2022年北京中考数学一模分类汇编：函数探究题（学生版）

2022年北京中考数学一模分类汇编

函数探究题

1.（2022•海淀区一模）数学学习小组的同学共同探究体积为330〃辽圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案.他们想

探究容器表面积与底面半径的关系.

具体研究过程如下，请补充完整：

（1）建立模型：设该容器的表面积为Sc%2,底面半径为xcm,高为ycm,则

330=rof2y,①S=2Ttx2+2nxy,②由①式得y="。，代入②式得S=2TIX2+里立，③可知，S是x的函数，自

2

一一71xx

变量X的取值范围是x>0.

（2）探究函数：根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：

x/cm・・・11.522.533.544.555.56・・・

S/cm1•••666454355303277266266274289310336.・・

在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象;

（3）解决问题：根据图表回答,

①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4c加的圆柱形容器表面积（填“大”或“小”）；

②若容器的表面积为300cm2,容器底面半径约为cm（精确至!J0.］）.

iS/fem2

700

600

500

400

300

200

100

0123456

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2.（2022•西城区一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水

与池中心的水平距离为巾7,距地面的高度为测量得到如表数值:

x/m00.511.522.533.37

ylm2.443.153.493.453.042.251.090

小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x,y）,并画出函数的图象；

（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为m,水达到最高点时与池中心的水平距离约为m（结

果保留小数点后两位）；

（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估

计出水口至少需要（填“升高”或“降低”）m（结果保留小数点后两位）.

Ay/m

4-------1----------1--------1--------1

Illi

（ill

iiii

3-------十------1--------1--------1

IIII

IIII

IIII

2-------人------1-----1-----1

IIII

IIII

IIII

X||||

IIII

IIII

01234力/m

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3.（2022•东城区一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度N3为4米.在距点/水平距离为d

米的地点，拱桥距离水面的高度为〃米.小红根据学习函数的经验，对d和力之间的关系进行了探究.

下面是小红的探究过程，请补充完整:

（1）经过测量，得出了d和力的几组对应值，如表.

d/米00.611.82.433.64

切米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和〃这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数；

（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：

①桥墩露出水面的高度/£为米；

②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船.为安全起见，公园要在水面

上的C,。两处设置警戒线，并且要求游船能从C,。两点之间安全通过，则。处距桥墩的距离3至

少为米.（精确到0.1米）

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4.（2022•朝阳区一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水

柱的形状可以看作是抛物线的一部分.安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为

4米的地点，水柱距离湖面高度为人米.

d（米）0.501.001.502.002.503.00

h（米）3.754.003.753.001.750

请解决以下问题:

(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接;

(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度;

(3)求人关于”的函数表达式;

(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安

全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米.工人想只通过调整

喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整.

r1—T—r1

Lj1___LJ

J.——二-I

~\T—r1

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5.（2022•丰台区一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，

水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分.若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d

米，与湖面的垂直高度为〃米.下面的表中记录了d与〃的五组数据:

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根据上述信息，解决以下问题:

（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示〃与d函数关系的图象;

（2）若水柱最高点距离湖面的高度为加米，则加=\

（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过.如

图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于

0.5米.已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不

计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）.

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6.（2022•通州区一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面.经测量，两侧墙和8C与路面垂直，隧

道内侧宽/5=4米.为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面N8上取点£,测量点E到墙面4D的距离和到隧道顶

面的距离EF.设/£=x米，EF=y^z.

通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表:

X（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0

y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00

（1）隧道顶面到路面N3的最大高度为米；

（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象.

图2

（3）今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）.根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道

顶面的距离应大于0.5米，结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：（填写“是”或“否”）.

图1

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7.（2022•大兴区一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的喷水枪喷出，水柱落于湖面的路径形

状是一条曲线.现有一个垂直于湖面的喷水枪，在距喷水枪水平距离为x米处，水柱距离湖面高度为y米.经测量

得到如下数据:

X（米）0123456.・・

y（米）2.502.883.002.872.501.881.01•••

请解决以下问题：

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中y与x各对对应值为坐标的点.

请根据描出的点，画出这条曲线；

（2）结合所画曲线回答：

①水柱的最高点距离湖面约米；

②水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为米；

（3）若一条游船宽3米，顶棚到湖面的高度2米，为了保证游客有良好的观光体验，游船需从喷泉水柱下通过,

如果不计其他因素，根据图象判断（填“能”或“不能”）避免游船被喷泉喷到.

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8.（2022•房山区一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，

最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米.设距左侧墙壁水

平距离为x米的地点，隧道高度为y米.

请解决以下问题：

（1））在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；

（2）请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；

（3）今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保

证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通

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9.（2022•门头沟区一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形

状是一条抛物线.现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为米.

d（米）0d\12.03di・・・

h（米）h\1.62.12.52.10・・・

（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；

（2）结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；

（3）求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？

（4）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正

下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同）.如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被

淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由.

1----1---1----1---1----1---1----1---1----1---1

11111111111

1___1__1__1__1__1__1__1__1__1__1

11111111111

11111111111

1----1---1----1---1----1---1----1---1----1---1

11111111111

1___1__1__1__1__1__1__1__1__1__1

11111111111

11111111111

1-----1111111111

11111111111

1___1__1__1__1__1__1__1__1__1__1

11111111111

11111111111

1-----1111111111

11111111111

1___1__1__1__1__1__1__1__1___1__1

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10.（2022•平谷区一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形

状是抛物线.现测量出如下数据，在距水枪水平距离为4米的地点，水柱距离湖面高度为〃米.

d（米）00.723