2023-2024学年北师大版高中下学期高一数学期末卷（全解全析）

2023-2024学年高一数学下学期期末试卷

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：(必修第二册)人教B版2019

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.复数z=R的实部和虚部分别是()

2+1

c1515.

A.1,1B.1,iC.---9D.——,—i

3333

【答案】A

l+3i(l+3i)(2-i)i3i

【解析】z=k='<=l+i,所以数的+实部和虚部分别是1,1,故选A.

2+1(2+i)(2-i)2+1

2.已知向量a=(2,2),b=(2,-4),2GR,若d-L(a+6),则2=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】由a~L(a+6)得a.(a+6)=a+G-=2-+2-+2A—8=0,解得a=。，故选B

3.如图所示，梯形AB'C'D是平面图形ABC。用斜二测画法得到的直观图，ArD'=2B'C'=2,A?=l,

则平面图形A3CD的面积为()

A.2B.2A/2C.3D.3^2

【答案】c

【解析】如图，作平面直角坐标系xOx,

使A与。重合，AD在x轴上，且|A&=2,A3在＞轴上，且|AB|=2,

过8作3C〃AD,且怛。=1,连接8,则直角梯形A3CD为原平面图形,

其面积为S=；x(l+2)x2=3,故选C.

4.已知向量。=(U)涉=(-2,1),贝!Ja在。方向上的投影数量为()

D.一叵

5

【答案】D

【解析】因为。=(Ll),b=(-2,1),

a-b1x(—2)+1x1>/10

所以cos(d/

,卜网Vl2+12X^(-2)2+1210

叵

因此。在6方向上的投影为

-5'

故选：D.

5.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:

弧田面积=；x(弦x矢+矢D.弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等

于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆弧为号，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面

积约为()(结果取整数，参考数据：石。1.73)

A.4平方米B.5平方米

C.8平方米D.9平方米

【答案】D

8兀

【解析】依题意，圆弧所对圆心角为瓦=女，

4-3

所以，“矢”等于4—4xcos]=4—2=2,“弦”等于2x（4xsin[]=4^,

所以弧田面积约为gx（4出X2+2,=4G+2B4X1.73+2=8.92W9平方米.

故选：D

则tana=()

1

C.3

3

所以cosa+雪卜33"：)

即sin[a+2)=3cos]；所以tan(a+：J=3,

71

（\tancr+tan—1

则tana+f=----------生=3,解得tan[==,故选：B

I4）Ltanatan712

4

7.已知，（尤）=2sin[s+j（o>0）,若方程lf（x）|=1在区间（0,2兀）上恰有3个实根，则。的取值范围是（）

15544

A.—<a><—B.—<a）<\C.l<a）<—D.\<a）<—

26633

【答案】B

【解析】由方程1/■（尤）1=2sinf®x+m]=1,可得sin[0尤+?]=士:，所以口尤+=加土£（左eZ）,

<6）<6J266

兀（7171]

当无£（0,2冗）时，+—e—,2啰兀+—,

6（66）

所以8+2的可能取值为暂，?，当，粤，?，粤，…，

o6666o6

因为原方程在区间（0,2兀）上恰有3个实根，所以坐<20兀+丁4孚，

666

解得即。的取值范围是住,1.

故选:B.

8.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部.在

《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A4C的所有顶点都在球

。的球面上，且AB=AC=1.若球。的表面积为4兀，则这个三棱柱的表面积是（）

A.2+20B.2A/2C.3+2&D.3+2A/3

【答案】C

【解析】设BC,与G的中点分别为"，M],连接取的中点。.

直三棱柱ABC-AB©中，BM//BM,BM=耳陷=gBC,

四边形BMMN是平行四边形，有MMJ/AA.,

因为三棱柱ABC-A瓦G的底面是直角三角形，AB=AC=1,所以AB/AC,\B}14G,

M,分别是Rt^ABC,RtA414G的外接圆圆心.

因为"_L平面ABC,所以M陷，平面ABC,

所以。为ABC-A4G的外接球的球心.

