2022年广东省深圳市坪山区中考数学一模试题（解析版）

2022年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个

是正确的）

1.如图，该几何体的左视图是（）

D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【详解】解：从左边看是一个正方形被水平的分成3部分，中间的两条分线是虚线，故C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚

线.

2.一元二次方程无27-1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【答案】A

【解析】

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断.

【详解】解：\•根的判别式A=（—1）2—4x（—1）=5〉0,

/.方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

【点睛】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程。无2+笈+°=0（。0）的根与判别式△的关系是解答此

题的关键.总结：一元二次方程根的情况与判别式A的关系：（1）A>0o方程有两个不相等的实数根；

（2）A=0=方程有两个相等的实数根；（3）A<0o方程没有实数根.

3.若4（2,4）与6（—2,0）都是反比例函数丁=人（左/0）图象上的点，则a的值是（）

x

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】先把用人2,4）代入确定反比例函数的比例系数k,然后求出函数解析式，再把点（-2,a）代入可

求a的值.

【详解】解：：点4（2,4）是反比例函数y=，4/0）图象上的点；

・・・k=2X4=8

Q

・••反比例函数解析式为：丁二一

X

Q

•.•点8（—2,a）是反比例函数y=—图象上点，

X

：.a=-4

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数

的解析式是解答此题的关键.

4.解一元二次方程N-2X=4,配方后正确的是（）

A.（x+1）2—6B.（尤-1）2=5C.（尤-1）2=4D.（x-1）2=8

【答案】B

【解析】

【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

【详解】解：；炉-2%=4,

.,.x2--2x+1=4+1,

即（X-1）2=5,

故选：B.

【点睛】本题考查解一元二次方程——配方法，解题步骤是：二次项系数化为1;常数项移项到等号右、

未知项移到等号左；两边都加上一次项系数一半，进行配方.

5.在平面直角坐标系中，将抛物线>=尤2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物

线的解析式是()

A.y=(x-1)2+2B.y—(x-1)2-2C.y—(x+1)2-2D.y—(x+l)2+2

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象的平移规律，可得答案.

【详解】解：将抛物线丁=必向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式

是y=(无-1)+2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求

函数解析式是解题的关键.

6.如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力

表中最大的“E”字高度为72.7mm,当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为()mm

A.4.36B.29.08C.43.62D.121.17

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，得NC4B=NE4D、ZABC二ZADF=90。,结合相似三角形的性质，通过相似比

计算，即可得到答案.

【详解】根据题意，得NC4B=NEM>,且/ABC=NAD歹=90°

/.AABCsAADF

.BCDF

"AB~AD

72.7x3

：.DF=B^=43.62mm

AB5

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解.

7.如图，△ABC的顶点A、B、C、均在OO上，若NABC+/AOC=90。，则NAOC的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.70°

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由题意可知，/ABC和NAOC是同弧所对的圆周角和圆心角，所以NAOC=2/ABC,

又因为NABC+/AOC=90。，所以NAOC=60。.

故选C.

考点：圆周角和圆心角.

8.下列命题：

①有一个角等于100°的两个等腰三角形相似；

②对角线互相垂直的四边形是菱形；

③一个角为90。且一组邻边相等的四边形是正方形；

④对角线相等的平行四边形是矩形.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据相似三角形判定定理，菱形、正方形、矩形的判定定理逐项判断即可.

【详解】解：①有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，是真命题；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法是假命题；

③一个角为90。且邻边相等的平行四边形是正方形，故原说法是假命题；

④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，

故真命题有①④，共2个，

故选：B.

【点睛】本题考查命题与定理，掌握相似三角形判定，菱形、正方形、矩形的判定是解题的关键.

9.二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=3与一次函数y=bx+c在同一坐标系内的

x

大致图象是（）

【解析】

【分析】根据二次函数图像开口方向，与y轴的交点位置，判断出a>0,c<0,再根据二次函数对称轴

b

的位置可得——<0,结合。>0,可判断出6>0,然后利用排除法即可得到答案.

