2023-2024学年高中下学期高一数学期末模拟卷（全解全析）（江苏专用）

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（3,4）,则5=（）

A.3-4iB.4-3iC.3+4iD.4+3i

1.【答案】A

【解析】因为复数z对应的点的坐标是（3,4）,所以z=3+4i,

所以5=3—4i.

故选：A

2.设6与G是两个不共线向量，向量AB=6+2e2，CB=ei+ke2,CD=2ke1—3e2,若A,B,。三

点共线，则左=（）

,c13

A.—3B.—C.—D.3

52

2.【答案】B

【解析】若A,B,。三点共线，则存在实数X,使80=248，

BD=CD-CB=（2左一—（3+左）e；,

（2k一1）q—（3+k）e2=彳+2%）,

：ei与e2是两个不共线向量，

二2左一1=4,旦一（3+左）=22,解得左=—g,

故选：B.

3.在_45。中，角A、3、C的对边分别为〃、b、c.若sinA:sinB:sinC=4:5:6,则cosA=（）

3.【答案】D

【解析】因为sinA:sinB:sinC=4:5:6,由正弦定理可得a:6:c=4:5:6,

设a=«〉0）,则Z?=,c-6t,

iz^3j-j-—za.b~+c~一片25厂+36r—16?3

由余弦c定rT理m可r得cosA=--------------=---------------------=-.

2bc2x5tx6t4

故选：D.

4.已知/，加，〃表示不同的直线，a,夕，/表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）

A.若///tz,且血/«,则〃B.若。/?,mlla,nL/3,则m//n

C.若加〃/,且〃z_La,贝i|/_LaD.若m_L〃，加J_a,nil/3,则。_L/?

4.【答案】C

【解析】若///£，且相〃e,贝心与加可能平行，可能相交，可能异面，A选项错误；

若。，尸，利//£,nLf3,则加与〃可能平行，可能相交，可能异面，B选项错误；

两条平行直线，其中一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直，C选项正确；

若加，〃，m±a,n///3,则a与夕可能平行可能相交，D选项错误

故选：C

5.抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件4"第二枚硬币反面朝上”为事件2,

则下述正确的是（）.

人.4与8对立B.A与8互斥

C.P（A+B）＞P（A）+P（B）D.A与B相互独立

5.【答案】D

【解析】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），

（反，反），

则事件A包含的结果有：（正，正），（正，反），事件B包含的结果有：（正，反），（反，反），

显然事件A,事件B都包含“（正，反）”这一结果，即事件A,事件8能同时发生，

所以，事件A,事件8既不互斥也不对立，故AB错误.

219131

又因为尸（A）=Z=5，P（B）=Z=5,而尸（A+B）=Z，P（AB）=-,

所以P（A+5）<P（A）+P（5）,P（AB）=P（A）P（B）,故C错误，D正确.

故选：D

6.如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4,且

JT

圆台的母线与底面所成的角为一，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的

3

A.B.16乖6C.

3

6.【答案】B

【解析】根据题意，该圆台的轴截面A3CD为等腰梯形，如图,

JT

所以即为圆台母线与底面所成角，即/DAB=一,

3

分别过点C、。在平面ABCD内作。CFJ.AB,垂足分别为点E、F,

因为CDIIEF,则四边形CD所为矩形，且所=CD=4,

71

因为AD=5C,/DAE=/CBF,ZAED=/BFC=—,

2

所以，_ADEaBCF,所以，AE=BF,且AE=3尸=坐0=殳巴=2,

22

因为ZDAE=-,则DE=AEtan-=2^3,

33

所以，圆台，圆锥的高均为£>E=2石，

所以，该工业部件的体积为

=%）台一%|锥石（兀+兀*兀+12

V=gx2x4,416——X71X2x2^=167371.

3

故选：B.