连接08,因为球。的表面积为4兀，所以球。的半径为1,即03=1,

AB=AC=\,则3C=应，BM=—,可得OM=变，MM、=^,

221

所以三棱柱ABC-ABIG的表面积S=gxlxlx2+（1+1+应）x&=3+20,

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设Z，Z?为复数，则下列结论中正确的是（）

A.|ziz2|=|ziz2|

B.上一z2KlzJ+同

1

C.若一为虚数，则4也为虚数

zi

D.若归+i|=l,则㈤的最大值为亚

【答案】ABC

【解析】设Z]=〃+Z?i,Z2=c+M(a,b,c,d£R),

则乎2=(a+历＞(c+*)=(ac-Z?d)+(〃+bc)i,

z,z2=^a+b^-[c-di)=^ac+bd^+{bc-ad)i,

所以|zH=|zH，故A正确,

设ZE对应的向量分别为OZiOZ2,则由向量三角不等式得OZ「OZ2W+感2,

所以|z「Z2|，zJ+㈤恒成立，所以B正确,

因为工=二」为虚数，4•[为实数，所以I为虚数，则马也为虚数，故C正确;

Z[Z]•Z]

设Z=x+yi,由|z1+i|=l,则在复平面内点Ey）表示以（0,-1）为圆心，1为半径的圆，则同皿=2,故D

错误.

故选：ABC

10.函数/"）=45由（。苫+夕“。＜。42,一方＜0＜^的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）

B./⑴的图象关于直线x=71对称

1271

C./(x)=4cos—X--------

23

%,10兀

D.若方程/⑺=2在（0,㈤上有且只有5个根，则MW

3

【答案】ACD

【解析】对于A,由〃0）=-2,得4sin°=-2,即sin0=-；,又三（p〈g

.・①=唉,故A正确;

O

对于C,又“X）的图象过点go],贝!J,国=0,即Sin片一力=0,

------=kit9即得①=3左H—,keZ,又0＜刃＜2,/.co=—

36229

4cos故C正确;

1兀

对于B,因为/(x)=4sin—X——而/(兀)=4sin

26

故直线兄=兀不是函数/（另的对称轴，故B错误;

对于D,由〃x）=2,得cos[!x-g]=：,

解得x=2兀+4E或可+4E,kwZ,

方程〃尤）=2在（0,m）上有5个根，从小到大依次为：寺,2私号,6无，等,

而第7个根为1。兀，所以等〈根W10兀，故D正确.

故选：ACD.

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A与6。中，尸在线段82上运动（包括端点），下列选项正确的有

A.APVB.C

B.PDLBC

C.直线PG与平面A8C2所成角的最大值是:

D.PC+PD的最小值为26

【答案】ACD

【解析】对于选项A,由正方体性质，易得

因为ABBCt=B,AB,BQu平面ABClDl,

所以BQ,平面A8C0|.

因为APu平面ABGQ,所以APLBC，故A正确;

对于选项B,当P与B重合，则此时PD与BC夹角为：，故B错误;

4

对于选项c,如图连接。C交2c于

因为CR_LDC,,BCcCDt=C,BC,CDlu平面A.BCD,,

所以r>G，平面4BCD,,即C/，平面4BCD,,

所以NC\PH为直线PC、与平面ABCA所成角，所以tan/C/H=0=走.

PHPH

所以当“尸最小时NGp"最大，即5,时，HP最小.

,D厂八八—BC,HD,2x\/2A/2

由BDDry]HP=BCCD],可rZ得HHP=------L=,=

BD,V22+22+22A/3

./rPj_r_CtH_V2_A

此时G西一五"，故4尸打的最大值为g.

忑

直线PC与平面ABC2所成角的最大值是T，故C正确；

对于选项D,如图，将平面与平面RBC沿翻折到同一个平面内

由题意，QB=2A/3,BD=2V2,DD、=2,BC=2,DXC=2后,

从而RC=DB,DD、=BC,故DDXCB为平行四边形.

TT

XZD1CB=ZD1DB=~,故DQCB为矩形.

