2023-2024学年北京市九年级数学上学期中分类汇编：几何综合（原卷版）

2023-2024学年北京市九年级上期中数学分类一一几何综合

1.(2023秋•清华附中期中)将线段绕点N逆时针旋转60°得到线段NC,继续旋转a(0°<a<120°)

得到线段4D,连接CD.

(1)连接3D,如图1,若a=80。，则/8OC的度数为；(直接写出结果)

(2)如图2,以为斜边作直角三角形48E,使得连接CE,DE.若/CED=90°,

求a的值.

图2

2.(2023秋•北京四中期中)在Rt^NBC中，ZC=90°,AC=BC,点、D为AB_L一点、.过点。作。£J_

/C于点E,过点。作。尸，3C于点凡G为直线3c上一点，连接GE,M为线段GE的中点.连接

MD,MF,将线段V。绕点M旋转，使点。恰好落在边上，记为。.

(1)①在图1中将图形补充完整;

②求N&WZ7的度数.

(2)如图2所示，DE=J§DF，当点G,M,D'在一条直线上时，请直接写出/GFW的度数.

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3.（2023秋•北京二中期中）已知在△4BC中，AB=AC,ZBAC=a.作点3关于直线/C的对称点D,

连接CD.在线段CD上取一点E,连接瓦4,将线段E/绕点£顺时针旋转a度得到线段跖，连接AF

交NC于点

（1）请你依据题意，补全图形；

（2）求/4CE的度数；（用含有a的代数式表示）

4.（2023秋•汇文中学期中）如图，中，AB=AC,ZBAC<60°,将线段48绕点/逆时针旋转60°

得到点D,点E与点。关于直线3c对称，连接CD,CE,DE.

（1）依题意补全图形；

（2）判断△CDE的形状，并证明；

（3）请问在直线CE上是否存在点尸，使得R4-PB=CD成立?若存在，请用文字描述出点尸的准确

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5.（2023秋•人大附中朝阳学校期中）在△NBC中，AB=AC,过点C作射线C3',使//C8'=ZACB

（点B'与点3在直线/C的异侧），点。是射线。3,上一个动点（不与点C重合），点E在线段3c

上，且/'£+//0=90°.

（1）如图1,当点E与点C重合时，在图中画出线段40.若=。，则CD的长为

（用含a的式子表示）；

（2）如图2,当点E与点。不重合时，连接。E.

①求证：ZBAC=2ZDAE；

②用等式表示线段BE,CD,之间的数量关系，并证明.

图1图2

6.（2023秋•三帆中学期中）已知在RtZ\/8C中，NACB=9Q°,AC=BC,CD-B于D,£为线段3c

上的一动点，连接即，将即绕点E逆时针旋转90°,得到线段跖，连接交直线CD于点G.

（1）当£与。重合时，如图1,求证：AG=FG；

（2）当E与C不重合时，如图2,则（1）中的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

（3）若NC=2,直接写出CG长的最大值.

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7.(2023秋•北师大附属实验中学期中)如图，在正方形/BCD中，将线段N3绕点N逆时针旋转a(90。

<a<180°)得到线段/E,作NR4E的角平分线交边CD于点尸，连接班并延长交射线/尸于点R

连接CE

(1)依题意补全图1,求N/FE1的大小；

(2)写出线段m与CF的数量关系，并证明；

(3)连接CE,点G是CE的中点，48=2,直接写出线段OG的最小值.

8.(2023秋•师大附中期中)在中，ZC=90°,Z5=a(0°<a<45°),P是线段5c上的动

点(不与点2,C重合)，将线段PC绕点尸顺时针旋转2a得到线段PD

(1)如图1,当a=30°,且点。在线段48上时，求证尸口=8尸;

(2)如图2,点。在RtA/BC内部，过点。作4D的垂线，与直线2C交于点0

①请根据题意，将图形补充完整；

②判断P。与尸3的数量关系，并证明.

图1

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9.（2023秋•陈经纶中学期中）如图，在△/8C中，ZA=a（0°<aW90°）,将8C边绕点C逆时针旋

转（180°-a）得到线段CD.

（1）判断与//CD的数量关系并证明；

（2）将/C边绕点。顺时针旋转a得到线段CE,连接DE与/C边交于点M（不与点/,C重合）.

