2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟卷1

2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟01

答案解析

1.B

【解析】由『7-41=女2，得

1+211

2+4i(2+4i)i2i-4〜,曰厂〜

故z-l=：x(l+2i)=—；一=——-——=-----=-21+4,得z=5-2i.

iii—1

故选：B.

2.B

【解析】设母线长为/，依题意得，兀/=2TTX3,解得/=6,于是圆锥的高为后二于=36，

根据圆锥的体积公式，其体积为：兀x32x36xg=9岛.

故选：B

3.D

【解析】对于A,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，

丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5"，则两次取球的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),

所以事件甲丙可能同时发生，不是互斥事件，A错误；

对于B,乙表示事件“第二次取出的球的数字是6"，

丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5"，是互斥不对立的事件，B错误；

对于C,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，

丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，

则两次取球的情况有(1,1),(1,3),(1,5)等，所以甲丁可能同时发生，不是互斥事件，C错误;

对于D,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5"，

丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，两个事件不会同时发生，是互斥事件，D正

确;

故选：D.

4.C

【解析】如图所示，延长A。交BC于E,

由已知。为他C的重心，则点E为BC的中点，可得AO=2OE，且AE=；(AB+AC卜

又由8C=4OC，可得。是3C的四等分点，

则0D=0E+ED=1AE+1BC=JX1(A8+AC)+1(AC-A8)=-LA8+』AC,

3432、,4、'1212

、15AH1

因为O£)=根A5+〃AC,所以加=一一，〃=­，所以一二一

1212n5

故选：C.

5.C

【解析】对于A,极差为300,小区用电量平均数为

50x0.0024x75+50x0.0036x125+50x0.0060x175+50x0.0044x225

+50x0.0024x275+50x0.0012x325=186,故A错误；

对于B,小区用电量众数为竺(四=175,

因为50x(0.0024+0.0036)=0.3,50x(0.0024+0.0036+0.0060)=0.6,

故小区用电量中位数在口50,200),设为加，

贝“0.3+(m-150)x0.0060=0.5,解得根=?，故B错误；

对于C,因为50x(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)=0.82<0.85,

50x(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024)=0.94>0.85,

故估计小区居民月用电量的85%分位数在［250,300),设为x,

则。82+0-250)x0.0024=0.85,解得了=262.5,故C正确;

对于D,样本中小区用电量不小于250kW-h的频率为0.0024x50+0.0012x50=0.18,

所以小区用电量不小于250kW-h的约有2000x0.18=360户，故D错误.

故选：C.

6.A

【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，与面平行的面且截面是六边形

时满足条件，如图所示

正方体边长为1,即EF//AB

设竺=2,则军=用£=2,

1

以AtB人」A由

:.^-=^-=l-A,:.EF+NE=y/2A+42(l-A.}=y/2,

同理可得六边形其他相邻两边的和均为0,

六边形的周长/为定值3板，

正三角形的面积为工x0xJ5sin6O=也.

22

当M,N,瓦凡G,9均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大,

.1截面从平移到3cA的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故

可得周长/为定值，面积S不为定值.

故选：A

7.C

【解析】因为钻=6,BC=8,AC=10,所以AB2+3C2=AC2,故

取AC的中点。，则。点在底面的射影为。，连接OROC,则OP=OC,

又尸至hABC的三边距离均等于4,故点尸在底面的投影N为ABC的内心，

过点N作垂足为S,作MTLBC,垂足为T,作MWLAC,垂足为M,

p

故四边形BSVT为矩形，又NT=NS,故四边形BS7VT为正方形，

设NT=NS=BS=BT=r,贝l|AS=AM=6—r,CT=CM=8-厂，

所以AC=/VW+OW=6—r+8-r=10,解得r=2,贝1JPN==2百,

过点。作OWLPN,垂足为W,

设0£）=力，贝i|W2V=/z,PW=PN-Wy=2j5—/z,

如图，以3C,A3所在直线分别为羽丫轴，建立平面直角坐标系，

则N（2,2）,O（4,3）,则0V=44-2）2+（3-2）2=书,

其中OW=OV=6,

由勾股定理得R2=OD2+CD2=川+25,

OP2=OW2+PW-=5+（2A/3-/1）2,故层+25=5+（2右一/7『，解得〃=孚，

47Q7Q316TT

贝I4="+25=§+25=彳，贝ij外接球的表面积为4元代=4兀•T=詈.

