2023-2024学年八年级数学期末模拟卷（全解全析）（苏州）

2023-2024学年八年级数学下学期期末模拟卷

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：八下全章+九年级（一元二次方程+相似）。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

1.若代数式二）有意义，则实数x的取值范围是（）

x-1

A.B.xwlC.x>0D.x>l

【答案】B

【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式中分母不能为0,

依据分母不能为0即可解答.

【详解】解：代数式二7有意义，

x-1

x—1w0,

解得：xwl,

故选：B.

2.不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸

到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（）

A.12个B.15个C.18个D.20个

【答案】B

【分析】本题主要考查了利用频率估计概率.设口袋中白球大约有尤个，根据概率公式列出算式，再进行计

算即可得出答案.

【详解】解：设口袋中白球大约有x个，

•..摸到白色球的频率稳定在0.6左右，

X

=0.6,

10+x

解得：x=15,

经检验，x=15是原方程的解，

.♦.估计口袋中白球大约有15个.

故选:B

A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.四条边相等的四边形是菱形

【答案】D

【分析】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识.由作图得M=AD=CB=CD,即可根据“四条边

相等的四边形是菱形”证明四边形A3CD是菱形，于是得到问题的答案.

【详解】解：由作图得=CB=CD=AD,

：.AB=AD=CB=CD,

V四条边相等的四边形是菱形，

四边形ABCD是菱形，

故选：D.

4.当1<”2时，代数式“I-")?-J(CL2)2的值是()

A.-1B.1C.2a—3D.3—2a

【答案】c

【分析】本题考查的是二次根式的化简，直接利用行=时，再化简绝对值即可.

【详解】解：..TvavZ,

=|1—«|—1«—2|

—a—1+a—2

=2a—3,

故选c

5.如图，在11ABe中，D、E、尸分别是边A3、AC、2C的中点，AHLBC于点H,若EF=8,则。”的

长为()

A.6B.6A/2C.8D.10

【答案】C

【分析】本题综合考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线.三角形的中位线平行于第三边且

等于第三边的一半.

利用三角形中位线定理知所=；A3；然后在直角三角形中根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半”，即可解答.

【详解】解：尸分别是AC、BC的中点，

，E尸是ABC的中位线，

/.跖=(三角形中位线定理)；

又：。是线段AB的中点，AHLBC,

：.DH=-AB,

2

，DH=EF=8.

故选：C.

6.已知关于％的方程a(x+m)2+b=0(a,b,根为常数，awO)的解是玉=2,x2=-l,那么方程

〃(％+m+2)2+Z?=0的解为()

A.X[=2,X]=-3B.%】=4,x?~1

C.&=0,无2=—]D.-0,X]——3

【答案】D

【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求

解，注意由两个方程的特点进行简便计算.

【详解】解：•关于X的方程。++Z?=0（a,b,〃，为常数，o^O）的解是占=2,x2=-l,

二方程a（x+〃?+2）2+6=0变形为：a［（x+2）+〃?丁+b=0,

即x+2=2或NJ,

解得：々=0或尤2=-3,

故选：D.

7.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，

取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作即将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边A5的

黄金分割点，即BEWAg.M.已知A3为2米，则线段BE的长为（）.

C.与米D.等米

【答案】B

【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割.设=则AE=（2-x）,根据求出x的

值，即可求解.

【详解】解析：VBE2=AEAB^

设班1=%,贝lJAE=（2-x）,

AB=2,

x2=2（2-x）,

即尤2+2尤一4=0,

解得：%=—1+6，x2——1—A/5（舍去）,

线段BE的长为（君-1）米.

故选：B.

8.如图，点E为正方形ABCD外一点，连接BE,BE=BA,连接EC并延长，与—WE的角平分线交于点F,

若AB=上叵,CE=7,则CP的长度为（）

2

A.3亚B.4ybC.5D.5.5

【答案】C

【分析】过点8作3GLCE,垂足为点G,连接AF,将△3CF绕点8逆时针旋转使得BC与AB重合，点

尸落在尸处，根据正方形ABCD得到==利用等腰三角形三线合一的性质求出

1717

CG=EG=-CE=~,由勾股定理即可求出BG=5,证明BAF当BEF（SAS）,推出尸',A,P三点共线，根

据旋转的性质及等腰三角形的性质易得/AEE=NBEE=45。，根据等腰三角形的性质，求得GF=BG,即

可求出CF的长度.

