2022年广东省深圳市龙岗区中考数学一模试题（解析版）

2022年广东省深圳市龙岗区中考数学一模试题

一.选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计30分）

1.下列四个几何体中，左视图为圆的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图的法则可得出答案.

【详解】解：左视图为从左往右看得到的视图，

A.球的左视图是圆，

B.圆柱的左视图是长方形，

C.圆锥的左视图是等腰三角形，

D.圆台的左视图是等腰梯形，

故符合题意的选项是A.

【点睛】错因分析较容易题.失分原因是不会判断常见几何体的三视图.

2.一元二次方程V—4=0的解是（）

A.-2B.2C.±72D.±2

【答案】D

【解析】

【分析】这个式子先移项，变成X2=4,从而把问题转化为求4的平方根.

【详解】移项得，x2=4

开方得，x=±2,

故选D.

【点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a>0）；ax2=b（a,b同号且

a#0）；（x+a）2=b（b>0）；a（x+b）2=c（a,c同号且a/））.法则：要把方程化为“左平方，右常数，先

把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解”.

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.

3.•△ABC中/C=90°，sinA=-,则tanA的值是（）

2,一

A.-B.—C.BD.正

2232

【答案】C

【解析】

【分析】由s%A=工，得出/A=30。，再等角30。的正切值得出结果.

2

【详解】解：：/C=90。，s%A=工，

2

ZA=30°,

：.tan30°=—.

3

故选：C.

［点睛】本题考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键.

4.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点。的直线分别交边AD、BC于E、尸两点,

则阴影部分的面积是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【详解】•••四边形ABC。是正方形,

ZEDB=ZOBF,DO=BO,

在AEDO和△F80中，

ZEDO=ZFBO

DO=BO

ZFOB=ZEOD,

△OEO@/\BFO(ASA),

，SA»EO=SABFO,

阴影面积=S^BOC=；x2x2=1,

故选：A.

5.某校前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元，设这两年用于绿化投资的年平均

增长率为X,则列方程得()

A.20(1+2%)=36B.20(1+x2)=36

C.20(1+x)2=36D.20(1+x)+20(1+x)2=36

【答案】C

【解析】

【分析】是增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，设这两年绿化投资的年平均增长

率为x,根据“前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元”，可得出方程.

【详解】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为尤，

依题意得20(1+x)2=36.

故选：C.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为。，变化后的

量为6,平均变化率为羽则经过两次变化后的数量关系为a(l±x)2=b.

6.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合

这一结果的实验最有可能的是()

实验次数10020030050080010002000

频率0.3650.3280.3300.3340.33603320.333

A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

B.抛一个质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是5

C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

D.抛一枚硬币，出现反面的概率

【答案】C

【解析】

【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行

判断.

【详解】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为工，不符

4

合题意；

B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为工，不符合题意；

C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是工，符合题意；

3

D、抛一枚硬币，出现反面的概率为:，不符合题意，

故选C.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并

且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似

值就是这个事件的概率.

7.如图，在平面直角坐标系中，已知A（1,O）,B（2,l）,D（3,0）,"BC与△DEF位似，原点O是位似

C.(6,4)D.(6,3)

【答案】D

【解析】

AU

【分析】根据位似图形的概念得到求出一，根据位似变换的性质计算，得到答案.

DE

【详解】解：(1,0),D(3,0),

OA—1,00=3,

”BC与位似，

J.AB//DE,

.AB_OA

,*DE-OD―3'

.•.△ABC与△。所的位似比为1：3,

•••点B的坐标为（2,1）,

点的坐标为（2x3,1x3）,

即E点的坐标为（6,3）,

故选：D.

【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出AABC与△DEP

的位似比是解题的关键.

8.下列命题中，假命题的是（）.

A.顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形；

B.各边对应成比例的两个多边形相似；

C.反比例函数的图像既是轴对轴图形，也是中心对称图形；

D.已知二次函数y=X2—1,当％<0时，y随x的增大而减小.

【答案】B

【解析】

【分析】真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立.

【详解】A选项，顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形，是真命题，不符合题

,意.

B选项，各边对应成比例的两个多边形相似；凸凹多边形各边成比例时，不是相似多边形，符合题意.

C选项，反比例函数的图像既是轴对轴图形，也是中心对称图形；是真命题，不符合题意.

D选项，已知二次函数y=%2—1,当％<0时，y随x的增大而减小；是真命题，不符合题意.

故选B

【点睛】此题考察的知识点：菱形的性质、多边形相似的概念、反比例函数图像的性质、二次函数图像的

性质；掌握真假命题的概念是解答此题的关键.