①用等式表示线段DM,之间的数量关系，并证明；

②若N2=a,AC=b,直接写出的长.（用含a,b的式子表示）

10.（2023秋•十五中期中）如图，四边形/BCD是正方形，以点/为中心，将线段N2顺时针旋转ci（0°

<a<90°）,得到线段连接。E,BE.

（1）求/DEB的度数；

（2）过点3作于点尸，连接CF,依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系,

并证明.

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11.（2023秋•景山学校期中）在△48C中，AB=AC,/8/C=90°,点。为直线NC上一个动点（点。

不与点4,C重合），连接AD,将线段AD绕。点逆时针旋转90°得线段连接CE.

（1）如图1,若点。在线段NC上.

①依题意补全图1；

②用等式表示线段C8,CD,C£之间的数量关系，并证明；

（2）若点。在线段C4的延长线上，且设BC=m,BD=n,直接写出CE的长（用含"

的式子表示）.

图1备用图

12.（2023秋•铁路二中期中）已知/M4N=45°,点2为射线ZN上一定点，点C为射线上一动点（不

与点/重合），点。在线段8C的延长线上，且CO=CB,过点。作于点E.

（1）当点。运动到如图1的位置时，点E恰好与点。重合，此时NC与。E的数量关系是；

（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE；

（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段/C,

AE,之间的数量关系；若不能，请说明理由.

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13.(2023秋•北京八中期中)在学习旋转时，老师提出这样一个问题:

已知点P为其内部一点，在。/与。2上分别求作点N,使得部为等腰直角三角形，

其中NMPN=90°.

以下是同学们思考后的两种正确作法：

作法1：如图1,作PCJ_O8于C,以尸为旋转中心将线段尸。顺时针旋转90°到P。，作交

于连接尸“，在。。延长线确定一点N,使得CN=。"，连接PN,MN,则即为所求.

作法2：如图2,过点P作尸CL08于点C,以C为圆心，CP为半径作圆，交于点。，E,连接

PE,PD.作ZW_L02交。4于连接尸作PNLPM交OB于N,连接则△〃时即为所求.

(1)请选择其中的一个作法，证明它是正确的.

(2)从下列题目任选一题作答.

①如图3,若//。8=45°,在图1中，连接CD,交"N于点0.求证：MQ=NQ-,

②如图4,若乙4。5=45°,在图2中，过点C作CF_LCM,交.MN于点、Q.求证：MQ^NQ.

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14.（2023秋•德胜中学期中）如图，点£在等边三角形N3C的边的延长线上.过点。作于

点D,将线段DE绕点E顺时针旋转120°得到线段环.作点B关于点E的对称点G,连接CF,FG,

CG.

C

ABE

②证明：AC//EF；

（2）/CFG的度数是°,请说明理由.

15.（2023秋•首师大附中朝阳学校期中）问题背景：（1）如图1,△NCZ?和△（7所都是等腰直角三角形，

点E在上，连BF,求证：BFLAB-,

迁移运用：（2）如图2,在△N8C中，AB=AC,48/。=120°,点P在△/8C外，PA=2,尸5=6,

ZBPA=60°,求尸C的长；

拓展提升：（3）如图3,在等腰Rt4/BC中，AC=BC,ZACB=90°,点£、尸在△/BC外，ZECF

=135°,BE//AF,直接写出线段BE、AF.斯之间的关系.

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16.(2023秋•华夏女子中学期中)在△ZBC中，ZACB=90°,CA=CB,将线段C4绕点C顺时针旋转

到如图所示的位置，得到线段C。，连接4D,BD.CF平分NBCD交BD于点G,交的延长线于点

F,连接5足

(1)依题意补全图形；

(2)①求NDFC的度数；

②用等式表示线段FB,尸C之间的数量关系，并证明.

17.(2023秋•陈经纶中学望京分校期中)△4C8中，ZC=90°,以点/为中心，分别将线段/C逆

时针旋转60°得到线段AE,连接。E,延长。E交于点尸.

(I)如图I,若N8=30°,/CFE的度数为；

(2)如图2,当30°<ZB<60°时，

①依题意补全图2；

②猜想C尸与NC的数量关系，并加以证明.