【详解】解：过点8作3GLCE,垂足为点G,连接AF,将△3CF绕点B逆时针旋转使得8C与A3重合,

点尸落在P处，

正方形ABCD得到AB=BC=BE=U也

2

是等腰三角形，

17

CG=EG=-CE=-,

22

BG=7BC2-CG2=—,

2

8尸平分NABE,

:.ZABF=NEBF,

AB=BE,BF=BF,

:BAF乌BEb(SAS),

:.ZBAF=/E=ZBCE,

ZBCE+ZBCF=180°,

由旋转的性质得：NBAF'=NBCF,

・•.NBAF，+NBCE=NBAF'+NBAF=180。,

・••尸,A尸三点共线,

由旋转的性质得：BF=BP,ZABF'=NCBF,

ZABC=ZABF-]-ZCBF=90o,

:.ZFBFf=9Qo,

.•.尸然是等腰直角三角形，

・•.NBFA=/BFE=45。,

ZAFE=NBFE=45。,

5Gb是等腰直角三角形，

17

GF=BG=—,

2

177

CF=--------=5.

22

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正方

形的性质，作出正确的辅助线，求得/诋=45。是解题的关键.

第n卷

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.计算J记的结果为.

【答案】20

【分析】本题考查了二次根式的乘法.根据二次根式的乘法运算法则计算即可求解.

【详解】解：而x*=《6xg=^=2啦,

故答案为：20.

10.已知根为方程了2_3%一6=0的一个根，贝！I代数式-“於+3加一6的值是.

【答案】-12

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解等知识点，先根据方程解的定义，化简关于根的方程，然后整

体代入求值，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键.

【详解】,・,根为方程12-3%-6=。的一个根，

/.m2—3m—6=0,

m2—3m=6,

—m2+3m—6

=-(m2-3m)-6

=-12,

故答案为：-12.

11.某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值）如图所示，期中成绩在80分

以上的学生有人.

某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数直方图

频数（人）80

80'“60

60-50------

40-

20-।10

\\80901（Jo成舞（分）

【答案】140

【分析】本题考查了频数分布直方图，根据频数分布直方图即可求解，能从统计图获取信息是解题的关键.

【详解】解：由频数分布直方图可得，期中成绩在80分以上的学生有80+60=140人，

故答案为：140.

12.已知反比例函数片/上1的图象上有两点（2,%）,3（幅％）,若%<%,则机的取值范围为.

【答案】0<〃?<2

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键.

反比例函数y=口的图象上有两点A（2,%）,3（〃?，%），且％<%，得到关于机的不等式，即可得到答案.

【详解】解：

二反比例函数y=以出的图象在一、三象限，且在每个象限y随X的增大而减小，

X

若点4（2,乂）,8（S%）在同一象限，

■%<%，

.,.0<m<2,

若点4（2,乂）,3（帆％）在不同象限，则不成立，

故实数m的取值范围是0<相<2.

故答案为：0<m<2.

13.凸透镜成像的原理如图所示，AD//HG//BC.若焦点写到物体的距离与焦点耳到凸透镜中心线的

距离之比为3:1,则物体被缩小到原来的.

【分析】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并用相似三角形的性质进行解答是

解题的关链；先证出四边形O5CG为矩形，得到CB=CG,再

根据VWSVEOK，求出穿，从而得到物体被缩小到原来的几分之几；

AH

【详解】解：由题意知AHLGaBDLGT/CGLGH,霎=:，

rLrx3

AH//BD//CG,/BOG=90°,

HG//BC,

1•四边形O5CG是矩形，

/.OB=CG,

AH//BD,

A町sBOF、,

.OBOF】

CG1

•,•___—一_，

AH3

二物体被缩小到原来的;,

故答案为：—:

14.元代的《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著.该著有一道“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣

人去买几株椽、每株椽钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：用6210文钱买一批椽.如果每株椽的运费

是3文,那么少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210

元能够买x珠椽，则列出分式方程为.