2a

【详解】•「二次函数图像的开口向上，

■-a>Q,

・••二次函数的对称轴位于y轴的左侧，

---<0,

2a

b>0,

,二次函数图像与y轴交于负半轴，

..c<0,

，反比例函数y=@的图像必在一、三象限，一次函数丁=6火+。的图像必经过一、三、四象限，故D答

X

案正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，反比例函数以及一次函数的性质，熟知以上知识是解题

关键.

10.如图，△ABC中，ZABC=45°,BC=4,tanZACB=3,A。_L8c于。，若将△ADC绕点。逆时针方

向旋转得到当点E恰好落在AC上，连接AF则A尸的长为()

C.屈D.2

【答案】A

【解析】

【分析】过点。作。于点从由锐角三角函数的定义求出CD=1,AO=3,由旋转的性质得出。C

DE,DA=DF=3,/CDE=/ADF,证出NOCE=ND4凡设AH=〃，DH=3a,由勾股定理得出层+

(3〃)2=32,求出〃可得出答案.

【详解】解：过点。作。尸于点H,

VZABC=45°,ADLBC,

J.AD^BD,

AD

・tanNACB=-----=3,

CD

设CD=x,

.*.AD=3x,

.•.BC=3x+x=4,

/.CD=1,AD=3,

・・,将△ADC绕点。逆时针方向旋转得到^FDE,

.DC=DE,DA=DF=3,/CDE=/ADF,

・•..DCESQAF,

・•・ZDCE=/DAF,

tanZ£)AH=3,

设AH=〃，DH=3a,

«2+(3〃)2=32,

.3V10

••Cl-------,

10

3710

••/\ri--------,

10

\-DA=DF,DH±AF,

.-.AF=2AH=^2,故A正确.

5

故选：A.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定，应用三角函数解直角三角形，勾股定理的应

用，正确作出辅助线是解题的关键.

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

11.方程N-2x=0的解为

【答案】xi=0,&=2

【解析】

【分析】把方程的左边分解因式得x(x-2)=0,得到x=0或尤-2=0,求出方程的解即可.

【详解】解：x2-2x=0,

x(尤-2)=0,

x=0或尤-2=0,

故答案为：xi=0,超=2.

【点睛】本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二

次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.

12.如图，在及AACfi中，ZC=9O°,AC=3,BC=4,贝UsinB的值是.

7飞

yI-----------,：；■

3

【答案】-

【解析】

【分析】首先利用勾股定理计算出AB,再根据正弦定义进行计算.

【详解】解：；NC=90°,AC=3,BC=4,

,,AB=\/32+42=5,

..AC3

..sincR=----=一,

AB5

3

故答案为：—.

【点睛】本题考查勾股定理以及锐角三角函数定义，关键是掌握正弦：锐角A的对边4与斜边C的比叫做

ZA的正弦.

13.一个不透明的布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中1个红球，2个白球，从布袋里摸出1个球，则

摸到的球是红球的概率是.

【答案】-

3

【解析】

【分析】直接根据概率公式求解即可.

【详解】解：♦..布袋装有3个只有颜色不同的球，1个红球，

从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率=▲.

3

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查概率公式.熟知随机事件A的概率尸（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的

结果数的商是解答此题的关键.

14.如图，反比例函数y=&（左>0,x>0）的图象经过菱形0A8。的顶点A和边的一点C,且

X

DC=-DB,若点。的坐标为（8,0）,则％的值为.

3

【答案】3扃

【解析】

【分析】作AE_Lx轴于E,(7/，无轴于尸，易证得△AOEs^cOF,得出？—=—=—=3,设。/=

DFCFCD

m,CF=n,则C(8+m,n),A(3m,3n),利用反比例函数系数左=孙得出(8+»t)•n=3m*3n,求得相

=1,即可利用勾股定理求得〃的值，从而得出A的坐标，进一步得出％=3序.