9.如图，A,B两点的坐标分别是（1,4）,（3,4）,抛物线的顶点在线段A3上运动，与x轴交于C,。两点

（C在。的左侧），点C的最小值为-1,则。点的横坐标的最大值是（）

A.1B.3C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据A,8点的坐标分析出当对称轴x=l时，C有最小值为-1,可得。点的横坐标为3,

CD=4,当对称轴x=3时，得。(1,0),根据CD=4,可得。(5,0).

【详解】解：由题意可知：

当对称轴％=1时，C有最小值为-1,

•.•对称轴=乎乎，可得0(3,0),CD=4,

当对称轴％=3时，得。(1,0),

'：CD=4,可得£)(5,0),

：.D点的横坐标的最大值为5,

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数顶点坐标以及与x轴的交点，关键是理解C有最小值时，对称轴％=1,求出

。坐标，以及O)长，当对称轴平移，C,。点也平移，此时。(1,0),利用CD的距离可求出。坐标.

10.如图，在菱形ABC。中，对角线AC与3。相交于点。，在BC的延长线上取一点E,连接OE交CD

于点F.已知AB=5,CE=1,则CP的长是()

35

C.D.

57

【答案］D

【解析】

【分析】作OG-CD交BC于点G,根据平行线分线段成比例定理证明BG=CG,根据菱形的性质可得

OB=OD,则G。是△BCD的中位线，可求出2G、CG和0G的长，再求出GE的长，由CP〃G。可得

△ECFs△EG。，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长.

【详解】解：如图，作。G〃CD交BC于点G,

B

:四边形ABC。是菱形，且48=5,

：.BC=CD=AB=5,OB=OD,

BGBO,

-----=------=1,

CGDO

1“5

：.BG=CG=-BC=—,

22

.•.3。是4BCD的中位线

15„

:.GO=^CD=3,GOHCD

'：CE=1,

57

GE=CG+CE=-+1=-

22

CF//GO,

ZECF=ZEGO

'：/E=/E

:.△ECFSAEGO,

.CFCE

••一,

GOGE

77

2

；.CF的长为

7

故选：D.

【点睛】此题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性

质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

二.填空题：（每小题3分，共计15分）

11.四条线段。、6、c、d成比例，其中a=lcm、》=3cm、c=3cm,则线段d=__cm.

【答案】9

【解析】

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.根据定义4=

cb,将a,6及c的值代入即可求得

【详解】解：b,c,d是成比例线段，

ad=cb,

a=1cm,b=3cm,c=3cm,

则d=9cm.

故答案为：9.

【点睛】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性

质.

12.已知关于X的一元二次方程炉-2x+左=0有两个相等的实数根，则上=-.

【答案】1

【解析】

【分析】因为方程有两个相等的根，所以根的判别式A=〃-4ac=0,故可求出发的值.

【详解】解：•••方程有两个相等的根，

A=b2—4ac=4—4左=0，

解得：k=l,

故答案为：L

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况求参数，属于容易题.

13.小明的身高为1.6m,某一时刻他在阳光下的影子长为2m,与他邻近的一棵树的影长为10m,则这棵

树的高为m.

【答案】8

【解析】

【分析】利用平行投影的特征以及相似三角形的性质可求出答案.

【详解】解：假设树高为由题意可知：

---=—,解得：〃=8,即树IWJ8m.

210

故答案为：8.

【点睛】本题考查平行投影及相似三角形的性质.关键是理解平行投影的特点：两个物体竖直放在地面

上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，利用相似的性质求解.

14.如图，A,B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上且NfiAO=30°,45=4次，将AAOB沿翻折

【答案】9石

【解析】

【分析】根据直角三角形的性质得到AO=ABcos3(F=4Gx走=6,根据折叠的性质得到

2

NO4B=30。，AD=AO=6,求得ND4O=60。，过。作OCUOA于C,根据直角三角形的性质即可得到结

论.

【详解】解：vZAOB=90°,ZBAO=30°,AB=，

.*.AO=ABcos30°=4^/3=6,

2

•・,将△AO8沿AB翻折得△AO8,

AZDAB=ZOAB=30°,AD=AO=6,

：.NOAO=60。，

过。作0C_LOA于C,

ZACD=90°,

：.AC=^AD=3,CD=^-AD=3A/3-

:.D(3,36)，

•.•反比例函数y=上(厚0)的图象恰好经过。点,

•'•^=3X3A/3=9\/3，

故答案为：9\/3.

