2023-2024学年吉林省G6教考联盟高二年级下册7月期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年吉林省G6教考联盟高二下学期7月期末考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={x|2x-2<1},B=[x\x+220},则2n8=()

33

A.[-2.|)B.(-2.1)C.[-2,+oo)D.[—l,+8)

2.命题uVxe(0,1),x2>In]”的否定是(

A.VxG(0,1),x2<In%B.Vxg(0,1),x2>Inx

C.3%6(0,1),x2<In%D.3%《(0,l)>x2<In%

3.函数/CO=吗券的图像为()

4.已知函数/(%)=3/,(l)x-4x2-21nx,则/''(1)=()

A.5B,4C.-4D.-5

5.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构

成一般不动点定理的基石.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数/（功，存在一个点与，使得/（右）=

沏，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）

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A./(%)=%+§B.f(%)=In%+1

C./(%)=ex+1D,/(%)=2x2+2%+1

6.7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1

人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有()种.

A.720B.1050C.1440D.360

7.已知正数％,y,z,满足3久=4'=6Z,则下列说法不正确的是(

111112

«+方=』B,x>y>zC-z+7<yD.3X<4y<6z

111

8.若a=e工，b=",c=逆，贝|()

A.b<c<aB.a<b<cC.c<a<bD,b<a<c

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求。

9.下列说法中，正确的命题是()

A.在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数r越大，则样本的线性相关性越强

B.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程夕=&+标中，b=-2,x=l,y=3,

则2=5

C.在回归分析中，决定系数朋的值越大，说明残差平方和越小

D.以模型y=ce"去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到线性方程

z=0.3%+4,则c,k的值分别是e4和。.3

10.下列命题是真命题的是()

,,11

A.右一<T,贝！Jlna>In/?

ab

B,若a+2b=3,则2a+4^>4#

C.若Q>b>0,则-[c>2

D.若正实数a,b满足1+3=1，则六+言的最小值为6

CLDCL—1D—1

11.已知定义在7?上的函数/(乃满足/(2*+6)=/(—2乂)，且/Q—1)+/(久+l)=/(—2),若/'(|)=1,则

()

A./(2024)=08)(%)的对称中心为(一3,0)

C./(%)是周期函数D£驾(T)9/(k—分=2025

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

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12.(6—39的展开式的常数项为.(用数字作答)

13.已知函数/(X)=｛配:：—?广工“，对于任意两个不相等的实数均，冷6R,都有不等式

<0成立，则实数a取值范围为.

14.有n个编号分别为1,2,…，九的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑

球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从

第九个盒子中取到黑球的概率是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

4m—

己知累函数/'(久)=X―2—(rneZ)的图象关于y轴对称，且f(久)在(0,+8)上单调递增.

(1)求m的值及函数/(%)的解析式；

(2)若f(a-2)</(1+2d),求实数a的取值范围.

16.(本小题12分)

1H

设函数f(x)=alnx--+1,其中在aeR,曲线y=/(久)在点(l,f(1))处的切线垂直于y轴.

(1)求a的值；

(2)求函数/O)极值.

17.(本小题12分)

目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试

和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考

试的笔试，笔试成绩KM60,102),只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节.

(1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中,进入面试的人数(结果只保

留整数)；

(2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为设这3名考生中通过面试的人

数为工求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据:若X-MXM),则<X<jU+cr)«0.6827,〃+2<7)=0.9545,尸(〃-3。<X</2+3<7)~

0.9973.

18.(本小题12分)

在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学

生，其中男生和女生人数之比为1:1,现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不

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超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人,

“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.

男生女生合计

喜欢食堂就餐

不喜欢食堂就餐10

合计100

(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值a=0.001的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性

别有关；

(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一

个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为专若星期二选择了②号套餐，则星

期四选择①号套餐的概率为《，求甲同学星期四选择②号套餐的概率.

(3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X.事件"X=k"的

概率为P(X=k),求使P(X=k)取得最大值时k的值.

2a+b+c+d

参考公式：x=Qa+b^+axa+cXb+dy其中兀=-

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910,828

19.(本小题12分)

已知函数/O)=e'-a%(e是自然对数的底数).

(1)讨论函数/(久)的单调性；

(2)若g(x)="(*-1)-alnx+/(X)有两个零点分别为"x2.

⑴求实数a的取值范围；

e2

(ii)求证:%i%2>■产］+%2.

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答案解析

1.A

【解析】解：,.・力={x\x<2)<B={x\x>-2},

3

AC\B=[—2,—

故选/.