【详解】解：作AELx轴于E,CFLx轴于F,

,/四边形OABD是菱形，点D的坐标为(8,0),

：.OA〃BD,04=80=8,

ZAOE=ZCDF,

'：ZAEO=ZCFD=90°,

：.AAOEsACDF,

.OEAEOA

"DF-CF-CD'

DC=-DB,

3

OEAEOA

•・--------------------3，

DFCFCD

：.0E=3DF,AE=3CF,

设。F=机，CF=n,则C(8+nt,n),A(3m,3n),

k

•.•点A、C在反比例函数y=—(左>0,x>0)的图象上，

(8+m)•n=3m>3n,

.\m=1,

・・・A(3,3H),

OE=3,AE=3n,

在放ZkAOE中，OA2=O£2+A£2,

82=32+(3月)2,解得〃=----

3

AA(3,V55)，

:・k=3乂卮=3底,

【点睛】本题主要考查了反比例函数性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用,

作出正确的辅助线是解题的关键.

15.如图，在正方形ABC。中，AB=6A/2-M为对角线加＞上任意一点（不与8、。重合），连接CM,

过点M作交线段A3于点N.连接NC交BD于点G.若BG：MG=3：5,则NGPG的值为

【答案】15

【解析】

【分析】把△OMC绕点C逆时针旋转90°得到△瓦/C,连接G8,先证△MCGg/kHCG得MG=8G,由

BG：MG=3：5可设8G=3a,则MG=G8=5a,继而知BH=4q,MD=4a,由。M+MG+BG=12a=12

可求出。，最后通过△MGNs/\CG3可得出答案.

【详解】解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90。得到△BHC,连接GH,

■:丛DMC空ABHC,NBCD=90°,

:.MC=HC,DM=BH,ZCDM=ZCBH=45°,ZDCM=ZBCH,

：.ZMBH=90°,ZMCH=90°,

过"作ME_L8C,MFLAB,

AMEC二AMFN

•：\ME=MF

ACME+ZEMN=ZNMF+ZEMN=90°

ACME^^NMF(ASA)

,\MC=MN

♦；MC=MN,MC1MN,

・・・AMNC是等腰直角三角形，

:・/MNC=45°,

:・/NCH=45°,

：.AMCG^AHCG(SAS),

：.MG=HG,

VBG：MG=3：5,

设5G=3〃，则MG=GH=5m

在RtZXBGH中，BH=4a,则MD=4Q,

,/正方形ABCD的边长为60，

.•.50=12,

・・・DM+MG+BG=12a=12,

:・〃=1,

：.BG=3,MG=5,

•:NMGC=NNGB,/MNG=/GBC=45°,

:.丛MGNs丛CGB,

,GCMG

"GB~NGJ

：.CG，NG=BG，MG=15.

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、相似三角形的性质、正方形的性质，联系题目实际，结合全等

三角形、正方形的性质构造相似三角形进行求解是解题的关键.

三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8

分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16计算：4cos30°-tan245°+1^/3-l|+2sin60°.

【答案】473-2

【解析】

【分析】首先计算乘方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算

式的值即可.

【详解】解:4cos30°-tan245°+1^/3-l|+2sin60°

=4x--12+（A/3-D+2X—

22

=2>/3—1+\[?）—1+-\/3

=473-2.

【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.

2

17.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数，=网的图像与性

质，其探究过程如下：

（1）绘制函数图像，

列表：下表是x与y的几组对应值，其中机=

•・・-3-2-1•・・

X-2~2123

・・・2・・・

y124421m

3

描点：根据表中各组对应值（x,y）,在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点;

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图像，请你把图像补充完整;

(2)通过观察图像，下列关于该函数的性质表述正确的是:；(填写代号)

22

①函数值y随尤的增大而增大；②y=H关于y轴对称；③y=H关于原点对称;

2

(3)在上图中，若直线y=2交函数丁=兄的图像于A,B两点(A在2左边)，连接。4.过点B作

0A父X轴于C.则S四边形.ABC=-

2

【答案】(1)-，图见解析；

(2)②，理由见解析；

(3)4,过程见解析.

【解析】

【分析】(1)将x=3代入求解，根据表格所给点作图；

(2)观察图像即可得出函数的性质，选出答案即可；

(3)求出A,B的坐标，证明四边形。48c为平行四边形，再根据平行四边形面积=底乂高作答.

【小问1详解】

2

解：将x=3代入y=H

22

得，可“

M2

故m=—

3

2

故答案为：—.