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18.(2023秋•北师大亚太实验学校期中)如图，〃•为正方形/BCD内一点，点N在边上，且/BMN

=90°,MN=2MB.点E为ACV的中点，点尸为。E的中点，连接并延长到点尸，使得尸尸=尸河,

连接DF.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：DF=BM；

(3)连接用等式表示线段和的数量关系并证明.

19.(2023秋•西城区校级期中)如图，在等边△/8C中，D,E分别是边NC,8C上的点，且C£>=C£,

ZDBC<30°,点。与点尸关于AD对称，连接/尸，FE,FE交BD于G.

(1)连接。E,DF,贝1]£>£,。尸之间的数量关系是；

(2)若/DBC=cc,求/EEC的大小；(用a的式子表示)

(3)用等式表示线段8G,G尸和旗之间的数量关系，并证明.

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20.（2023秋•京源学校期中）如图1,在口/BCD中，ZELBC于。E恰为BC的中点，AE=2BE

（1）求证：AD=AE；

（2）如图2,点尸在BE上，作EF_LDP于点尸,连接/反求证：DF-EF=M&F；

（3）请你在备用图中画图探究：当尸为射线EC上任意一点（尸不与点E重合）时，作斯，。尸于点

F,连接/R线段DR跖与/尸之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.

21.（2023秋•北京三中期中）如图，在等边三角形中，点P为△48C内一点，连接/P,BP,CP,

将线段4P绕点/顺时针旋转60°得到/P,连接尸尸，BP'.

（1）用等式表示3P与C尸的数量关系，并证明；

（2）当N3PC=120°时，

①直接写出NP8P的度数为；

②若“为BC的中点，连接尸用等式表示尸W与/尸的数量关系，并证明.

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22.(2023秋•牛栏山中学实验学校期中)四边形/BCD是正方形，将线段CD绕点。逆时针旋转2a(0。

<a<45°),得到线段CE,连接DE,过点2作AFUDE交DE的延长线于R连接8E.

(1)依题意补全图1;

(2)直接写出/E8E的度数;

(3)连接/凡用等式表示线段Nb与DE的数量关系，并证明.

备用图

23.(2023秋•北京二中朝阳学校期中)如图，4D是△/8C的高，点2关于直线/C的对称点为E,连接

CE,9为线段CE上一点(不与点E重合)，AF=AB.

(1)比较N4FE1与/48C的大小；

(2)用等式表示线段8。，M的数量关系，并证明；

(3)连接2/，取AF的中点连接DM.判断ZW与/C的位置关系，并证明.

备用图

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24.(2023秋•北京九中期中)已知：如图①，在正方形48CZ)中，点尸是8C上一个动点，点E在CD

的延长线上，且BF=DE,连接AF,EF,EH平分/FEC,交AC于点、H,连接下区

(1)直接写出/£与/尸的数量关系与位置关系；

(2)求证：AH=AF；

(3)如图②，当点/在射线8C上运动时，过〃作于点尸，直接写出线段HP,EF与AB之

间的数量关系.

(备用图)

25.(2023秋・171中学期中)如图1,在中，/48C=90°,BA=BC,直线MN是过点/的直

线CZ)_LMN于点。，连接3D

(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC,AD,3。之间有什么数量关系.经过观察思考，小

明出一种思路：如图1,过点B作BELBD,交MN于点、E,进而得出：DC+/D=BD.

(2)探究证明

将直线九W绕点/顺时针旋转到图2的位置写出此时线段。C,AD,3。之间的数量关系，并证明

(3)拓展延伸

在直线九W绕点/旋转的过程中，当△43。面积取得最大值时，若CD长为1,请直接写3。的长.

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26.(2023秋•八十中学期中)在△N8C中，Z5=ZC=a(0°<a<45°),NO_L8C于点。，尸为线段

上的动点(不与点8、。重合)，连接4P并将线段/尸绕点/逆时针旋转180°-2a,得到线段/P,

连接PP,取尸P的中点0.

(1)依题意补全图形；

(2)用含a的式子表示入BCP,并说明理由；

(3)点M为线段DC上一点，当必)与AP满足的数量关系为时，对于任意的点尸，

总有/QMB=2a,证明你的结论.

27.(2023秋•和平街一中期中)已知△/£>£和都是等腰直角三角形，ZADE=ZBAC=90°,尸为

/£的中点，连接DP.