2.C

【解析】

解：命题“Vx6(0,1)>%2>inx"的否定是"mxE(0,1),x2<lnxn.

故选C.

3.0

【解析】解：函数/(久)=比的定义域为{乂)#0},

且/'(—%)=3沪=—9=-住,

函数/(x)为奇函数，4选项错误：

当x>l时，八久)=等三=3^=能一0函数单调递增，故2C选项错误;

故选D

4.A

【解析】解：(。)=3f(l)-8x-|,

令x=1,可得/(1)=31(1)—8—2,解得r(1)=5.

5.B

1

【解析】解：对于4令/'(x)=x+-=%,

1

即一=0,而％W0,

X

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所以方程《=0无根，

所以函数/(X)不是"不动点"函数，故/不正确；

对于B,令伉x+l=x,不难看出x=1是该方程的根，

所以/(%)是“不动点”函数，故3正确；

对于C,令=ex+1=x,即x+l=O,

令g(x)=ex—x+1,则g'(x)=ex—l=0,得x=0,

当x<0时，g'(x)<0,。(久)在(-8,0)单调递减，

当x>0时,g'(x)>0,g(x)在(0,+8)单调递增,

所以g(x)》g(0)=e°-0+1=2>0,

所以方程e，—％+1=0无根，

所以函数f(x)不是“不动点”函数，故C不正确；

对于D,令/'(X)=2x2+2x+1=x,得2/+%+1=0,

因为4=1-4x2xl=-7<0,

所以方程2比2+x+1-0无根，

所以函数f(x)不是“不动点”函数，故。不正确.

故选反

6.B

【解析】解：由题意可知，7名研究员的安排可以是按人数为1,3,3分为3组分到三个研究舱,

或者是按人数为2,2,3分为3组分到三个研究舱，

按人数为1，3,3分为3组分到三个研究舱，共有隼遐•“=420(种)安排方案，

按人数为2,2,3分为3组分到三个研究舱时，共有笔弊2^=630(种)安排方案，

出

故共有420+630=1050(种)安排方案.

故选B.

1.C

【解析】解：&选项，因为正数x,y,z,满足3x=4〉=6z,

令3X=4〃=6?=k(k>1),

则久=log3/c,y=log4/c,z=log6/c,

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Ill-1

所以7+与=logfc3+5logM=log3+log2=log6故"正确；

AL.kfcfzc

B选项，因为k>l,所以0<logk3<logM<logk6,

所以康>氤>氤，即log3k>log4k>10g6%

即久>y>z,故8正确；

112

c选项，-+-=log/c3+logfcG=log/,18>logfclG=21og/c4=故C错误；

。选项，3x=3log3k=log^/c

Igk

4y=410g4k=log^fc=筋，

Ig/c

6z=610g6k=log^fc=标，

因6<8<9,

所以（m）6<（避）6<（方）6,所以*<退<避，即0<lg乖<lg口<lg4,

又Igk>0,故6z>4y>3x,故。正确.

故选C.

8.0

【解析】解：令人无)=野，则ro)=与"，

当x〉e时，f(x)<0,函数>x)单调递减;

当0<x<e时,f'(x)>0,函数<x)单调递增,

因为a=&，所以Ina=，n2=瞿=/(4),

又Inb=^=/(e),e<4,所以/(e)>/(4),

所以Ina>Inb,

故a>b,

因为.a=1<e12G<B

/oiii1i

T7中汨退_32_32_36_3石

又因为3后—1—11—1—1（»<1,

706m23x332346

故c=邓>平,从而有c>a,

综上所述：b<a<c.

故选D

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9.BCD

【解析】解：对于选项人,应是相关系数m越大，则样本的线性相关性越强，则错误；

对于选项B,

b=-2,x=1,9=3代入回归直线方程为y=2+5%,即3=2-2,则2=5,正确；

对于选项C,显然正确；

对于选项。，对y=ce"两边取对数得Iny=Inc+fcx,设z=Iny,贝!Jz=kx+Inc,与z=0.3x+4比较

得，贝!J4=lnc,k=0.3,即c=e3正确.

10.BD

【解析】解：a项，当a<o,6>0时，满足(<《，但Ina都没有意义，故/项为假命题;

B项，a+2b=3,2a+#2212a，4b=2,2。+2b=2停=4避,等号成立时，a=26=|,故8

项为真命题;

C项，可举反例，若令a=5,"4,c=f则言=%||<3祟即a>20,但黑若故C

项为假命题；

。项，若正实数a,b满足?+/=1,贝他=金=言>0,解得a〉l,同理6>1,

则」7+Ry=+，，=1]+9(a—])>2—^—r'9(a—1)=6,

a—1b—1a—11a—1\a—1、'

当且仅当a=3时成立，所以A+磊的最小值为6,故。项为真命题.

