl-2%=Z（1＞Z＞0）＞行不通了，

11-/

因为用f表示X时会出现x=d亍.换元本身是为了消去根号，可这下又引入新

的根号.说明此题与上一个题类型不同，需要一种新的换元方法，在消去根号同

-72V2

时不新添根号，而且换元后又能转化成我们熟悉的函数。考虑到亍4%＜三，

可考虑令x=*sin&（一、＜£＜叁）

解：令x=^-sma（-1＜a＜|），原函数的值域即

g(a)=*ina+cosa,ae7171

一万'万」的值域,

,•・8（0=[哼）2+"吊（。+夕）,其中0满足：*是。终边上一点且。＜。＜]

•/»、/•/、/•/万、

sm(°----)<sin(a+夕)<11,/sin(0)=-cos0=——।2==----7-5--

2243

—y[2y[6

【总结升华工只要是形如y=av+匕+八%”亿>0/>0)的函数求值域均可用

三角换元

例4.求函数/(x)=sin2x+2cosx-2sinx的值域

【思路点拨】本题可先用5皿2兀=25皿口05%将自变量统一成了,然后再考虑换元

将其转化为我们熟悉的三角函数形式.

解：f(x)=2sinxcosx+2(cosx-sin%)=1-(cosx-sinx)2+2(cosx-sinx)

/.令cosx-sinX=t(tG[-V2,V2])原函数的值域即

ga)=-?2+2/+l,/e[-V2,V2]的值域.由于g⑺关于t=l对称，故

g«)max=g(D=2,g«)m1n=g(—后)=一1一2后

/(x)值域为[-1-2后,2]

类型二、分段函数求最值与值域

例5.求函数/(%)=卜+5|-k一1|的值域

6,x>1

解：由题意，得：/(x)=2x+4,-5<x<l,画出该函数的图像便可求出值域为

—6.x<—5

[-6,6]

变式：求函数/(%)=卜2+2耳—12+2%-3]

解：与上题类似，只需令必+2%=/"一1),则原函数的值域即

g(O=|?|-|r-3|(z>-D的值域

例6.若函数/(x)=/-2x+2当r<x</+1时的最小值为g⑺，求函数g⑺当

fe|-3,2]时的最值。

7(OJ>12f+2

解：由已知得：g(o=</(1),0<?<1=<1,0</<1,g⑺的图像如下:

y(r+i),/<ot2+i,t<o

由图像可知ZG[-3,2]时，g⑺min=l

g⑺max=gJ3)=10

类型三.数形结合求最值值域

例7.求函数y=4-2%-j3+2x-%2的值域

【思路点拨】：本题一开始容易想到换元法，令j3+2x-1=/,但会发现前面

的4-2%无法用/表示.而题中的函数又是我们不熟悉的，必须通过变形转化为熟

悉的函数.因此便想到了将两部分分别换元.

解：令4-2%=",)3+2%-丁=v(0WvW2)原

函数的值域即y=w-v(0<v<2)的范围.

(M,V)满足：

(g)2+y=4^2i+r=i(0<v<2)

2164

y=〃—v(0WvW2)斜率为1且过点(y,0),

故原函数的值域即为“-0-v坐标系中经过椭

圆上的点且斜率为1的直线的横截距范围.由图可知，当直线位于乙与4的位置

时，截距分别取得最小值与最大值.

将y=u-v(0<v<2)与——+—=1(0<v<2)联立得

164

5M2-(8y+4)〃+(4y2-12)=0

2

A=(8y+4)-20(4/-12)=0^/-4y-21=0y；=7,y2=-3

Zj:u—v+3=0yG[—3,6]

【总结升华】：此题求值域的方法类似于线性规划，当所给的函数比较复杂，通

过换元又无法将其转化为我们所熟悉的函数时可考虑此方法.

例8.求函数f(x)=+2无+5+J%?+6%+25的值域

【思路点拨】：本题与例8以及前面例3、例3的变式类型均不同，形式上有两

个根号，而且根号下都为二次函数，显然用基本的换元都难以将它转化为熟悉的

函数.又考虑到根号下的形式与两点间距离公式比较接近，因此变考虑将其转化

为两个距离之和.

解：/(%)=J(x+1户+(0—2)2+J(x+3)2+(0-4)2,

故/(%)的值域即：P(x,0)到今(-1,2)与6(-3,4)的距

离之和，距离之和的最小值为片2)到6(-3,4)的

距离2炳，无最大值.

二值域为[2J记,+8)

例9.求函数/(x)=的值域

COSX+A/3

解：令P(cosX,sinx),2(-73,0)则/(x)的值域即为

尸。的斜率女尸°,由图可知，％PQ£[-"2,.,.值域

丫22

是昔,争

【总结升华】：本题需要对斜率式子比较敏感，且

有过做这种题经验才可想到构造斜率，类似地，还有这样的题：已知

(X—2)2+/=1,求上或求后k取值范围.前者是构造斜率，后者是构造距离.

例10.已知实数x，y满足5x+12y=65,则必了的最小值等于

解：由题意，设尸(x,y)为直线5x+2y=65上任意一点，则/^十/即为P到原点

的距离显然\OP\最小值为。到原点的距离0Hmln="I=5

15+12

例11.已知点P(m7)是函数y=二？二五图像上的动点，则|4帆+3〃-21的最

小值是

【思路点拨】;此题若考虑传统代数方法很难做出来,无法将所求式子转化为以m

或“为自变量的熟悉的函数.而所求的式子有点像点到直线距离的分子部分，因

此可将其转化为点到直线距离的倍数.