Ti7iiianCLz/

7.右一7<。<尸<7，且cosasin/?=5,-~~—,则cos（a-/7x）=（）

,底口底

AA.-v-n-DR.--v-n--C.----U.-----

6666

7.【答案】C

sin。

tana2cosa221

【解析】因为~~-=则如g=4,贝作皿。（300〃=可以光。$111/二工，

COSP

所以sin（a-/?）=sinacos/?-cosasin〃=g一;=一、，

JC7C7C

而一Z<tz</?<4，则一5<cr—〃<0,

所以cos（a-/3）=Jl-siM（a-0）=~~~•

故选:C

8.八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图与太极图（图1）的轮廓分

别为正八边形ABC0EFGH和圆。（图2），其中正八边形的中心是点。，鱼眼（黑白两点）P、。是圆。

半径的中点，且关于点。对称.若。4=80，圆。的半径为6,当太极图转动（即圆面。及其内部点绕点

。转动）时，P4QC的最大值为（

F

堂——；AB

（图1）（图,2）

A.39B.48C.57D.60

8.【答案】A

【解析】如图所示建立平面直角坐标系,

71

所以NAOB=—,

4

TT

所以NAOM=—,

8

又因为OA=8日，

所以A(-8A/2sin—,一80cos—),C(8A/2COS—,-8A/2sin—),

8888

由题意知，尸在以。为圆心，3为半径的圆上，且尸、。关于原点对称,

所以设尸(3cos0,3sin0),则Q(-3cos0.-3sin0),

所以

PA-QC=(-8^2sin--3cos。，一80cos乌一3sin6)•(8近cos—+3cos。，一8后sin—+3sin0)

8888

=(一80sin--3cos6)(80cos—+3cos0)+(一8及cos--3sin。)(一8及sin—+3sinO')

8888

=-8后x3x[(cos]-sin：)sin0+(cos曰+sin削cos0-9

=-80x3x^2sin(6+夕)-9=-48sin(8+0)一9,

兀.兀/兀.兀、21.兀

cos—+sin—(cos—+sin—)1+sin—

(tan。=------------=---------------------------=--------=72+1),

兀.兀/7C71、/兀.兀、71

cos——sin—(cos——sin—)(cos—+sin-)cos—

8888884

所以当sin(6+0)=—l时，PA取得最大值为39.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.设4/2*3为复数，且Z3WO,则下列命题正确的是()

A.若㈤=忆|,则Zj=±z2B.若Z1Z3=Z2Z3,则4=

C.若上3『=空3，则Z[=Z3D.若Z2=z，则TZ2Z3I

9.【答案】BD

【解析】对于A,若z=l+i,z2=l-i,则㈤=团，此时Z]W±Z2，A错误;

对于B,'z1z3=z2z3,.-.z3(z1-z2)=0,又Z3W0,二Z]—Z2=0,即4=z2,B正确；

对于C,若2[=马，则Z]Z3=4Z3=上3『，若Z],Z3为虚数，则Z[WZ3,C错误；

对于D,设Z]=a+历，z3=c+di,则Z2=%=a-6i,

4Z3=(a+6i)(c+di)=(ac—6d)+("+Z?c)i,z2z3=(a—6i)(c+di)=(ac+bd)+(〃-Z7c)i,

|ZJZJ|=J(ac-bd)~+(ad+be1a2c2+b2d2+a~d~++>~>

IZ2Z31=yj(cic+bd)~+(ad—be)=Ja-c~+b-d2+a~d~，

.,.IZJZJI=|z2z3|,D正确.

故选：BD.

