2023-2024学年浙江省台州市高二年级下册6月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年浙江省台州市高二下学期6月期末考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.集合a=[x\x<3},集合B={2,3,4,5},则4nB=()

A.{x\x<3}B.{2,3}

C,{2,3,4,5}D.{x\x<3或x=4或x=5}

2.复数z及其共轨复数万满足z+2，=3+2i(其中i是虚数单位)，贝！|z=()

22

A.-3+—iB.-3——iC.1+2iD.l—2i

3.已知向量2=(1,%),b=(%,4),xGR.若(a+b)〃力，则%=

A.2B.2或-2C.-4D.-4或—1

4已知a力为正实数,衰+1=L则

A.ab的最小值为4B.ab的最大值为4C.就的最小值为2D.ab的最大值为2

5.设定义在R上的函数f(x)=sin2久.记fi(x)=f(%),对任意的nGN*,/n+i(x)=[fn(x)]',则/12024

0)=()

A.sin2xB.-cos2xC.—22023cos2xD.22024sin2x

6.甲、乙等5人站成前排2人、后排3人拍照，其中甲、乙两人在同一排相邻的排法共有

A.12种B.24种C.36种D.48种

7.现有2道单选题，假定学生张君对每道题有思路与无思路的概率均为05他对题目若有思路，做对的概率

为0.75：若没有思路，做对的概率为0.25.在已知张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为

A工B—c—£)—

A16D-2J168

32

8.设/(久)=a3x+a2x+arx+。。(的由二g6R且丰0),方程/'(久)=。在复数集C内的三个根为久1,冷

2

，久3，可以将上述方程变形为&30-巧)0-刀2)0-刀3)=。，展开得到口3久^一(^(孙+X2+X3)X+CZ3(^1^2+

*2X3+*3%1)刀一口3万1*2乂3=。，比较该方程与方程/(X)=0，可以得到乂1+*2+乂3=-智%1^2+X2X3+

乂3%1=詈，=-猾•已知/(i)=1+是虚数单位)，且12110^球411/是/0)=°的三个实根，则tan

(a+S+y)=

A.1B.-1C.2D,-2

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列命题正确的是()

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A.若随机变量X服从二项分布贝亚X)=|

B,若随机变量X服从正态分布N(5,4),则P(X>7)+P(XN3)=1

C.当事件4B,C两两独立时，P(ABC)=P(4)P(B)P(C)

D.当事件48,。两两互斥时，P(4+B+C)=P(4)+P(B)+P(C)

10.关于函数f(久)的图象的切线，下列说法正确的是

A.在点4(1,1)处的切线方程为y=3x-2

B.经过点力(1,1)的切线方程为y=3x-2

C.切线-kx+b(k丰0)与y=/(x)的图象必有两个公共点

D,在点P(xi，琳)处的切线过点Q(%o就)(配H%i),则xo=-2%i

11.已知AABC的内角48,c所对的边分别为a,b,c,其中a为定值.若AABC的面积5=我，贝U

A.tanA的最大值为gB.房+o2的最小值为2a2

C.AABC周长的最小值为("+l)aD］的取值范围是愕匚,史尹］

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(%+2y户的展开式中炉好的系数是_(用数字作答).

13.已知a,0G(。3)，sin(a—£)cosacos。=彳，则tan(a—£)=,cos(cr+0)=.

14.在正方体48CD—48忑1。1中，P为正方形4DD1&的中心，直线/<=底面4BCD,则二面角I-P的平

面角的正弦值的最大值是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

TT

15.已知函数/(%)=2sin(3%-。)(3>0,0<(p<^),x6R.给出如下三组条件：

①函数f(x)的最小正周期为兀，且当X=骂时，f(x)取到最大值；

②函数/⑺的单调递减区间是裳同(kGZ),单调递增区间是麻—色,/OT+g］(fcGZ)；

③句,久2是方程f(x)=1的两个根，|%1-初的最小值为今且/弓+乂)+=0.

从这三组条件中任选一组作为条件，完成以下问题：

(I)求函数/(X)的解析式；

(口)若/■玲+勺=|,求f(%o+骂)的值.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答给分.

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1

16.已知函数/'(x)=|x-cz|+■^询为偶函数.

(I)求实数a的值；

(E)若不等式f(x)2人恒成立，求实数6的取值范围.

17.如图，在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AB1BC,AB=BB、=2,BC=24.点£»,E分另1J是棱4C、CCr

的中点，点F在线段&E上.

(I)若而=2而，求证：47/平面8DE；

(H)若三棱锥F-4BD的体积为岑，求直线BF与平面441cle所成角的正切值.

比

18.已知函数/(x)=in(x+a)(aGR).

(1)当。=0时，求函数/(幻的单调区间；

(11)当。=1时，证明：/(X)<1%+1;

(HI)若f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.

19.在做抛掷质地均匀硬币的试验过程中，将正面朝上记作1,反面朝上记作0,记录结果得到一串由。和1

构成的序列.在序列中，规定：仅有数字0相连的排列称为由0构成的游程；仅有数字1相连的排列称为由1

构成的游程.如在序列000111110100001101110010011000中，共有13个游程，其中由0构成的游程有7

个，分别是000,0,0000,0,00,00,000；由1构成的游程有6个,分别是11111,1,11,111,1,11.

(I)由2个。和3个1随机构成的序列中，求游程个数的分布列与期望；

(E)由爪个0和n个1随机构成的序列，记作的42a3",%n+n,记事件41=a=1}，Ak={a—=0,ak

=l],k=2,3,+n.

(i)求「(41)，(42)；

(ii)求游程个数的期望.