故选：C

8.C

【解析】在等腰△ABC中，|A@=|AC|=1,/4=120°,则AC=|A8||AC|cos4=,

分别是边A8,AC的点,

：.AM=^(AF+AE)=^juAC+AAB),AJV=1(AB+AC),而

MN=AN-AM=^[(l-A)AB+(l-iu)AC],

两边平方得：

-21221

MN"=-[(l-A)2AB-+2(1-2)(1-//)AB-AC+(1-u)2AC-]=-[(1-A)2-(1-2)(1-z/)+(l-^)2]

44

/+〃2f—〃+l,而4+2〃=i,

4

74%+17(〃-D，又4〃e(O,l),即〃

一4一4

,当〃=£时，物厂最小值为三，即|加必的最小值为立1.

7281114

故选：C

9.AD

【解析】对于A,设％,z?对应的向量分别为,OZ2,则由向量三角不等式得

joZ]-oz^<\pz^+\pz^,

所以归-即＜闻,国恒成立,故A正确;

对于B,取Z]=-l+i,z2=-2+i,但团=£,㈤=百，故B错误；

对于C,当4=l+i,Zoul-皿,L—ZzkzTz+ZzI，而Z「Z2=2,故C错误;

z,1+i(1+i)22i

对于D,==故D正确;

-=(i_i)(1+i)T

故选：AD.

10.BCD

【解析】观察频率分布直方图，

对于A,该地农户家庭年收入的极差约为14-3=11,A错误;

对于B,数据在[2.5,8.5)的频率为0.02+0.04+0.1+0.14+0.2+0.2=0.7,

数据在[2.5,9.5)的频率为0.8,因此75%分位数me(8.5,9.5),(m-8.5)x0.1=0.05，解得m=9,

B正确；

对于C,数据在[4.5,8.5)内的频率为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5,C正确；

对于D,庭年收入的平均值M=3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7*0.2+8X0.2

+9x0.1+10x0.1+11x0.04+(12+13+14)x0.02=7.68(万元)，D正确.

故选：BCD

11.AC

【解析】由正三棱柱的特征易知匕ABC=LBB°S巫,即A正确;

D|-/loc3iADC343

V=V=V=v=3后,即B错误；

vvrv1

Bi-ABCiC,-ABBiC-ABBXABC3p八，

连接BO，在VAqC中，易知M=B]C=在万=2忘,AC=2,

即VAB.C为等腰三角形，所以SMC=gACx卜河=用，

设点C到直线A4的距离为ZinLxAq=#■=>〃=巫，即C正确，D错误.

212

故选：AC

【解析】由题图知，这10名同学的得分为3,6,6,6,6,6,7,8,9,10,

因为10x80%=8,所以80%分位数为第8与第9个数据的平均数，即为一8+^9=8.5.

17

故答案为：—

【解析】如图:

5G

Ar―--------|Bi

一

ANB

取AA的中点E,连接DE,EN,因为DECM,故NEDN即为异面直线DN与CM所成

的角.

在.DEN中，DE=DN=下,EN=及，

DE?+DN?-EN?5+5-2_4

由余弦定理:cosZEDN=

^DEIDN2国乖一

、4

故答案为：—

14.9

3

【解析】取。。的中点尸，连接瓦"如图,

因为£是人。的中点，则EF//AD,于是是异面直线A。与班所成的角或其补角，

令BD=a,而AB,BC,3D两两互相垂直,则BF=—CD=—da2+4,EF=—AD=—yja2+4-,

一2222

在等腰跖中，BE=；AC=6,cosNBEF-2M,解得a=4,

-EF正荷10

111Q

显然ABI平面5CD,所以四面体的体积为V=—x—x3Cx3Ox3A=—x2x2x4=—.

3263

故答案为：g

15.(1)2；(2)722;(3)y.

【解析】(1)a-b=|a||z?|cos-1=A/2X2V2X^-=2.

(2)由,=Q?+2〃,Z?+Z?2=]6,•Z?=3，

所以,一2b『=〃2—4〃必+4/=2—4x3+4x8=22.

故H-2”后.

(3)由题意得a•(〃+》)=0,即J+〃.》=(),得〃.〃=_/=_2,

7a-b-21

斫ricosa,b=一j—।=—------T==——

加以\a\\b\0x202-

因为兀],所以(a,6)=g,

2兀

即向量a/的夹角为三.