从而当尸为8与2,交点时，PC+尸口最小，此时尸。+尸£>=8=3〃=2点，故D正确.

故选:ACD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知命题P：若d尸为第一象限角，且贝！|sina>sin^.能说明命题P为假命题的一组a1的值

可以是a=,P=.

兀

【答案】丫13（答案不唯一）17T（答案不唯一）

00

【解析】因为以〃为第一象限角，且e>力，

取137r，/=7=T,则且在第一象限，

66

>rit..137T.C.兀1

此时sma=sm=smp=sm—=一,

662

故命题〃为假命题，满足题意，

所以d夕的值可以是。=号，尸=占，

13.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为3km,高为3Vl?km,5是母线SA上一点，且

AB=7km.现要建设一条从A到3的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，

后下坡，则公路上坡路段长为千米.

【解析】由题意，半径为3km,山高为3厉km,则母线SA=,3?+（3岳『=12,

底面圆周长2b=6兀，所以展开图的圆心角a=^67r|=]7T,

如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，AB=yl（12-7）2+122=13,

由点S向AB引垂线，垂足为点H,此时SH为点S和线段上的点连线的最小值，

即点H为公路的最高点，的段即为下坡路段，

25

贝(ISM即25=13・8//,得利二行!™

25144

上坡路段长度为A"=A3-=13-云=-^km.

7km

SBA'

12tam

A

14.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD的边长为4,点P

在:四段圆"弧上运动，则AP.AB的取值范围为_____.

【答案】[-8,24]

【解析】如图，以点A为原点，分别以所在直线为羽y轴建立坐标系.

SAPAB=1AP\\AB\cos<AP,AB)=4\AP\-cos(AP,AB),

而IAPIcos〈AP,AB)表示AP在AB方向上的投影向量的数量，

由图不难发现，设过正方形的中心作与x轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点,

则当点尸与点片重合时，投影向量的数量最大，当点P与点g重合时，投影向量的数量最小.

易得片(6,2),吕(-2,2),则|AP|.cos〈AP,A8〉的最大值为6,最小值为-2,

故一84APABW24.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步果。

15.(本小题满分13分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别是“力,G且向量根=(a,b\n=(-bcosA,sinB)

满足，〃//".

⑴求4

(2)若4=如乃=3,求BC边上的高/z.

【解】(1)因为"2〃"，所以asinB+后6cosA=0,

由正弦定理得sinAsinB+A/3sinBcosA=0,

因为Bw(O,兀),所以sinBwO,所以tanA=-6，

又4«0,兀)，解得A专；

(2)因为。=屈,6=3,4=m，所以〃=62+°2—26CCOSA,

即(V13)2=32+C2-2X3CX^-1^

化简得。2+3。一4=0,解得c=l或c=T(舍去)，

由"C的面积S=?csinA,又S『,

故J_x3xlx立=久加7,解得人捷打

22226

16.(本小题满分15分)已知向量相=(gsins,cos8),n=(coscox,-coscox)(0＞0,xeR),

1TT

/(元)=m-n--,且y=f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为|.

⑴求函数V=fM的解析式，并求/(x)在区间[0,会上的值域；

(2)若。＞0,且函数y=/(x)在区间(a,2a)上单调，求”的取值范围.

【解】(1)由向量机=(石$111G％,以光口力),〃=9050工,-＜：055：),

贝!)f(x)=y[3sincoxcoscox-cos2cox--=sin2cox--cos2cox-1=sin(26yx-^)-l,

2226

由函数/(%)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为冷，得人九)的周期丁=兀，则①=半=1，

于是/(x)=sin(2x—刍一1,当X£[0，F时，2%[—]，¥]，

62666

当2元一9=一9,即x=0时，当"一三二三，即x=W时，"x)M=。，

662623

所以/(x)=sin(2x-^)-1,在区间［0,夕上的值域为［-|,0］.