图像补充完整如图1：

y

【小问2详解】

图1

2

解：由丁=H图像可知，当了<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随尤的增大而减小；故①错误;

2

由图像可知，函数丁=凡的图像关于y轴对称；故②正确，③错误;

故答案为：②

【小问3详解】

解：如图2所示，

B的纵坐标相同，

：.AB0C,

又：BC0A,

，四边形O42C为平行四边形，

/.AB=OC

2

,/当y=2时，即2=H，解得X=±1,

/.点A、8的坐标分别为(-1,2)、(1,2),

AB=1+1=2,

：.0C=AB=2.

=

,•S四边形OABCOC»yA=2x2=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查反比例函数的图像的性质以及平行四边形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，

是非常有效的方法.

18.如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高1.7米的小聪在地面M处时开始显示额头温度，此

时在额头8处测得A的仰角为45°,当他在地面N处时，此时在额头C处测得A的仰角为58°,如果测

温箱顶部A处距地面的高度为3.3米，求3、C两点的距离.（结果保留一位小数，sin58°心0.8,

cos58°-0.5,tan58°心1.6）

【答案】0.6米

【解析】

【分析】延长交于点E,构造直角△A2E和矩形现WC和矩形BCNM,通过解直角三角形分别求

出BE、CE的长度，再根据MN=BC=8E-CE即可得出答案.

【详解】解：如图，延长BC交A。于点E,

:BM=CN=1.7米，且8M_LDM,CNLDM,

J.BM//CN,

，四边形BCNM是平行四边形，

■:/CNM=/BMN=90°,

平行四边形BCNM是矩形，

同理，四边形CEDN是矩形，

:.ED=CN=L7米,

：.AE^AD-ED^33-1.7=1.6(米),

在RtZ\AEC中，ZAEC=90°,ZACE=5S°,

'：tanNACE=—,

CE

AE1.6

CE=---------------x——=1(米),

tanZACE1.6

在RtZiAEB中，ZAEB=90°,/A8E=45°,

tanZABE=——=1,

BE

:.BE=AE=1.6（米）,

：.BC=BE-CE^l6-1=0.6（米）,

答：B、C两点的距离约为0.6米.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，矩形的判定和性质，以及利用锐角三角函数求长度，题目重在计

算，是中考的常考题.

19.如图，在RtZ\ABC中，/AC8=90°,点。是边上一点，以8。为直径的与AC交于点E,连

接。E并延长交8C的延长线于点R且BF=BD.

(1)求证：AC为。。的切线；

(2)若CP=1,tan/EDB=2,求。。的半径.

【答案】（1）见解析（2）-

2

【解析】

【分析】（1）连接。E,利用等腰三角形两底角相等，可证明/。即=/2即，则。从而证明

AC即得结论；

EFCF

（2）连接BE,根据tanNEQB=2,NEDB=NF,可得CE=2,再利J用得——二——代

BFEF

入即可解决问题.

【小问1详解】

证明：如图，连接OE,

•；BF=BD,

：.ZF=NBDF,

OE=OD,

；・/OED=NBDF,

：./OED=/BFD,

：.OE/7BF,

,/ZACB=90°,

・・・ZAEO=90°,

・•・OE_LAC,

TOE为半径，

・・・AC为。。的切线;

【小问2详解】

解：如图，连接

9

：tmZEDB=2fNEDB=/F,CF=\,

：.CE=2,

EF=YJEC2+CF2=722+l2=亚，

：8。是直径，

：./BED=9。。,

：.ZBEF^90°,

又：/ECF=90°,ZF=ZF,

,△ECFSABEF,

.EFCF

"BF-EF）

.1

,,诉v

，BF=5,

...。。的半径为工3歹=9.

22

【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，锐角的正切值，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌

握切线的判定，灵活证明三角形的相似和三角函数是解题的关键.

20.某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量

（1）求出每月的销售量y（件）与销售单价无（元）之间的函数关系式；

（2）设每月获得的利润为W（元）.这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润

是多少元？

【答案】（1）y=-lOx+lOOO

（2）销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元

【解析】

【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价无（元）之间的函数关系式；

（2）根据利润=单件利润X销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值.