【点睛】本题考查反比例函数点的坐标特征，翻折变换(折叠问题)，直角三角形的性质，正确地作出辅

助线是解题的关键.

15.如图，在正方形ABC。中，M是对角线8。上一点，连接AM,将AM绕点A逆时针旋转90。得AN,

连接KN交于E点，连接ON.则下列结论中：①NDLBD；②ZMAE=NDNE；③

MN2=2EDAD；④当A£)=MD时，则=2-①.其中正确结论的序号是.

)△MED

【答案】①②④

【解析】

【分析】由“SAS'可证可得/ABM=/AZ)N=45。，可证DMLBO,故①正确；通过证明点

A,点M,点D,点N四点共圆，可得NMAE=NDNE,故②正确；通过证明AAENS^AM),可得

M22AD,AE,故③错误；通过证明可得^^=2-拒，故④正确，即可求解.

、XMED

【详解】解：,・•四边形ABCO是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=90°,ZABD=ZADB=45°f

•・・将AM绕点A逆时针旋转90。得AN,

：.AM=AN,/MAN=900=/BAD,

：.ZBAM=ZDAN,

：.AABM^ADAN(SAS),

/ABM=/ADN=45。,

：.ZBDN=ZADB+ZADN=90°,

：.DN±BD,故①正确；

NMAN=NMDN=90°,

.•.点A,点M,点。，点N四点共圆，

ZMAE=ZDNE,故②正确；

'：AM=AN,ZMAN=90°,

：.MNi=AM2+AN2=2AN2,ZANM=45°,

:ZDAN=ZNAE,ZANM=ZADN=45°,

：.丛AENS^AND,

.ANAE

AD~AN'

：.A1^=AD-AE,

：.M^=2AD-AE,故③错误；

设AB=AD=a,则BD=0a,

\'AD=MD=a,

：.BM=（72-1）a=DN,

：.MI^=D1\P+MD2=2A1\P,

：.A^=（2-72）a2,

•.•点A,点M,点、D,点N四点共圆，

ZDAN=ZDMN,ZANM=ZADM,

：.AANESAMDE,

.•.2^=（黑产=2-0，故④正确，

,△MED

故答案为：①②④.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质,

相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

三.解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题7分，第19题8

分,第20题9分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16.计算：2一+4cos45°-强+（万—2022）°

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】直接利用负指数幕、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和零指数募分别计算，然后根据实数

的混合运算法则计算即可求解.

【详解】解：原式=L+4x交—20+1

22

=-+2A/2-2A/2

2

_3

-2,

【点睛】本题主要考查负指数幕、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和零指数幕，熟记相关运算法则

和特殊角的三角函数值是解题的关键.

17.为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动.小

明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A,B,C,D依次表示这四个

社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗

匀后放在桌面上.

（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是.

（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡

片，记录下卡片上的字母.请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的

概率.

【答案】（1）（2）见解析，

42

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式求解；

（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果

数，然后根据概率公式求解.

【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率=,；

（2）列表如下:

ABcD

A(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)

由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种，

所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为二=：.

122

【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选

出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率

18.如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B

处，从A,2两处分别测得小岛C在北偏东45。和北偏东15。.

(2)求8处船与小岛C的距离(结果保留根号).

【答案】(1)30°(2)20A/2

【解析】

【分析】(1)根据三角形的内角和定理即可得到结论；

(2)过点2作即与点。，根据已知可求得2D的长，再根据三角函数即可求得的长.

【小问1详解】

解：由题意可知NABC=90°+15°=105°,

ZC=180°-105°-45°=30°.

【小问2详解】

解：作BD_LAC于。点，贝!]/ADB=NBOC=90。,

MAAB。中，AB=40义一=20,ZBAC=45°,

60

BD=A5.sin/BAD=20.sin45。=20x也=IOA/2,

2

在RfACBO中，ZC=30°,

•*-BC=2BD=20A/2.

即B处船与小岛C的距离为200海里.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是把一般三角形的问题可以转化为解直

角三角形的问题，解决的方法就是作高线.

19.如图，等腰AABC中，AB=AC,ADLBC交BC于。点,E点是AB的中点，分别过。，E两点作

线段AC的垂线，垂足分别为G,F两点.

（1）求证：四边形DEPG为矩形；

（2）若AB=10,EF=4,求CG的长.

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

【分析】（1）欲证明四边形OEPG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；

（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE=DE=5；然后在直角AAEF中利用勾股定理得到AF

的长度；最后结合AB=AC=AF+FG+CG^10求解即可.

【小问1详解】

证明："AB^AC,AD±BC,

...点。是BC的中点.