【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键.设6210元购

买椽的数量为x株，根据单价=总价+数量，求出一株椽的价钱为幽，再根据少拿一株椽后剩下的椽的

x

运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案.

【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为名

X

由题意得：3（x-l）=—,

X

故答案为：3（x-l）=?.

15.如图，AB=9,AD=6,点E、F分别在边BC、AD上，点G为线段E产上一动点，过点G作EF的

垂线分别交A3、8于点M、N.若线段所恰好平分矩形A5CZ）的面积，且止=1,则的长为.

［分析诜判断EF过矩形的对称中心，过点。作口〃即交于点/，过点C作田〃肱V交48于点,

Q

证明VOC/svCBH,从而求出HS=-,在RtBCH中求出CH,进而求MN即可.

3

【详解】如图，连接AC,交所于O,

・・•线段石尸恰好平分矩形ABCD的面积，

•e•O是矩形的对称中心，

：.BE=DF=l,过点D作。/〃EF交BC于点/,过点。作CH〃阴V交A3于点

•・,四边形ABCD是矩形，

DF//IE,

・・・四边形DIEF是平行四边形，

：.EI=DF=1,

；・CI=BC—BE—EI=4,

同理可得，MN=CH,

・・・EFLGH,

：.DILCH,

：.ZCDI+ZDCH=90°=ZDCH+ZHCB,

:.NCDI=/HCB,

ZICD=ZHBC=90°

：.NDCI^NCBH,

.DC_CB

•.•2_一_L，

4HB

：.HB=-,

故答案为：J^/97.

【点睛】本题考查的是矩形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应

用，作出合适的辅助线，确定相似三角形，再利用相似三角形的性质解决问题是关键.

16.Rt^ABC中，AB=AC=3四,=点〃为边上一动点，将线段绕点。按逆时针方

向旋转90。至OV,连接AN,CN,则△C4N周长的最小值为.

【答案】3应+后/后+3友

【分析】如图，作O"13C于H,NJ1OH交HO延长线于J.证明30HM丝_N/O（AAS），推出=OH=1,

推出点N的运动轨迹是线段，该线段所在的直线刀V与直线平行，在“/的下方，与OH的距离是1,作

点C关于该直线的对称点C',连接AC'交该直线于N',连接CN',此时,/CN'的周长最小，作AGLBC于

G,在Rt^ABC中，BC=dAC、AB2=6,则C7=CT=4,求出AG=CG==3,得至i]GT=l,则

GC'=5,在RtAGC中，4C'=W+C&==后，则△C4N的周长的最小值为

AC+AC=3A/2+734.

【详解】解：如图，作。于此，。归交”0延长线于3,

VAB^AC,Z£L4C=90°,

Z.^ABC=45°,

---OHIBC,

是等腰直角三角形，

OH=BH,

,->AB=AC=3^2,BO=^AB,

；•OB=拒,

/.OH=BH^—OB=1,

2

由旋转的性质可知=ON,ZMON=90°,

ZHOM+Z.HMO=90°=ZHOM+ZNOJ,

二ZNOJ=ZOMH,

又ZOHM=ZNJO=90°,

,OHM沿NJO(AAS),

JN=OH=\,

.•.点N的运动轨迹是线段，该线段所在的直线力V与直线OH平行，在077的下方，与的距离是1,

作点C关于该直线的对称点C',连接AC'交该直线于N',连接CN',此时ACN'的周长最小，作AGLBC

于G,

在RtAABC中，BC^^AC2+AB2=6.

C'T=CT=BC-BH-HT=4,

'：AC=AB,AG±BC,

：.AG=CG=-BC=3,

2

GT=l,

：.GC'=5,

在RtAGC中，AG=JAG?+C&=招+5」=后，

△C4N的周长的最小值为AC+AC=3@+扃,

故答案为：3^2+>/§4.

【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

三、解答题：本题共11小题，共82分。

【答案】-4+^3

【分析】本题考查了二次根式的混合运算.根据平方差公式、零次幕、绝对值的性质计算即可求解.