(2)由(1)知/V)=sin(2x-1)-l,

O

*7T.-7L,7T,,一AF/口7TAjL7L&7T,一

-----Fku<2%<Fkll,左£Z,-----1----<%K1-----，左£Z,

2626232

即函数了⑺的单调区间为［-B+"，W+”］，％eZ,而函数y=/(x)在区间(。,2口)上单调，

6232

、兀航

aN-----1----

因此(a,2a)uW+"A+W］«eZ,即62，建Z,

6232c/7iE

2a<--\---

I32

frjjZF4兀"兀//兀"兀7f_7口&4九"兀，Rkit口TCkjt„1)

6264626464

24717t5冗

^--<k<~,则％=0或%=1,当左=0时，ae(0,-］；当％=1时，—］,

336312

所以实数。的取值范围(0,勺邑寺•

6312

17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CD是边长为2的菱形，DCP是等边三角

7T

形，NDCB=/PCB=1点M,N分别为和AB的中点.

P

(1)求证：MN〃平面PBC;

(2)求证：平面尸3cl平面ABCD;

【解】(1)取PC中点E,连接ME,BE,由M为。尸的中点，N为42的中点,

所以ME//DC=gDC,

又BNI/CD,BN=<CD,

则ME〃BN,ME=BN,因此四边形3项W为平行四边形,

于是MN//BE,

而AfVu平面P3C,BEu平面PBC,

所以MN〃平面P3C；

（2）过尸作PQLBC于点。，连接DQ,

TT一

由ZDCB=ZPCB=—,CD=PC,QC=QC,得.QCDg△QCP,

4

TT

贝（］NDQC=NPQC=5，BpDQ±BC,

因为底面ABC。是边长为2的菱形，0cp是等边三角形,

所以CD=PD=2,

从而PQ=OQ=&,PQ2+OQ2=4=22=C£>2=尸。2,

所以尸。，。。，

又因为。Qc8C=。，OQu平面ABC。，3Cu平面ABC。，

则尸Q1平面A3CD,

又因为PQu平面P3C,

所以平面PBC1平面ABCD.

18.（本小题满分17分）位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新

高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上

均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先

从地面上楼梯至乘降点P,在乘降点尸处进入座舱后开始观光，再次回到乘降点尸时观光结束.本题中座舱

都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.

（1）甲乙两名游客分别坐在两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧A8的弧长/（单位：米）;

⑵设游客从乘降点尸处进舱，开始转动f分钟后距离地面的高度为H米，求在转动一周的过程中，H关于

时间f的函数解析式；

(3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使(1)

中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.

【解】(1)依题意，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，则两个相邻座舱所对的圆心角为2萧7r=点7T，

由甲、乙之间间隔4个座舱，得劣弧A2所对的圆心角为台'5=三，弧长/=弓*35=个，

所以劣弧A8的弧长为等35兀米.

(2)以摩天轮转轮中心。为坐标原点，分别以过。的水平线和竖直线为苍了轴，建立平面直角坐标系，如

图,

不妨设开始转动t分钟后距离地面的高度H(。=Asin(诩+。)+6,(A＞0,。＞0力＞0),

依题意，H⑺max=80,H⑺*=80-70=10,

贝=〃⑺max⑺min=35b="⑺111ax+"⑺min_45

由转一周需要18分钟，得周期T=18=臼27r，解得。=i《r，

①9

则/⑺=35sin(*+0)+45,3>0),由“(0)=10,得35sin°+45=10,解得。=-、+2E,ZeZ,

jr

所以H⑺=-35cosgf+45,0W18.

(3)由在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，得"“)262.5je(O,18),

-TTjr19jrjr47r

即-35cos*+45Z62.5,贝!Jcos^fW-],即?4巳*望，解得6＜区12,

则12-6=6分钟，于是有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果，

jr——7t

而劣弧所对的圆心角为:，则甲乙相隔的时间务，有3_，°，解得，。=3分钟，

3—二—

2兀18

因此当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果,

所以甲乙都有最佳视觉效果的时间为6-3=3分钟.

19.(本小题满分17分)对于数集*={-1,占,孙…,王},其中。<王<尤2<<%,心1.定义向量集

y={a|a=(s,/),seXjeX}.若对于任意q