；E点是AB中点，

是AABC的中位线.

：.DE//AC.

".'DGLAC,EF±AC,

：.EF//DG

...四边形DEFG是平行四边形.

又：NEFG=90°,

，四边形OEFG为矩形；

【小问2详解】

解：3c交BC于。点，

ZADB=ZADC=9Q°

.•.△AD2是直角三角形

点是AB的中点，AB=1Q,

.,.DE=AE=BC=5.

由（1）知，四边形DEFG为矩形，

：.GF=DE=5

在直角AAEF中，EF=4,AE=5,

由勾股定理得：

AF=YIAE2-EF2=A/52-42=3-

\'AB=AC=IO,FG=ED=5,

：.GC=AC-FG-AF=10-5-3=2.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，勾股定

理，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键.

20.某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经

市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系y=-2x+16。，

（1）该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？

（2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）30元；（2）当每千克樱桃的售价定为40元时，日销售利润最大，最大利润是1600元.

【解析】

【分析】(1)设每千克樱桃的售价为X元，从而可得204x440,再根据“日销售利润为1000元”建立方

程，解方程即可得；

(2)设当每千克樱桃的售价为x元时，日销售利润为川元，先求出川与尤之间的函数关系式，再利用二

次函数的性质求解即可得.

【详解】解：(1)设每千克樱桃的售价为龙元，则2OWXW4O,

由题意得：(%—20)(—2x+160)=1000,

解得石=30,%=70〉40(不符题意，舍去)，

答：每千克樱桃的售价应定为30元；

(2)设当每千克樱桃的售价为x(20<x<40)元时，日销售利润为攻元,

由题意得：w=(x-20)(-2x+160),

整理得：.=-2x2+200%-3200=-2(x-50)2+1800,

由二次函数性质可知，在20WxW40内，w随x的增大而增大，

则当％=40时，可取得最大值，最大值为—2x(40—50)2+1800=1600,

答：当每千克樱桃的售价定为40元时，日销售利润最大，最大利润是1600元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，依据题意，正确建立方程和函数关系式是解

题关键.

21.如图1,直线y=-2%+6的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点。是线段AB上一点，过。点分

别作。4、的垂线,垂足分别是C、E,矩形。CDE的面积为4,且

(1)求。点坐标;

(2)将矩形OCDE以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ,记平移时间为f秒.

①如图2,当矩形MNPQ的面积被直线AB平分时，求f的值；

12

②如图3,当矩形MNP。的边与反比例函数丁=一的图像有两个交点，记为7、K,若直线7X把矩形面

X

积分成1：7两部分，请直接写出/的值.

【答案】（1）£＞（1,4）；

（2）①/=▲；②t=3或23+^^.

22

【解析】

【分析】（1）假设。（。，―2。+6）,利用矩形的面积以及CD＞。£可求出。点坐标；

（2）①假设QW、PN和直线分别交于点T,S,找出M,N坐标，表示出MT,SN的长，利用梯形面

积等于矩形面积的一半可求出②对交点分情况，（i）交点在QP,PN上；（ii）交点在QM,PN上;

找出T,K的坐标，利用把矩形面积分成1：7的条件求解即可.

【小问1详解】

解：设D（a,—2。+6）,

即DE-a,CD——2a+6,

■:a（—2a+6）-4,

*,•2a1一6a+4=0，

解得：q=l,%=2,

■:CD＞DE,

ax=1,即D（l,4）.

【小问2详解】

解：①设QM、PN和直线A3分别交于点T,S,

设M&O),则N(f+l,o),

则MT=—2f+6，NS=-2(f+l)+6=—2,t+4,

[-21+4+(-2%+6)]

c(NS+MT)MN

3梯形MNST=-------------------------------=-x4

222

3

解得

②，=3或"丁.

（i）当交点如图所示时,

设尸（九4）,则T（3,4）,K\m—

..•由题意可知：SATPK="(〃?—3)[4-----|=-

2m)2

9

解得：叫=4,m=—(舍)，

24

・,・1=4—1=3.

•.•由题意可知：S梯形MNKT=77-1e1——,

2V+lt)2

解得：23+耐,=23-7577(舍)，

22

.23+7577

••t=---------------,

2

综上所述，♦=3或生上苴互.

2

【点睛】本题考查一次函数，反比例函数，矩形，平移知识点，重点是掌握平移的性质，能够正确表示出

平移后点的坐标利用面积关系列出关于f的方程.

22.如图1,已知，抛物线丁=以2+以+0经过4(—1,0)、8(3,0)、C(0,3)三点，点尸是抛物线上一

点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点P位于