【详解】解：(73-2)(73+2)-(^-5)°-|2-73|

=3-4-l-(2-V3)

=-2-2+73

=—4+^/3•

x-2

18.解方程：土彳-2='3

x—1x—1

【答案】尤=-3

【分析】本题考查解分式方程.根据题意等式两边同时乘以(x-l),将分式方程变成整式方程，移项合并同

类项即可.

x-2

【详解】解：2=3\

x-1x-1

方程两边都乘(xT),得x—2—2(》-1)=3,

x—2—2x+2=3,

经检验，x=-3是原方程的根.

1。2-42甘ph□

19.先化简，再求值:----------2--------------------，其中a=3•

Q—2a—2。+1a—1

【答案】宗

【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.根据分式的乘法法则、

减法法则把原式化简，把a的值代入计算得到答案.

【详解】解：原式=上4(Q+2)(Q-2)2

a—2(。一1)2(j—1

。+22

Q—1CL—1

a

ci—1

3

当a=3时，原式=彳.

2

20.如图，已知：。是ABC的边3C上一点，点E在,ABC外部，^.ZBAE^ZCAD,ZACD=ZADC=ZADE,

DE交AB于点、F.

A

E

BDC

⑴求证：AB^AE；

⑵如果AD=AF,求证：EF2=BFAB.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握

相似三角形的判定方法是解题的关键.

(1)由NACZJu/ADC得到AC=AD,根据“角边角”推得AABC二△•£»,即可证得答案；

(2)先证明ABDaAEF,得到BD=£F,再证明△或甲,得到处=也，BD2=BF-AB，

BABD

由此即得答案.

【详解】(1)ZACD=ZADC,

AC=ADf

.•ZBAE=ZCAD,

:.ZBAC=ZEAD,

QZACD=ZADE,

ABC咨AED(ASA),

/.AB=AE；

(2)AD=AF,

.\ZADF=ZAFD,

ZDAF=180°-2ZADF,

ZACD=ZADC,

ZCAD=180°-2ZADC,

ZADC=ZADE,

.\ZCAD=ZDAFf

.ABAE=ACAD,

...ZDAF=Z.BAE,

AB=AE,

ABD^AEF(SAS),

:.BD=EF,ZBAD=ZEAF,

NB=NE,ZAFE=ZDFB,

.\ZBDF=ZBAE,

ZBDF=ZEAF=ZBAD,

NB=NB,

BDF。BAD,

.BDBF

,・初一访’

:.Blf=BFAB,

:.EF2=BFAB.

21.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类

(A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D-.体育类)的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进

行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项)将数据进行整理并绘制成两

(2)在扇形统计图中，“ZT部分所对应的圆心角的度数为一度；

(3)补全条形统计图.

(4)若全校有2000名学生，请估计喜欢8(科技类)的学生有多少名？

【答案】(1)200

⑵54

(3)详见解析

(4)喜欢B(科技类)的学生约有700人

【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键.

（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；

（2）用整体1减去A、C、。类所占的百分比，即可求出扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数

（3）先求出8所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；

（4）总人数乘以样本中8所占百分比即可得.

【详解】（1）40-20%=200（名），

故答案为：200；

（2）。所占百分比为益xl00%=15%,

扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°x15%=54°,

故答案为：54；

（3）8所占的百分比是1—15%—20%—30%=35%,

C的人数是：200x30%=60（名），

答：估计喜欢8（科技类）的学生大约有700名.

22.如图1,AE〃BF,AC平分—54。，且交所于点C,5。平分/ABC,且交AE于点。，连接CD

（2）如图2,若DM_LBF交BF于点M,且AC=6,OM=4,求菱形的边长.

【答案】(1)见解析

⑵5

【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握菱形的性质

是解题的关键.

(1)由平行线的性质及角平分线的定义证出〃>=3C,得出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定

定理可得出结论；

(2)由直角三角形的性质OD=4,由勾股定理可得出答案.

【详解】(1)证明：AC平分N54D,

:.ZBAC=ZDAC,

又AE〃BF,

:.ZDAC=ZACB=ZBAC,

AB=BC,

同理，3D平分/ABC,

:.ZABD=ZCBD,

又1AE/7BF,

ZCBD=ZADB=ZABD,

:.AB=AD,

AB=BC,AB=AD,

AD=BC,

AD\BC,

四边形A5CD是平行四边形，

AB=AD,

四边形A5CD是菱形；

(2)解：/菱形ABCD中，AC=6,OM=4,DM_LBF,

：.OD1OC,0C=3,OB=OD=OM=4,

CD=VOD2+OC2=A/32+42=5.