5U—1D—1

11.ACD

【解析】解：因为/。-1)+/(%+1)=[(-2),

所以/(久+l)+/(x+3)=/-2),BP/(x-l)=f(x+3),故/(x)=/(x+4),

所以/(%)是周期为4的周期函数，则C正确.

令x=-1,得f(-2)+/(0)=/(-2),贝妤(0)=0,从而/(2024)=/(0)=0,故/正确.

因为f(2x+6)=/(—2x),所以/(x+6)=/(-%),所以/(—x)=f(x+6T2)=f(x—6),

故/(久)的图象关于直线X=-3对称，则3错误.

易得/'(%)的周期为4,且其图象关于直线％=-3及工=3对称，则直线x=-3+4/及％=3+4n(nGZ)均

为/(%)图象的对称轴，

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从而八一2)=/(0)=0,/(|)=/(|)=1.

令x=5,得/弓—1)+/弓+1)=0,

即脸=-/(|)=T，则解)=/(!)=/(|)=T，

故戏写(-=-/(1)+2/(|)-3/(|)+4符…-2025/(喈)

=(1-2-3+4)++(2021-2022-2023+2024)+2025=2025,故D正确.

12卫

,2

【解析】解：(依-；)9的展开式通项为Tr+1=圆■(S9T.(一；)'=/•(一9'•X号,

令守=0,解得r=3,所以，展开式中的常数项为或(一1)3=-段.

故答案为：■

13.[-7,-5]

【解析】解：因为对于任意两个不相等的实数小，XGR,都有不等式“三)？3)＜0成立,

2X1—X2

所以函数y=/(%)在R上单调递减，

又因为当％时，f(x)=\x2+4x-5|=|(x+5)(x-l)|,

作出y=|/+4%—5］的图象，如图所示：

由此可得函数在(一8,-5］和(一2,1)上单调递减，

又因为当久时，/(x)=ax-33,且函数在R上单调递减,

一5

所以a<0解得一7＜。＜-5,

a2+4a-5>a2—33

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即实数a取值范围为[—7,—5].

故答案为[—7,—5].

145Vx(扔t

【解析】解：记事件4表示从第爪=1,2,,n)个盒子里取出黑球，

则P(4i)=1，P西)号，

12316

P(&)=PGM2)+=PG41)P(42阂)+P西P02I砧="X4+.Xt=/，

4-D4-31Z

211117

P(&)=PG42)P(4")+P西P(&I⑸=P(&)xq+P西X：扛PQ42)+A/，

进而可得PQ4„)=P(^n-1)X|+P(mx|=PGV1)X|+[1_PQ4n_D]x|=W(an_i)+1,

(n>2),

,即P(4)-六加(4-I)T，

1111111

又P(41)-；,P^2)->=一占'PJ2)g=抑⑶)g]，

X

.••{P(4J-}是首项为3，公比为守的等比数列，P(xn)4=4《)7，

xn1

•••P(Al)=|4^--

15.解：(1)由幕函数在(0,+8)上单调递增知，

若应>000<根<4,

又mGZ,m=1,2,3,

3

当m=1或m=3,/(%)=京不符合题设；

当租=2,/(%)=/为偶函数，关于y轴对称，符合；

综上，m=2且/(%)=%2；

(2)由/(%)=/为偶函数，开口向上，

且f(a-2)</(1+2a),

所以|a-2|<11+2a\,

两边平方，得a?—4a+4<4a2+4a+1,

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化简得3a2+8a—3>0,解得a>^|'或a<—3,

故实数a的取值范围(-8,-3)UR+8).

【解析】(1)由基函数的单调性求得0<机<4,由机eZ,通过检验即可求解;

(2)由已知得|a-2|<|1+2可，两边平方，即可求解实数a的取值范围.

16.解：(I)；/(久)=5+七V

由题意可得：曲线y=/(")在点(1)(1))处的切线的斜率为0,

即.(1)=a+；—[=0,解得a=1.

(2)由(1)可得：f(x)=]+**5匕产+%>0),

令((%)>0,则0<%<1,

令,。)<0,则％>1,

则/(%)在(1,+8)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

1

故/(久)有极大值/⑴=-p无极小值.

【解析】(1)求导，根据r(i)=o运算求解；

(2)求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值.