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参考答案

1.5

2.D

3.B

4.A

5.C

6.C

7.0

8.B

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.40

13.272;1

14号

15.解：(I)若选择①：由题知7=穿=兀，故3=2.

当久=备兀时，2x招一9=2kit+5,kG.Z,

TTIT

故0=§—24兀，又OVRVTT,故

TT

所以/(%)=2sin(2%-§).

若选择②：由单调区间可知周期为"，故T弋=71,故3=2.

由题意知当x=一台时，/(x)取最小值，即2x(-右一卬=2kn-^,kEZ,

故9=^-2kn.又O<0V5,故0=会，

TT

所以/(%)=2sin(2%-§).

若选择③：令/(%)=1,即2sin(3%-0)=1,

由图象可知，0)一(3%2―0)12[9+2面)一偿+2附|=冬,

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即皿%2-%l)|min=空，又|%1-%2|的最小值为与，故3=2.

由/(^+%)+怅-x)=0可知/(%)的对称中心为60)，

当久二，寸，2X看一W=kn,/ceZ,故0二^—kn,

又。<0<7T,故

TT

所以f(x)=2sin(2x-g).

(II)由/(y+器)=2sinx0=|,得sinx0=1,

2

故f(x0+骂)=2sin(2x0+方)=2cos2x0=2(l-2sinx0)=-y.

16.解：(I)f(x)的定义域为｛x\x丰a],

因为人式)是偶函数，其定义域要关于原点对称，故a=0,

且此时f(x)=\x\+尚为偶函数，故a=0满足题意.

(n)/(%)2人等价于|%|+尚n。久恒成立，

11

当久>0时，上式等价于久即迈，故b4l；

11

当光<0时，上式等价于一久一、>bx,即bN-1-^7，故。N.

综上可得，b的取值范围是一1<b<1.

17.解：(I)如图，连接MF,

4----------------Tfg]

D\/

C

由题意可知A/h=2CiE,ArF=2FE,5./-AAXF=AC^EF,

所以△44iFs△crEF,

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得NAFAi="iFE,故共线.

故。后是4AC。的中位线，

故AF//DE,DEc平面BDE,AE年平面BDE,

所以AF〃平面BDE.

(E)过点B作14C交AC于点H,连接FH,FB.

由题可知AAX1平面ABC,BHu平面ABC,故AA11BH,

又BH1AC,441C4C=力，A4i/Cu平面44道1。，故BH1平面44停传，

所以乙BFH就是直线BF与平面441cle所成角.

记点F到平面ABC的距离为h,

由F-ABD=4S/IABD%=*h=字，得八=|^，

故F为&E的中点，即DF=h.

在△ABC中，BH=ABsin60°=,AH=ABcos60°=1,故=1,

得HF=皿/2+力尸2=乎故tan/BF”=器=总擘，

2Dr13

所以直线BF与平面AA^C所成角的正切值为唁.

V

18.解：(I)当a=0时，/0)=而，函数/⑴的定义域为(0,1)u(1,+8),

Inx—1

Zn2x

令f'(x)＞0,解得x＞e；

令f，(x)＜0,解得0＜久＜1或1＜久＜e,

故函数/(久)的单调递增区间是(e,+8),

函数/(%)的单调递减区间是(0,1),(l,e).

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x

(U)当a=1时，以x)=ln(x+1),函数以x)的定义域为(-1,0)U(0,+8),

1X1

不等式f(%)V5%+1就是不等式in(无+1)V/+1(*),

当—l<x<0时，(*)式等价于ln(x+1)(系2；y

当x>。时，(*)式等价于In(久+1)〉M.

设g)=ln(x+1)一备,〃⑴=—型=(久+1<+2/>0，

故h(x)在(一1,+oo)上单调递增，

故当一l<x<0时，/i(x)</i(0)=0,即ln(x+l)<^^；

2y

当久>0时，h(久)>八(0)=0,即ln(x+l)>^^.

故原式成立.

(IE)设t=x+a,令g(t)=^7，

f(x)既有极大值又有极小值等价于g(t)既有极大值又有极小值.

g'«)=lnt~~，记s(C)==Int+y-l,

ln2t1L

故S(t)在(0,1)U(1,+8)至少有两个不同的根，

故a=t-tlnt在(0,1)U。+oo)至少有两个不同的根，

记y=t—tint，故y'=—Int,

故在te(0,1)时，y单调递增；在tE(1,+8)时，y单调递减.

易知当%>0时，In%<x-1,当且仅当x=1等号成立.

下面考虑0Vt<1,

一方面有，y=t—tint==t+2dn^<t+=2y/t-t=,

2

另一方面有，y=t—tint>t—t(t—1)=2t—t=y2,

故当ovtv1时，yivy<丫2.

当t-0+时，yi70+且丫27。+，故y-0+.

又t=l时，y=1；时，y=0.

画出y=t-tlnt的图象如下，

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y

当aNl或aWO时，方程a=t-tlnt至多一个根，故不合题意；

当0<a<1,方程a=t-tlnt有两个根ti，t2满足0<ti<l<t2<e,

当te(0,ti)时,s(t)>0；当t6«排2)时，s(t)<0；

当te(t2,+oo)时，s(t)>o,

故tl为极大值，t2为极小值，

此时g(t)既有极大值又有极小值，也即/(X)既有极大值又有极小值.

19.解：(I)设X表示游程的个数,则Xe{234,5},

由2个。和3个1在排列时，共有髭=10种排列，

当X=2时，有2种排列：11100,00111；

当X=3时，有3种排列：10011,11001,01110；

当X=4时，有4种排列：10110,11010,01011,01101；

当