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：V=x+九与反比例函数、=工的图象交于43两点，与x轴

X

相交于点C,已知点AI的坐标分别为(3』)和.

⑴求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)请直接写出不等式x-244的解集；

X

k

⑶点尸为反比例函数y=%图象上的任意一点，若S“"=2&AOC，求点尸的坐标.

X

3

【答案】⑴y=x-2,j=-

X

(2)xW-l或0<x&3

MM或H,-2)

【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式,

一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题关键.

(1)利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式；

(2)求出点B的坐标，根据图象求解即可；

(3)根据图象求出S，再根据§pg=2SAOC，求出Spoc，即可求出.

【详解】(1)解：：直线48:〉=》+%过点4(3,1),3(—1,〃).

1=3+机,

m=-2,

・・・一次函数的解析式为丁=九-2,

•••反比例函数y=£的图象过点4(3,1),

左=3x1=3,

3

・••反比例函数的解析式为>=三；

x

(2)把3(-1,〃)代入y=x-2,得〃=T_2=_3,

.♦•点B的坐标为

k

观察图象，不等式尤-24勺的解集为xV—1或0<xV3；

尤

(3)把>=°代入丫=无一2得：x=2,

即点C的坐标为:C(2,0),

SAOC=2x1=1,

0,POC_3.AOC，

SP0C=-OC*yp=-x2?=2,

二|力|=3,

33

当点尸的纵坐标为2时，则2=三，解得无==,

x2

33

当点尸的纵坐标为-2时，贝U-2=工解得尤=-=,

x2

点尸的坐标为(1,2)或

24.如图是由小正方形组成的8x6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.正方形ABCD四个顶点都是格点,

E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.

⑴在图(1)中，先将线段班;绕点8顺时针旋转9。。，画对应线段8尸，再在C。上画点G,并连接BG,

使NG3E=45。；

(2)在图(2)中，M是BE与网格线的交点，先画点〃关于3。的对称点N,再在30上画点“，使得四边形

BNHM为菱形.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析.

【分析】（1）如图，取格点f，连接BE,则BF为所作图形，在图上取格点P,连接PC交ER于点Q,连

接8。并延长，交C。于G,则G点为所作图形；可证.ICF四应1E,从而证得NEBb=90,再证

PEQ^CFQ,从而证得Q9=QE,根据等腰三角形的性质可求得/GBE=45。；

（2）取格点尸，连接族、EF,交格线于N,再取格点p,Q,连接PQ交E尸于。，连接MO并延长交即

于H,连接HN,则点N、H为所作点，四边形为所作菱形；可证：3CF—.54E,而DF=DE,

证得区/关于对称，又BN=BM,可证得V、N关于8。对称；再证POE"-QOF,得到

黑=会=:，再根据MG〃M，有整=罢=,=:，根据对应线段成比例，可证MEO"BEF,得

OFFQ2MBGB42

到对应角相等，证得Q0〃族，再证从而证得初f=证得四边形氏VHM为平行四边形,

又根据=可证四边形是菱形.

【详解】（1）解：如图，线段B/和G点为所求;

理由：VBC=BA9CF=AE,ZBCF=ZBAE=90°,

：.,BCF^BAE(SAS)

：.ZCBF=ZABE,BF=BE

：./FBE=NCBF+NCBE=ZABE+NCBE=/CBA=9Q。,

J线段BE绕点、B顺时针旋转90°得BF,

■:PE//FC

：.ZPEQ=ZCFQ,ZEPQ=ZFCQ,

：.PE=FC,

.・・.P£Q空CFQ(ASA)

：,EQ=FQ,

：.NGBE=-ZEBF=45°；

2

(2)解：如图，点N和点”即为所求,

理由：•;BC=BA,ZBCF=/BAE=90°,CF=AE,

：.^BCF^BAE(SAS),

：.BF=BE,

,:DF=DE,

J5歹与班关于助对称，

BN=BM,

：.M,N关于5。对称，

,/PE//FC,

:・_POEs-QOF,

.EQPE_1

^~OF~^Q~29

・・,MG//AE,

.AG_2_1

'9MB~GB~4~2"

.EMEO1

•・EB~EF~3"

,：ZMEO=ZBEF.