17.解：(1)由题意可知〃=60,a—10,

则P(f>70)=P(f>〃+o)=1~P(|X~/z|-ff)^0,15865,

则共10000X0.15865=1586.5,即1586人进入面试；

(2)由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,

1111

则P(X=0')=-x-x-=—,

=l^)=3-x1-x1-,+1-x2-x1-,+1-x1-x1-1=-

321,311,12111

P(X=2)=-x-x-+zx-x-+-x-x-=—

43211

P(X=3)=4X3X7=4

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

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X0123

11111

p

244244

故E(X)=°x/+。义扛2义芫+3义»曾

【解析】(1)由题意可知〃=60,c=10,根据正态分布的性质即可求出概率.

(2)分析可知随机变量X的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机

变量X的分布列，进一步可求得E(X)的值.

18.解：⑴

男生女生合计

喜欢食堂就餐402060

不喜欢食堂就餐103040

合计5050100

零假设H。:假设食堂就餐与性别无关，

由列联表可得/=I。鬻°2°)2x16.667>10,828,

50X50X60X40

所以依据小概率值a=0001的独立性检验，我们推断“。不成立，

即认为学生喜欢食堂就餐与性别有关联.且此推断犯错误的概率不大于0.001.

(2)记星期二选择了①号套餐为事件公，选择②号套餐为4，

星期四选择了①号套餐为事件名,选择②号套餐为私,

I

则P(4)=P(42)W，P(B1\A1)=j,P(B1\A2)=l，

所以P(BD=PJDPC+P(42)P⑸|&)=|x|+|x|=g,

所以P(&)=l-P(Bi)=

(3)依题意可得学生“喜欢食堂就餐”的概率P=毁=|，

则§SB(10,1),

k10fek10k

所以P(f=k)=C^0(1)-(l-|)-=C^0(|)-(|)-(0<k<10且kGN),

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尸

rf>尸f

\-c--c+

pr-f>p-f

若P(f=k)取得最大值,vlc-c

-1)席】(|)1(|广刘

r231k

>

--xO-+

551

解

即31>2-<-<

Xl-k

-5-

15

【解析】(1)列出列联表，然后计算%徐霖吃各即可；

□UX3UXOUX4U

(2)记星期二选择了①号套餐为事件公，选择②号套餐为乙，星期四选择了①号套餐为事件当,选择

②号套餐为B2,然后得到P(BD，再利用P(%)=1-P(BQ求解即可；

2

-

5

(3)依题意可得fsBQO,)然后解不等式组2

-1。-\备喀1(2)11即可，

5

19.解：(1)已知函数f(x)=ex-ax,函数定义域为R,

可得((%)=ex-a,

当。<0时，/'(%)〉0恒成立，所以函数/(%)在R上单调递增；

当a>0时，

当工<仇(2时，当(%)<0,/(%)单调递减;

当久时，/'(%)>0,/(%)单调递增，

综上，当。<0时，/(%)在R上单调递增；

当a>0时，/(%)在(-8,M口)上递减，在(仇a,+8)上递增；

(2)①已知g(%)=exQx—l)—alnx+/(%)=xex-alnx—ax,函数定义域为(0,+8),

若9(%)有两个零点分别为%1，%2，

不妨设%(%)=xex-alnx-ax=xex—aln{xex},函数定义域为(0,+oo),

此时函数h(%)有两个零点，

不妨设t=%u久，函数定义域为(0,+8),

可得y=(%+l)ex>0恒成立，

所以函数t=%e久在X>0上单调递增，

此时g«)有两个零点，

因为g'(t)=讨=皆

当a<0时，g'(t)>0,g(t)单调递增，不满足条件；

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当a>0时，

当OVtVa时，g，(t)<0,g©单调递减；

当t>a时，g，(t)>0,g(t)单调递增，

所以g(t)巾讥=g(a)=a-alna,

若g(a)>0,此时a-a仇a>0,

解得0VaVe,

可得g(t)>0恒成立，没有零点，不满足条件；

若g(a)=0,止匕时a—a仇a=0,

解得a=e,

此时9(1)有且仅有一个零点，不满足条件；

若g(a)<0,此时此时a—a仇a<0,

解得a>e,

又g(l)=1>0,g(e)=e—a<0,g(e。)=ea—a2>0,

此时g(t)在(l,e),(e，O上各存在一个零点，满足条件，

综上，a的取值范围为(e,+8)；

②证明：要证％62>/片，

即证：Inxi+Znx2>2—(%i+%2)»

X2

即证1noie透)+ln(x2e)>2,

X2

由①知力1=%送久1,t2=x2e,

此时需证,打+lnt2>