(1)如图1,点/,B,。在同一条直线上，直接写出DP与4E的位置关系；

(2)将图1中的△4DE绕点/逆时针旋转，当4D落在图2所示的位置时，点C,D,尸恰好在同一

条直线上.

①在图2中，按要求补全图形，并证明NA4E=//CP；

②连接AD,交/£于点尸.判断线段8尸与DF的数量关系，并证明.

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28.(2023秋•东直门中学期中)已知正方形48。和一动点£,连接CE,将线段CE绕点。顺时针旋转

90°得到线段CF,连接BE,DF.

(1)如图1,当点£在正方形48c〃内部时：

①依题意补全图1；

②求证：BE=DF；

(2)如图2,当点E在正方形42。外部时，连接NR取/尸中点连接ZE,DM,用等式表示线

29.(2023秋•门头沟大峪中学期中)如图，4D是△/2C的高，点8关于直线/C的对称点为E,连接CE,

产为线段CE上一点(不与点£重合)，AF=AB.

(1)用等式表示线段环的数量关系，并证明；

(2)连接3凡取3尸的中点连接。河，判断DW与/C的位置关系，并证明.

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30.(2023秋•朝阳外国语学校期中)在平面直角坐标系中，四边形/02C是矩形，点。(0,0),点/(6,

0),点8(0,8).以点/为中心，顺时针旋转矩形/O8C,得到矩形/。防，点。，B,C的对应点分

别为E,F,记旋转角为a(0°<a<90°).

(I)如图①，当a=30°时，求点D的坐标；

(II)如图②，当点E落在/C的延长线上时，求点。的坐标；

(III)当点。落在线段OC上时，求点£的坐标(直接写出结果即可).

图①图②

31.(2023秋•广渠门中学期中)己知四边形/BCD是正方形，将线段CD绕点。逆时针旋转a(0°<a<

90°),得到线段C£,连接3£、CE、DE.过点8作3£交线段的延长线于足

(1)如图，当时，求旋转角a的度数；

(2)当旋转角a的大小发生变化时，/3£尸的度数是否发生变化？如果变化，请用含a的代数式表示；

如果不变，请求出N3跖的度数；

(3)联结/凡求证：DE=42AF.

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32.（2023秋•五十五中学期中）在等腰直角△/BC中，AB=AC,ZA=90°,过点3作8c的垂线/.点

产为直线48上的一个动点（不与点力,8重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线/于点D.

（1）如图1,点P在线段上，依题意补全图形.

①求证：/BDP=/PCB；

②用等式表示线段8C,BD,8尸之间的数量关系，并证明.

（2）点尸在线段的延长线上，直接写出线段8C,BD,3P之间的数量关系.

备用图

33.（2023秋•三十五中期中）在△NBC中，BC=AC,ZACB=90°,点。是平面内一动点（不与点4

。重合），连接CD,将CD绕点。逆时针旋转90°至CE的位置.

图2

(1)如图1,若点。为△48C边的中点，AC=2,则值为

(2)如图2,若点。在△N3C的边AB上，取NE中点"，用等式表示线段CM,AD之间的数量关系,

并证明.

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34.(2023秋•十三分期中)已知正方形48。，将线段8/绕点8旋转a(0°<a<90°),得到线段8E,

连接E4,EC.

(1)如图1,当点£在正方形/BCD的内部时，若BE平分/ABC,AB=4,则/4EC=°

四边形N2CE的面积为；

(2)当点£在正方形/BCD的外部时，

①在图2中依题意补全图形，并求//EC的度数；

②作/E3C的平分线3尸交EC于点G,交£/的延长线于点R连接CF.用等式表示线段ZE,FB,

尸C之间的数量关系，并证明.

35.(2023秋•西城外国语期中)如图，已知△/2C为等腰直角三角形，NB4c=90°,AB=2.点D为△

/8C内一点，且有/3。/=90°,点尸为3C中点，连接DP

(1)连结/P并证明乙弘)尸=45°；

(2)写出线段NO,BD,尸〃之间的数量关系，并证明.

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36.(2023秋•文汇中学期中)如图，△NBC是等腰直角三角形，乙4cB=90°,AC=BC,。为NC延长

线上一点，连接AD,将线段AD绕点。逆时针旋转90°得到线段。E,过点E作斯，/C于点尸，连

接力£

(1)依题意补全图形；

(2)比较//与CD的大小，并证明；

(3)连接3E,G为3E的中点，连接CG,用等式表示线段CD,CG,之间的数量关系，并证明.