【小问1详解】

设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b(AWO),

40左+6=600

将(40,600),(80,200)代入得：＜

SQk+b=2QQ

k=-lQ

解得：〈

/?=1000

...y与X之间的函数关系式为y=-10x+1000；

【小问2详解】

由题意得：卬=(x-40)y=(x-40)(-lOx+1000)=-10x2+1400x-40000,

配方得：W=-10(x-70)2+9000,

a=-10<0,

...当x=70时，W有最大值为9000,

答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元.

【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式.

21.已知四边形ABC。中，E、F分别是A3、边上的点，DE与交于点G.

(1)①如图1,若四边形ABC。是正方形，且。ELC尸于G,则正=_______；

DE

②如图2,当四边形A8C。是矩形时，且。ELCV于G,AB=m,AD=n,则——二；

CF---

DEAD

(2)拓展研究：如图3,若四边形ABC。是平行四边形，且/B+/EGC=180°时，求证：——=——；

CFCD

(3)解决问题：如图4,若BA=2C=5,D4=OC=10,NBAD=90°,DEICF^G,请直接写出——

的值.

n

【答案】(1)①1;②一

m

(2)见解析(3)-

4

【解析】

【分析】(1)①由“ASA”可证AADE之△OCT,可得DE=CF,可求解；

A几

②通过证明AAEDS△。尸C,可得一=—=—；

CFCDm

DEAD

(2)通过证明反4。£64。00,可得——=——，可得结论；

CMDC

(3)设CN=x,4BAD义ABCD,推出乙BCD=NA=90°,证△BCMs/iOCM求出CM=工尤，在

2

放△CM3中，由勾股定理得出血/2+。以2=6。2,代入得出方程G—5)2+(9)2=52,求出CN=8,

证出“即坊八/忸?，即可得出答案.

【小问1详解】

(1)解：①:四边形ABC。是正方形，

：.AD=CDfZBAD=ZADC=90°9

,:DE_LCF,

：.ZDGF=90°=ZADC,

：.ZADE+ZEDC=90°=ZEDC+ZDCFf

：.NADE=NDCF,

：.AADE^ADCF(ASA),

：.DE=CF,

CF

故答案为：1；

②解：・・•四边形ABC。是矩形，

AZA=ZFDC=90°,AB=CD=m,

丁CFLDE,

：.ZDGF=90°,

：.ZADE+ZCFD=90°,ZADE-^-ZAED=90°,

：.ZCFD=ZAEDf

*/ZA=ZCDFf

AAED^ADFC,

.DEADn

"CF~CD~m'

ri

故答案为：一；

m

【小问2详解】

(2)证明：如图所示，ZB+ZEGC=180°,NEGC+NEGF=180。,

：・/B=/EGF,

在的延长线上取点使CM=CF则NCM/=NC尸

U：AB//CD,

：./A=/CDM,

,:AD〃BC,

.•.ZB+ZA=180°,

NB=/EGF,

：.ZEGF+ZA=180°,

・•・NAED=NCFM=NCMF,

：.AADE^ADCM,

.DE_AD

^~CM~~DC'

即场=当

CFDC

【小问3详解】

(3)解:过C作CNJ_A。于N,CM_LAB交AB延长线于M,连接5。，设CMx,

VZBAD=90o,BPABLAD,

：.NA=NM=ZCNA=90°,

・・・四边形AMCN是矩形，

：.AM=CN,AN=CM,

在△5A。和△BCD中，

AD=CD

<AB=BC,

BD=BD

・••△BADQdBCDCSSS),

：.ZBCD=ZA=90°,

：.ZABC+ZADC=180°,

ZABC+ZCBM=180°,

・・・ZMBC=NADC,

•:/CND=/M=90。,

:.△BCMs^DCN,

.CMBC

••—f

CNCD

.CM5

.・------=—,

%10

CM——x,

2

在放△CM3中，BM=AM-AB=x-5,由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，

(x-5)2+(^-x)2=52,

解得：A=0(舍去)，巧=8,

:・CN=8,

•・・ZA=ZFGD=90°,

：.ZAE£>+ZAFG=180°,

NAbG+NN/C=180。，

・・・ZAED=ZCFN,

•・•/A=NCNF=90。,

：.XAEDsAFC,

.DEA。105

"CF~CN~8—4.