37r

16.(1)—；(2)选①4)=4；选②AD=4.

【解析】(1)因为V5/?cos5+acosC+ccosA=0,

所以sin3cosB+sinAcosC+sinCcosA=0，

所以A/2sinBcosB+sin(A+C)=0,

所以^2sinBcosB+sinB=0，

因为0<3<兀，所以sin5w0,

所以cosB=,

2

所以2=—37r.

4

(2)选①，因为4ABe的面积S=2,

_1371

所以S=2=—Qcsin——,

24

即走。=2,a=20，由余弦定理得

2

所以AC=7c2+a2-2ac-cosfi=275，

4+20-8_2

所以cos/CA5=

2x2x2君一君

因为AC平分-54£),

M+20-42^5

所以cos/C4£>=

2-245-AD"I"

所以">=4,

选②，因为AC=2石，在一ABC中，由余弦定理：

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,

即（275）2=22+BC2-2-2-BCcos—,

4

所以BC=2忘，

202有

因为sin/BAC一.3%，

sin——

4

所以sinZBAC=g,

5

因为AC平分/BAD,所以sin/D4C="，

5

因为CD=2,AC=2娼,由正弦定理得，

•/D4r^^7H>所以./nACsin/ZMC2^-T.，

sinADACsinZ£>sm/D=--------------=-------=1

CD2

又/。«0,兀），所以ND=g,

所以AWC是直角三角形，且NAOC=90°,

所以AD=4.

9

17.（1）90；（2）90；（3）-

X

【解析】（1）由题意得，丞而=0.045,;.x=90.

（2）由（1）得，C组样本总个数y+z=2000—（673+77+660+90）=500.

现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个样本，

则在C组抽取的个数为360x[g=90.

2000

（3）设“该疫苗没有通过测试”为事件

,y+z=500,y>465,z>25,

故，C组的测试结果中疫苗有效与无效的基本事件（y,z）有11个，它们是：

（465,35）,（466,34）,（467,33）,

（468,32）,（469,31）,（470,30）,（471,29）,（472,28）,（473,27）,（474,26）,（475,25）,

因疫苗有效的概率低于90%时认为测试没有通过，即当673；黑+〈<0.9,即><467时认

为测试没有通过,

，事件/包含的基本事件有2个，它们是：(465,35),(466,34),则p(M)=^,

——29

・二所求概率为尸(M)=l-P(M)=1-

18.(1)证明见解析；(2)1；(3)且

2

【解析】(1)连接AG交4C于点E,连接OE,

因为四边形例GC是矩形，则E为AG的中点，又。是AB的中点，

所以DE//BQ,又DEu平面C&。，BGa平面CAQ,

所以BG〃平面0y)；

(2)由于AC=BC,则。是AB的中点，AB1CD,

因为例_1平面A3C,CDu平面A3C,所以抽1_。。，

又44,AB=A,A41u平面A4］与B,Mu平面A41g8,

所以CD,平面A4百B,

所以。是三棱锥C-A4£＞的高，又S,4如=gx2x^=若，

所以!一破=Vc-AtB,D=|XCD=1XV3X^3=1.

(3)记点片到面距离为d,直线A由与平面4DC所成角为巴

由(2)问CD,平面惧48,

又CD,平面肌耳8,ADu平面MgB,所以COLAQ,

又CD=6,A^D―(^12+^\/3j=2»所以S=

V

又VB「ADC=C-A,B,D,即?小有=1,解得”=若,

所以sM源弋，即直线44与平面所成角的正弦值为当

19.(1)^；(2)①3(2-逝)；②存在，0=k=^-

53，

cosA_cosB+cosC匚匚…小十r〃目cosAcosB+cosC

【解析】(1)因为'所以由正弦定理可得审=sinB+sinC

ab+c

所以sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,

所以sinAcosB-cosAsin5=cosAsinC-sinAcosC,所以sin(A-5)=sin(。一A),

71717171

因为A,反C是直角三角形内角，故A-,C-AG

292292

贝lj(A—5)+(C—A)£(―兀,兀)，所以A—B=C—A,

BP2A=B+C,又A+8+C=7t,

所以A=4；

(2)①因为cw23,所以8=g(否则C=g时会推出c=26),

又A=],