10.已知一ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()

A.若A<8，则sinA<sin5

B.若。=2,B=j,且该三角形有两解，则G<6<2

C.若粤4=笔目，则」WC为等腰三角形

ab

D.若tanA+tan5+tanC>0,贝U锐角三角形

10.【答案】ABD

ah

【解析】因为A<5,所以a<b,由正弦定理——=——,可知sinA<sin5,故A正确；

sinAsinB

如图，

a=2,B=-,且该三角形有两解，所以asin巴<b<a=2,即也<6<2,

33

故B正确；

由正弦定理可得，,即----\----=-----\----,所以sin2A=sin25,因为

sinAsinBsinAcosAsinBcosB

2A,2BG（0,2TI）,所以2A=25或2A+25=兀，

71

即A=5或4+3=二，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误；

2

因为tanA+tan5+tanC=tan（A+B）（l-tanAtanB）+tanC

=-tanC+tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC>0.且A,5,Ce（0,兀），

所以tanA>0,tan5>0,tanC>0,即A,B,C为锐角，所以为锐角三角形，故D正确.

故选：ABD

11.已知正四棱台ABC。—的所有顶点都在球。的球面上，AB=2AlB1=2,AAl=y/2,E为

BDC]内部（含边界）的动点，则（）

A.朋//平面B.球。的表面积为6兀

C.EA+E4的最小值为2&D.AE与平面所成角的最大值为60。

11.【答案】ACD

【解析】对于A,如图1,

由棱台的结构特征易知M与CG的延长线必交于一点，故Aa,C£共面，

又面AgG2〃面而面441cle）面4用。12=4。1，面AAGC）面ABCD=AC,故

AG〃ac，即ACJ/AO?；

由平面几何易得AG=3,AQ=；AC=gx2夜=母，即AC=AO2；

所以四边形A4|G02是平行四边形，故44〃。1。2，

而A41a面BDG，£。2匚面BZ）G，故9//平面3DC],故A正确;

对于B,如图2,设。1为AG的中点，。为正四棱台外接球的球心，则AO=AO=R,

在等腰梯形AAC。中，易得工(AC—4G)=(V2)2--=-,即O]Q=4I,

-2」I2J22

为方便计算，不妨设QO=a,QO=。，则由4。：+/=402=402=402+〃，

即+"2=(ay+*'即6—尸=g,又a+b=002=,，

解得a=X5/=0,即。与。2重合，故尺=49=正，

2

故球。的表面积为4万7?2=4乃义(、历)=8%,故B错误；

对于C,由图2易得50,002，BDLAC,GO2cAe=。2，OQ、ACu面A41clC,

故3D上面441GC，

不妨设E落在图3E处，过E'作E'EJ/BD,则后骂，面故££，骂4,

故在RtAgE'中，E[A<E'A（勾股边小于斜边）；同理，<E'A,,

所以&A+E|A<EN+E'A，故动点E只有落在G。上，E4+EA才有可能取得最小值;

再看图4,由4关于CQ对称点为C可知，

故E4+MNAC=2夜，故C正确，

对于D,由选项C可知，3。上面A&GC,5Du面BDG，故面441GC，面，

在面AAGC内过A作交C。于p，如图5,

则AFu面A41G。，面A41cle^BDC^C.O,故AF,面故NAE产为AE与平面&)C］所

成角，

AF

在Rt_A£尸中，sinZAEF=——，故当AE取得最小值时，sinNAEF取得最大值，即1AE产取得最大

AE

值，

显然，动点E与。重合时，AE取得最小值，即/AE户取得最大值，且NAEE=NAOE=N£OC,

在△C0C中，ClO=AAl=72,CQ=A4,=V2,OC=1AC=V2,故△G(9C为正三角形，即

N£OC=60。，即AE与平面BOG所成角的最大值为60。，故D正确.

故选：ACD.

第二部分(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.一组数据按从大到小的顺序排列为8,7,x,4,4,1,若该组数据的中位数是众数的3倍，则该组数

4

据的平均值、方差和第60百分位数分别是.