【点睛】本题考查了正方形，矩形，平行四边形，三角形全等，三角形相似，解决问题的关键是熟练运用

正方形四边相等四角相等，矩形对边相等四角相等，平行四边形对边平行且相等对角相等，全等三角形的

性质，相似三角形的判定和性质，邻补角性质，四边形内角和性质.

9

22.如图，在平面直角坐标系尤0y中，抛物线丁=以2+4工+。（4彳0）与x轴交于A、8两点（A在8的左

图1图2

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1,点。，E是线段8C上的两点（E在。的右侧），DE=~,过点。作。P〃y轴，交直线8C

4

上方抛物线于点P,过点E作EFLx轴于点E连接见，FP,当△。b面积最大时，求点尸的坐标及

△QFP面积的最大值；

（3）如图2,在（2）取得面积最大的条件下，连接BP,将线段沿射线BC方向平移，平移后的线段

记为BP,G为y轴上的动点，是否存在以3尸为直角边的等腰Rt^GNP?若存在，请直接写出点G的坐

标，若不存在，请说明理由.

30

【答案】（1）y=—x~H—x+3

44

93

（2）点尸的坐标为（2,-）时，厂的面积最大值为一

22

（3）存在；点G的坐标（0,—）或（0,整）

88

【解析】

【分析】（1）将点A和点C分别代入求得a和c的值，得到抛物线的解析式；

（2）过点E作瓦/，直线尸。于点X,由尸D〃y轴得到然后由等角的余弦值相等得到

E”的长，再求得直线8c的解析式，然后设点尸的坐标，得到点。的坐标，进而得到的长，即可求得

A尸。尸的面积，进而利用二次函数的性质求得4PDF的面积最大值和点P的坐标；

(3)分情况讨论：当点B在y轴的右侧和左侧时，分别讨论点P为直角顶点和点8为直角顶点几种情

况，然后作出辅助线构造K型全等，然后设点8、点P和点G的坐标，根据全等三角形的性质列出方程求

得点G的坐标.

【小问1详解】

9

将A(-1,0),C(0,3)代入y=ox92+—x+c,得

a二——

4,

c=3c=3

3o

.,•抛物线的解析式为：丁=一二/+尤+3.

【小问2详解】

过点E作EH工PD于点H,

39

令y=0,得0=X2H—X+3,

解得：x\=-1,及=4,

：-B(4,0),

・・・05=4,OC=3,

:・BC=5,

•；EHLPD,30_LC0,

:・HE〃OB,

:./DEH=NCBO,

HEOB

**.cosZDEH=cosZCBO,即:■二=二^,

DEBC

HE_4

・,・1-=二，

4

解得：HE=1,

设直线3c的解析式为：y=kx+b(原0),则

3

・,・直线3C的解析式为：y=—：x+3,

设尸t,--t2+-t+3,Dt,——Z+3(0<r<3),则PD=—乙2+3%,

4A4A/I\/A

1133

・V^--PD-HE=--\--t2+3t\xl^--t2+-t,

••2.FPD22482

323

配方得：SFPD=--(t-2)+-f

82

4<o

3

；，=2时，SMPO有最大值为一，

2

93

，点P的坐标为(2,-)时,△产的面积最大值为一.

22

【小问3详解】

3

设8(x,----x+3)(x^4),G(0,y),

4

9

VP(2,B(4,0),线段BP沿射线BC方向平移,

2

,315、

••P(x-2,----xH-----),

42

①如图2,当点©在y轴右侧,NG由',1=90°时，B'iP\=B'iGi,

过点B\作轴于点Mi,过点尸'1作PiNJB'i跖于点Ni,则跖Gi=90°,

ZPiB\Ni+ZMiB'iGi=9O0,

：.ZP'iB\Ni+ZNiP\B\=90°,

：.ZMiB'iGt=ZNiP'iB'i,

(AAS),