37.(2023秋・161中学期中)在RtZX/BC中，ZACB=90°,AC=],记a，点。为射线5c上

的动点，连接4D,将射线N绕点。顺时针旋转a角后得到射线过点/作4D的垂线，与射线

交于点P,点8关于点。的对称点为。，连接尸0.

(1)当△/AD为等边三角形时，

①依题意补全图1；

②PQ的长为；

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38.（2023秋•北京中学期中）如图，正方形N5CD中，点E是边8C上的一点，连接/£,将射线NE绕

点/逆时针旋转90°交CO的延长线于点R连接所，取跖中点G,连接DG.

（1）依题意补全图形；用等式表示N/DG与/CDG的数量关系，并证明；

（2）若用等式表示线段3c与BE的数量关系，并证明.

39.（2023秋・166中学期中）如图，在正方形48CD中，£是边8C上一动点（不与点8,C重合），连接

点C关于直线DE的对称点为C',连接/。并延长交直线。E于点P,尸是AC'中点，连接DF.

（1）求NED尸的度数；

（2）连接3P,请用等式表示/尸，BP,DP三条线段之间的数量关系，并证明；

（3）若正方形的边长为丁万，请直接写出△NC。的面积最大值.

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40.(2023秋•十四中期中)如图，在正方形/BCD中，尸是边3C上的一动点(不与点8,C重合)，点8

关于直线4P的对称点为£,连接连接。E并延长交射线4P于点尸，连接AF.

(1)若/34P=a,直接写出/ND尸的大小(用含a的式子表示)；

(2)求证：BF1DF；

(3)连接CF,用等式表示线段NF,BF,CF之间的数量关系，并证明.

41.(2023秋•回民中学期中)如图，在△45C中，ZACB=90°,AC=BC,P,。为射线48上两点(点

。在点尸的左侧)，且尸D=8C,连接CP以尸为中心，将线段PD逆时针旋转/(0<«<180)得

线段PE.

(1)如图1,当四边形NCPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出〃的值;

(2)当“=135°时，M为线段4£的中点，连接

①在图2中依题意补全图形；

②用等式表示线段C尸与尸M之间的数量关系，并证明.

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42.(2023秋•海淀区期中)如图，在△/8C中，AC=BC,ZACB=90°,点。在上(BDVAD),过

点D作DELBC于点E,连接将线段瓦4绕点E顺时针旋转90°,得到线段所，连接。足

(1)依题意补全图形；

(2)求证：FD=ABy

(3)。尸交于点G,用等式表示线段CE和尸G的数量关系，并证明.

43.(2023秋•昌平区期中)如图，在等边中，作/4CD=/NAD=45°,边CD、BD交于点、D,

连接AD.

(1)请直接写出NCD8的度数；

(2)求N4DC的度数；

(3)用等式表示线段N。、BD、CD三者之间的数量关系，并证明.

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44.（2023秋•昌平区期中）已知等边△4SC中的边长为4,点尸，M分别是边3C,/C上的一点，以点尸

为顶点，作NMW=60°,PN与直线AB交于点、N.

（1）依题意补全图1；

（2）求证：BN，CM=CP，BP；

（3）如图2,若点尸为8C中点，AM=2AN,求NN的长.

45.（2023秋•延庆区期中）小明遇到这样一个问题：如图1,在△4SC中，点。在边上，且

20°,ZDCB=80°,CD=2M，AD：DB=1：2,求/C的长.

图3

小明发现，过点/作NE〃8C,交CD的延长线于点£,通过构造△NEC,经过推理和计算能够使问题

得到解决（如图2）.

（1）请回答：/◎£的度数为；/C的长为；

（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3,在四边形/BCD中，AC与BD交于点、E,且ZBDC=45°,Z£>5C=67.5°,EC：

/E=l：2,DE=2,求48的长.

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46.（2023秋•丰台区期中）如图，在正方形N3CD中，点P是线段NC延长线上一动点，连接。尸，将线

段。尸绕点。逆时针旋转60°得到线段D。，连接尸。，BP,作直线3。交/C于点E.

（1）依题意补全图形；

(2)求证：NPB