12.【答案】5,y,6

【解析】依题意，将这组数据从小到大重新排列得1，4，4，X,7,8,

4+Y

则中位数=-^,众数为4,

2

4+尤5

由题意知一-=4x-,解得％=6，

24

-1

所以这组数据的平均数为x=5x（l+4+4+6+7+8）=5,

则这组数据的方差是52」,（1一5）2+（4—5）2+（4—5『+（6—5）2+（7_5『+（8—5）［=3，

因为6x60%=3.6,所以这组数据的第60百分位数是6；

故答案为：5,—,6

3

7T

13.中，角A、B、C的对边分别是。、b、c,角C的平分线交边A3于点。.若。=§，。=2,

4

且CD=—,则中最长的边为

3

13.【答案】

jr17T17117T

【解析】因为C=—,由S&BC=SABCD+SAACD,即一obsin—=—〃・CDsin—+—b-CDsin—,

3232626

整理可得〃+6=地"，

4

由余弦定理可得t*2=4=/+/—cos——a?+Z?2—ab=（〃+/?）—3cib-—3ab,

OQ

所以，27（Qb）2—48ab—64=0,即（3QZ?—8）（9“b+8）=0,解得=§或〃6=—,（舍）.

2V3_4A/3

a+b=2y/3a-------a

所以，a+b=3yx—=2^3，3一一3

即,8，解得，L或S

43ab=—_2^3

13h

[33

因为拽〉2〉2叵，故JRC中最长的边为生8,

333

故答案为：生8

3

14.在正四棱柱ABC。—A4Goi中，已知A5=2,A&=1,则点4到平面ABC1的距离为；以

A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为.

14.【答案】①.正②.1。+3凡

56

22

【解析】空1：由题意可得：BC1=A/2+1=751

因为A5工平面3。。1与，BC]U平面BCC4,可得ABJ.BG，

设点A到平面ABC,的距离为d,

则:xdxLx2x若=：><2><LX1><2,解得d=,

因为KVABG=VC,-MB

32325

即点A到平面ABC,的距离为乎；

空2：由题意可知：球A仅与平面A3CD、平面平面ADjA和平面A4G，相交,

因为A3=AD=2,此时球A与平面ABCD的交线30为半径为2的圆的工，

4

则交线的长度为、2兀X2=TT；

4

设球A与棱A片的交点为M,即AM=2,可得=百,

则tan=——=>/3,

4A

ir7L

且NAAM为锐角，则NAAM=乙，即NA4M二一，

36

所以球A与平面ABB^的交线BM为半径为2的圆的g,

17T

则交线的长度为3x271x2=3

123

1JT

同理可得：球A与平面ADDX\的交线DN的长度—X2KX2=1；

可知AM=AN=A所以球A与平面A[B]G2的交线MN为半径为6的圆的;，

则交线的长度为工x27tx用=%；

42

所以球面与该棱柱表面的交线的总长度为兀+2乂四+色=四叶巨兀.

326

故答案为：正;1O+3^7T.

56

D,

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场

到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0,100],（100,200],（200,300],（300,400],

（400,500],（500,600],并整理得到如下频率分布直方图:

频率/组距

0.0034

0.0032

0.0016

0.0013

0.0002

O100200300400500600停车时长/分钟

（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000,根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（400,600]上

的车辆数；

（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请

你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）.

15.【答案】（1）50（2）免费停车时长为153分钟

【解析】⑴根据频率分布直方图中所有频率和为1,设（400,500]的频率为x,

可列等式为（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）xl00+x=l,

x=0.03,

所以样本中停车时长在区间（400,600］上的频率为0.05,

估计该天停车时长在区间（400,600]上的车辆数是50；

（2）设免费停车时间长不超过〉分钟，又因为（0,100]的频率为0.13<30%,

并且（0,200]的频率为0.45>30%,所以〉位于（100,200]之间,

则满足013+（y—100）x0.0032=0.3,

y®153,

确定免费停车时长为153分钟.

16.（15分）

在_ABC中，角A,5c的对边分别为a,Z?,c,（2Zj-c）cosA=acosC.

⑴求A；

（2）若的面积为边上的高为1,求的周长.