解：一・勺詈J”

而［4噌〃-21|恰为到直线

•#+42

4x+3y-21=0的

距离,y=yl-x2-2xgp(x+l)2+y2=l

的上半部分.由图可知，当且仅当直线

4x+3y+c=°与半圆相切时，两平行线

间距离便是所求的最小值.将该直线方程与圆方程联立，得：

25/+2(4c+9)x+c2=0由八=0即。2_8。_9=0解得q=9,。2=T.由图可知，直

线在丁轴截距应大于0,，c=T

,,1-21+11

4m+3n-21=5-'1=20

1正+42

方二.设P(cOS6Z-1,sinor),(0<a<7i)

原式_14(cosa-l)+3sina-21|=|4cosa+3sina-25]=|5sin(a+0)-2月

其中0<"<m，cos0=m,sin(i+e)=l时取得最小值20

类型五：参数方程求最值与值域

例12.在直线坐标系xoy中，曲线G的参数方程为卜=Gc°s°为参数)。

［y=sina

以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程

为夕sin(8+?)=26.

(D写出G的普通方程和。2的直角坐标方程；

(II)设点P在C1上，点。在上，求"QI的最小值及此时P的直角坐标.

解：⑴将G消去［得：-^-+J2=1"C2:psin(e+?)=2V2化简得

夕sin8+夕cos。=4化为普通方程即：x+y-4=0

(2)求|P。的最小值相当于求P到直线x+y-4=0距离的最小值.不妨设该

l|V3cos6Z+sincr-42sin(«+—)-4

距离为d由于P(V3cosa,sina),则d=J-----/------=-------产-----,显

“2+1241

然当Sin,+"=1即«=|时，d取得最小值痣，此时

P(A/3COS—,sin—)BP(―,—)

6622

方二：将直线向左下方平移，平移至与椭圆上半部分相切时，两平行线间

距离便是pq最小值.

类型六：在不等式、向量、圆锥曲线、立体几何最值上的应用

22

例13过椭圆上任意一点。作圆(1)2+产=1的切线，切点分别为

A,3.则NAP5的最大值为()

A-B.-C.-D.-

6432

1解：由图可知，NAP5=2NCP5(C为圆心)

且sinZCPB=铝=3-,ZAPBe(0,-]

因附2

ZZh|pq/OB

(人斗],所以取得最小值时，最大从而

y"x"PB最大.由于C恰为椭圆的右焦点，

\/:.2<\P€\<4

-----------：.(ZCPB)=-7,(ZAP均max=-

m\axmdx，o>、/mdx3c

例14.已知在MBC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且有

acosB+bcosA-42ccosC=0

(I)求角C的大小(II)当c=2时，求最大值

解：⑴•••acosB+bcosA=c,c-V2ccosC=0,/.cosC=^-

一TC

又•••(？€(0,%),:.C=—

4

i...

(2)5AABC/=\/l/J—a，sinC=——ab因此求出ab最大值即求出了LJLSMBC最大值

272_2B

又cosC=-------J且。=2,cosC=——a2+b2-4=41ab

lab2

3^,<7+1)2N2ab,yp2.cibN2ab—4ab<4+2A/2*.1.S<1H—

例15.在正三角形ABC中，。是AC上的动点，且AB=3,则丽•而的最小值为

()

【思路点拨】：显然该向量数量积的最值取决于。的位置,又因为三角形为正三

角形，因此可以建立直角坐标系，将丽•配表示成以。横坐标为自变量的函数,

该函数的最值便是丽•碇最值.

解：如图，8(2,0),C(0,3”)BC=(-▲,3百)由于

2222

直线AC:y=6x+辿因此可设

2

D(m,——■i-V3m)(-—<加〈0)贝(J

BD=(m--,V3m+3百)

22

.-.5D-5C=—(/n--)+—(V3m+—)=—+9(--<m<9)

222222

因此最小值为亍

变式：在AABC中，NC=90°,48=25。=4,","是边AB上的两个动点，且

MN=i则面•瓦的取值范围为()

A匹9]A[5,9]」29-

_4」14_

解：该数量积的取值范围与M,N位置无关,不放假设又在N上

方,N(m,243-V3/n),-,<m<2),继而

222

便可将数量积表示为m的函数得出结果.

7

例16.在三棱锥P-ABC中，A3=2,AC，5c若该三棱锥的体积为4,则其外接

3

球表面积的最小值为()

C64万25万

A.5TID.

喏~9~~T~

解：A3=2,ACL5G故底面三角形外接圆半径厂=1,

5080=3圆-。3«：((342+匿2)=1,当04=08=及时等号

17

成立，故V=-SMBC-h=-,^h>2,当P离平面ABC最远时,

外接球表面积最小,此时,P在平面ABC的投影为AB中心

。1，设球心为。，则。在尸。।上，故R2=(〃-R，+12，化简得到

氏=2+工,双勾函数y='+L在[2,田)上单调递增，故

22h22x

c95

凡小了故Smm=4叫1n2=，故选D

例17.设函数/(x)的定义域为R,满足"x+D=2/(x),且当xe(0,l]时，

Q

/(x)=x(x-1).若对任意Xd(-oo,〃z],都有则m的取值范围是

97

A.—oo—B.—oo—

43.

5,8

C.—oo—D.—GO—

2