2023北京中考数学二模分类汇编：二次函数的应用（学生版）

2023北京中考数学二模分类汇编一一二次函数的应用

1.（2023•海淀区二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在

“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；

在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，

球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线.如图1和图2分别

建立平面直角坐标系xOy.

01~xOl-'x

图1直发式图2间发式

通过测量得到球距离台面高度y（单位：dmy与球距离发球器出口的水平距离x（单位:

dm）的相关数据，如下表所示：

表1直发式

x(dm)02468101620•・・

y(dm)3.843.9643.96m3.642.561.44…

表2间发式

x(dm)024681012141618・・・

y(dm)3.36n1.680.8401.402.4033.203・・・

根据以上信息，回答问题：

（1）表格中加=，n=；

（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；

（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为由，“间发式”

模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为心，则力di（填“>”"=

或

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2.（2023•东城区二模）某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形

围栏.设矩形围栏周长为加米，对于〃7的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度

进行探究，过程如下.

请你补全探究过程.

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为X,7.由矩形的面积为4,得封=4,即y］；由周长为加,

X

得2（x+y）=m,即丫=_*+修.满足要求的（x,y）应是两个函数图象在第象限

内交点的坐标；

（2）画出函数图象

函数y=_£（x>0）的图象如图所示，而函数y=-xC的图象可由直线了=-x平移得

x2

到.请在同一平面直角坐标系中画出直线〉=-%；

（3）平移直线歹=-工，观察函数图象

当直线平移到与函数y=£（x〉o）的图象有唯一交点（2,2）时，直线y=_xJZ与夕轴

x2

交点的纵坐标为;

（4）得出结论

若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长加的最小值为米，此时矩形相邻两

边的长分别为米、米.

y八

9

8y=4（«>0）i--

7

6

5

4

1

X

------

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3.（2023•丰台区二模）学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线

和矩形/BCD构成.数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌昉GH,要求矩形昉

的顶点E,8在抛物线上，顶点尸，G在矩形48CD的边/。上.为了设计面积最大的矩

形EFGH,兴趣小组对矩形EFGH的面积与它的一边FG的长之间的关系进行研究.

图1图2图3

具体研究过程如下，请补充完整.

（1）建立模型：

以尸G的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xQy,通过研究发现，抛物

线满足函数关系y=（-2<x<2）.设矩形斯G77的面积为S序，FG的长为

am,则另一边的长为m（用含a的代数式表示），得到S

与a的关系式为：（0<a<4）；

（2）探究函数：

列出S与a的几组对应值：

alm•••0.51.01.52.02.53.03.5•••

S/m2.・・0.490.941.291.501.521.310.82•••

在图3的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象;

（3）解决问题：

结合函数图象得到，FG的长约为4时，矩形面积最大.

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4.（2023•朝阳区二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段长为4曲;，曲线是抛物线

的一部分，顶点C在45的垂直平分线上，且到的距离为4加?.以48中点。为原点,

建立如图2所示的平面直角坐标系.

（1）求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在上，另外两个顶点在抛物

线上，求满足条件的矩形周长的最大值.

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5.(2023•石景山区二模)2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落

幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一.赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人

赞叹不已.在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的

一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y(单

位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a<Q).

某跳水运动员进行了两次训练.

(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离xlm00.20.40.60.81.62

竖直高度y/%10.0010.4510.6010.4510.005.201.00

①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a

(x-〃)2+k(a<0)；

②运动员必须在距水面5m前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失

误.在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为1.6相，判断此次

跳水会不会出现失误，并说明理由；

(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系夕=-4.16

(x-0.38)2+10.60.如图，记该运动员第一次训练的入水点为力,若运动员在区域48

内(含小B)入水能达到压水花的要求，则第二次训练达到要求(填“能”

或“不能”).

示意图

竖直高度y/m

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6.（2023•昌平区二模）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了

农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展.小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固

定在离地面高1根的墙体/处，另一端固定在离地面高1772的墙体3处，记大棚的截面顶

端某处离/的水平距离为X%,离地面的高度为川7,测量得到如表数值：

图1图2

下面是小梅的探究过程，请补充完整：

（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点（X,夕）,

并画出函数的图象；

解决问题：

（2）结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为m；此时距离/

的水平距离为m；

（3）为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，

已知补光灯在距离地面1.5小时补光效果最好，若在距离/处水平距离1.5加的地方挂补

光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少加？（灯的大小忽略不计）

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7.（2023•房山区二模）排球场的长度为18m,球网在场地中央且高度为2.24m.排球出手

后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动

过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离无（单位：m）近似满足函数关系y=aG-

h)2+k(a<0).

球网

左边界右边界

（1）某运动员第一次发球口寸，测得水平距离x与竖直高度/的几组数据如下:

水平距离x/m02461112

竖直高度M机2.482.722.82.721.821.52

2

①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系y=a+k（a<0）;

②判断该运动员第一次发球能否过网（填“能”或“不能”）.

（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：加）与水平距离x

（单位：m）近似满足函数关系y=-0.02（x-4）2+2.88,请问该运动员此次发球是否

出界，并说明理由.

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8.（2023•顺义区二模）某架飞机着陆后滑行的距离y（单位：加）与滑行时间x（单位：s）

近似满足函数关系>="2+乐QW0）,由电子监测获得滑行时间无与滑行距离y的几组

数据如表：

滑行时间x/s0246810

滑行距离W"?0114216306384450

（1）根据上述数据，求出满足的函数关系y="2+6x（aWO）；

（2）飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？

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9.（2023•门头沟区二模）如图1是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以

看作是抛物线的一部分.经测量拱桥的跨度为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离

CD为4米.

图1图2

（1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点4,

B,C,并用平滑曲线连接；

（2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；

（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米.当游船从拱

桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船

能否安全通过此拱桥.

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10.（2023•大兴区二模）“急行跳远”是田径运动项目之一.运动员起跳后的腾空路线可以

看作是抛物线的部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动

员的竖直高度y（单位：w）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a（x-A）2+k

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离xlm011.522.53

竖直高度M冽00.750.937510.93750.75

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x

-h）2+k（a<0）；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.25

（x-2.2）2+1.21,记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为小，第二次训练落入

沙坑点的水平距离为di，则必dz（填“>”"=”或“<”）.

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11.(2023•平谷区二模)某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥

洞£1与两组副桥洞分别位于y轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看做

抛物线，主桥洞心上，＞与x近似满足函数关系y="2+cQW0).经测量在主桥洞心

上得到x与y的几组数据：

(1)求主桥洞心的函数表达式;

2

(2)若工2的表达式：y2=-o.5(x-hp+0,98)乙3的表达式：

2

y3=-0.5(x-h2)+0,5，求五个桥洞的总跨度的长•

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