16.【答案】（1）|（2）276+273

【解析】（1）因为（2Z?-C）COSA=QCOSC,

由正弦定理，得（2sin5-sinC）cosA=sinAcosC,

即2sinBcosA=sinAcosC+sinCeosA，即2sinBcosA=sinB.

因为在二A5c中，sinB0,

所以cosA=工.

2

7T

又因为0<4<兀，所以A=：.

（2）因为,ABC的面积为石，

所以5axi=V3,得尊=2M-

由L/jesinAuJ^,即Lbcx且=百，

222

所以Z?c=4.由余弦定理，得/=82+02-2bccosA，BP12=Z?2+c2-be>

化简得（b+c）2=3bc+12,所以（6+C）2=24,即6+C=2«，

所以ABC的周长为a+〃+c=2的+26.

17.（15分）

每年的3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识

竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知

43

在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为歹，-；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为0,q.

甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.

⑴若0=%求甲恰好胜出一轮的概率；

96

（2）若甲、乙各胜出一轮的概率为一，甲、乙都获得优秀的概率为一.

5025

3）求?，q,的值；

（ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率.

1723223

17.【答案】（1）一（2）（i）p=~,q=，（ii）■-

4034300

【解析】（1）设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件4，

“甲在第二轮竞赛中胜出”为事件4,

“乙在第一轮竞赛中胜出”为事件与，

“乙在第二轮竞赛中胜出”为事件当，

则A，A,B［,与相互独立，

43

且P（A）=丁尸（4）=P，PW=~，P（B^=q.

设“甲恰好胜出一轮”为事件c,

则C=A4+A4，A4，A4互斥.

当p=|时，P（C）=P（4A+AA）=P（AA）+P（AA）

=P（A）P区）+P（QP（4）

431517

=—x—+—x—=——.

585840

517

所以当p=—,甲恰好胜出一轮的概率为一.

840

（2）由（1）知，（i）记事件。为“甲、乙各胜出一轮”，

事件E为“甲、乙都获得优秀”，

所以。=（4A,+44昆+4丹），E=.

因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响，

所以=（与瓦+瓦§2）

=［尸（A兀）+尸（44）］［尸。瓦）+尸（瓦幻］

=[p（4）p（X）

9

50

436

P（E）=P（A44&）=p（A）p（4）p（4）p（B2）=mpxp=云,

2i

24-8q-18p+6pq-9=0p=—P=—

33

则1,解得＜3或；（舍去）.

pq=aIq=一

2

23

综上，p——,q=一.

34

（ii）设事件G为“甲获得优秀”，事件H为“乙获得优秀”,

于是GuH="两人中至少有一人获得优秀”，

8Q

且尸（G）=P（A4）=百,尸⑻=尸（用坊）=丁,

所以尸®=1—P（G）=1—P（H）=1-P（H）=1-^=11,

所以「（Gu"）=l—P（西=1—P（G）P⑻=1一制

223

故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为——.

300

18.（17分）

如图，在圆锥PO中，AB是底面的直径，且PO=3,AB=4,/R4c=30°，/是BC的中点.

（1）求证：平面P6C1平面POM；

（2）求二面角CHPB-C的余弦值.

18.【答案】（1）证明见解析（2）走

4

【解析】（1）如图，由题意，A3是底面的直径，.•.ACLBC,

。为A3的中点，M为3C的中点，则OM//AC,

则OMLBC，而尸01平面ABC,BC<=平面ABC,

则PO15C,

又POOM=O,POu平面POM,OMu平面POM

.•.BC_L平面POM,

又5Cu平面PBC,平面PBC±平面POM；

(2)在平面ABC中，过M作垂足为E,

在平面中，过E作石户，PB,垂足为尸，

连接MF，

：P01平面ABC,MEu平面ABC,二PO，"E,

又ABPO=O,ABu平面R45,POu平面E4B,

二人阳，平面上45,P3u平面