：.MEO^BEF,

:・/EMO=/EBF,

J.OM//BF,

：.ZMHB=ZFBH,

由轴对称可得ZFBH=ZEBH,

:.ZBHM=ZMBD.

JBM=HM,

又：BM=BN,

：.MH=BN

二四边形B/VHM为平行四边形,

又「BN=BM,

，四边形3AEW是菱形.

【点睛】本题考查了作图-旋转变换，轴对称变换，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，

菱形的判定等知识，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质.

25.综合与实践

数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1,在正方形A3CD中，已知AEL3-，求证：AE=BF.

AFD

/甲小组同学的证明思路如下：

8图］C

由同角的余角相等可得NABF=ND4E.再由==ZD=90°,证得_AB尸空D4E（依据：

）,从而得A£=3尸.

乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知=同样可证得证明思路如下：

由AB=£H,=可证得RtABF^RtD4E（HL）,可得ZABF=NDAE,再根据角的等量代换即可证

得AELBF.

完成任务：

（1）填空：上述材料中的依据是（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）

【发现问题】

同学们通过交流后发现，己知AE_LBF可证得=已知AE=BF同样可证得,为了验证这

个结论是否具有一般性，又进行了如下探究.

【迁移探究】

（2）在正方形ABC。中，点E在C£＞上，点、M,N分别在上，连接腑交于点P.甲小组同学根

据MN_LAE画出图形如图2所示，乙小组同学根据MN=AE画出图形如图3所示.甲小组同学发现已知

MN，AE仍能证明MN=AE,乙小组同学发现己知MN=AE无法证明MN，AE一定成立.

AMDAMD

②在图3中，若/D4E=a,则N4pM的度数为多少？

【拓展应用】

(3)如图4,在正方形ABCD中，AB=3,点E在边上，点M在边AD上，S.AE=AM=1,F,N

分别在直线CD,BC上，若EF=MN,当直线E尸与直线MN所夹较小角的度数为30。时，请直接写出CF的

【答案】(1)ASA；(2)①见解析；®ZAPM=90°-2a；(3)2-月或2+g

【分析】(1)先证明=结合AB=D4,/I以F=NO=90。可知根据ASA即可证明

一ABF-DAE；

(2)①作MH,3c于点人先证明NHMV=ND4E,然后根据ASA即可证明1aHMV，D钻即可证明结

论成立；

②NLLAD于点3同理可证LNM-DAEg),从而NMNL=NDAE=a,然后利用直角三角形两锐角

互余和三角形外角的性质即可求解；

(3)①当N、F在BC、CD边上时，作尸G人AB于点G,作MH_LBC于点H,则四边形ABHM和四边形BCFG

都是矩形，同理可证aEGb丝ANHM(HL),求出/HMN=NEFG=30。，设EG=无，则EF=2x,利用勾股

定理求出x的值，进而可求出CP的长.当N、F在CB、CD的延长线上时，同理可求出CF的长

【详解】(1)证明：•••四边形ABCD是正方形，

/.AB=AD,ZBAD=90°,

：.ZBAP+ZDAE=90°.

•.*AE±BFf

：.ZBAP^ZABF=9Q0,

ZABF=ZDAE,

9：ZBAF=ZD=90°,

：.ABF^DAE(ASA).

故答案为：ASA；

(2)①作于点H,

・・•四边形ABC。是正方形，

ACD=AD,ZC=ZD=90°,

・•・四边形CDMH是矩形，

：.CD=MH=AD,ZAMH=ZDMH=90°,

：・ZAMP+/HMN=9U.

•；AE1MN,

：.ZAMP+ZDAE=90°,

：.ZHMN=ZDAE,

：.HM1吟DAE(ASA),

：.MN=AE；

②作NLLAD于点L,

图3

同理可证四边形CDLN是矩形,

：.CD=LN=AD.

・.•AD=LN,AE=MN,

：.ZMNL=ZDAE=a,

：.ZLMN=9Q0-a,

：.ZAPM=ZLMN-ZDAE=9Q0-2a.

(3)解：①当N、F在BC、CD边上时，如图，ZMPE=30。,作尸于点G,作MW,3c于点”,

则四边形ABHM和四边形BCFG都是矩形，

AMD

同理可证LEGFm,

：.ZHMN=ZEFG,

,:GF〃BC,

：・MHtGF,

:./FKH+/EFG=90。.

,:ZFKH=ZHMN+ZMPE,

・・・ZHMN+ZMPE+ZEFG=90°

,：ZMPE=3Q°,

：./HMN=/EFG=3U,

EG=-EF.

2

设EG=x,则跳=2x,

EG2+FG2=EF2,

X2+32=（2X）2,

x=A/3（负值舍去），

二CF=BG=AB-AE-EG=3-1-y/3=2-^3.

②当N、F在CB、CD的延长线上时，如图，

同理可得：NHMN=ZEFG=34。,EG=^）,

：.CF=BG=AB-AE+EG=3-l+y/3=2+y/3.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角

形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.

26.【基础巩固】（1）如图1,在ABC中，O、E、E分另U为A&AG3c上的点，ZADE=ZB,BF=CF,AF

交DE于点G,求证：DG=EG；

DF

【尝试应用】（2）如图2,在（1）的条件下，连接CD、CG.若CGLDE,CD=6,AE=3,求”的值;

BC

【拓展提高】（3）如图3,在平行四边形ABCD中，ZADC=45°,AC与交于点O,E为AO上一点，EG//BD

交AD于点G,EF_LEG交BC于点、F.^ZEGF=40°,FG平分NEFC,FG=10,求正的长.

【答案】（1）详见解析

(3)5+5出

【分析】⑴证明..AZXJsABEAGEs人星，根据相似三角形的性质得到坐=丝，进而证明结论;

BFFC

(2)根据线段垂直平分线的性质求出C£,根据相似三角形的性质计算，得到答案；

(3)延长CE交于点连接FN,过点M作3c于点H,根据直角三角形的性质求出,

求出/说/=30。，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可.

【详解】解：(1)•：ZADE=ZB,

：.DE//BC.

・・・，ADGs,ABF,AGEAFC.

.DGAGGEAG

BF~AF1FC-AF,

.DGGE

**BF-FC*

又•：BF=CF,

：.DG=EG.

(2)•:DG=EG,CGIDE,CD=6,

CE=CD=6.

XVAE=3,

：.AC=AE+EC=3+6=9.

DE//BC,

：.AADE^AABC.

.DE_AE_1

**BC-AC-9-3,

(3)如答图，延长CE交AB于点M,连接月欣，过点M作必于点H.由(1)知Affi=GE,

又丁£F_L£G,

FM=FG=10.

•：EFYEG,NEGb=40。，

・・・ZEFG=90°-ZEGF=50°.

,?FG平分/EFC,

：./EFC=2ZEFG=100°.

ZEFB=8O°.

易知ZMFE=NEFG=50。,

：.ZMFH=ZEFB-ZEFM=30°.

MH=-MF=5.

2

HF=6MH=56.

:平行四边形ABC。中，/4X7=45。,

^ABC=45°.

：.BH=HM=5.

：.BF=BH+HF=5+5^/3.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识,

遵循第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键.

27.概念引入

定义：平面直角坐标系中，若点“8y）满足：可+3=4,则点尸叫做“复兴点”.例如：图①中的「（1,3）是“复

兴点

⑴在点A（2,2）,C（-l,5）中，是“复兴点”的点为」

初步探究

（2）如图②，在平面直角坐标系中，画出所有“复兴点”的集合.

5-

4

深入探究

k

(3)若反比例函数y=；(%*0)的图像上存在4个“复兴点”，则k的取值范围是一.

(4)若一次函数＞=履-2左+3(左/0)的图像上存在“复兴点”，直接写出“复兴点”的个数及对应的左的取值范

围.

【答案】(1)4B；

(2)见解析

(3)~4＜左＜0或0＜%＜4

(4)当-]＜左＜-!时，复兴点的个数为0；当左=-：或左=-1时，复兴点的个数为1；当(人＜