成都市高三统考数学试卷

成都市高三统考数学试卷一、选择题

1.在下列各数中，有理数是（）

A.$\sqrt{3}$

B.$\pi$

C.$\sqrt{-1}$

D.$\frac{1}{2}$

2.已知$a=2$，$b=-3$，那么$|a-b|$的值为（）

A.5

B.-5

C.1

D.-1

3.下列函数中，是反比例函数的是（）

A.$y=x^2$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=2x$

D.$y=\frac{2}{x}+1$

4.下列各对数式中，正确的是（）

A.$\log_{2}8=\log_{2}4$

B.$\log_{3}27=\log_{3}9$

C.$\log_{4}16=\log_{4}8$

D.$\log_{5}25=\log_{5}125$

5.已知函数$f(x)=2x-1$，那么$f(-3)$的值为（）

A.5

B.-5

C.1

D.-1

6.下列各数中，无理数是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\sqrt{3}$

D.$\frac{1}{2}$

7.已知函数$y=2x+1$，当$x=3$时，$y$的值为（）

A.5

B.7

C.8

D.9

8.下列各对数式中，正确的是（）

A.$\log_{2}16=\log_{2}8$

B.$\log_{3}27=\log_{3}9$

C.$\log_{4}16=\log_{4}8$

D.$\log_{5}25=\log_{5}125$

9.已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，那么$f(2)$的值为（）

A.7

B.5

C.3

D.1

10.下列各数中，有理数是（）

A.$\sqrt{3}$

B.$\pi$

C.$\sqrt{-1}$

D.$\frac{1}{2}$

二、判断题

1.指数函数$y=a^x$（$a>0$，$a\neq1$）的图像总是通过点$(0,1)$。（）

2.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上时，$a>0$，开口向下时，$a<0$。（）

3.平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=0$时，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直。（）

4.在直角坐标系中，点$(x,y)$到原点的距离可以用公式$d=\sqrt{x^2+y^2}$计算。（）

5.在三角形ABC中，若$AB=AC$，则$BC$为三角形ABC的高。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，且顶点坐标为$(h,k)$，则$h=\_\_\_\_\_\_\_，k=\_\_\_\_\_\_\_。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n=\_\_\_\_\_\_\_。

3.若向量$\overrightarrow{a}=(2,3)$，向量$\overrightarrow{b}=(4,-1)$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积为\_\_\_\_\_\_\_。

4.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于$x$轴的对称点坐标为\_\_\_\_\_\_\_。

5.若函数$y=\log_{2}(x+1)$的定义域为$D$，则$D=\_\_\_\_\_\_\_。

四、简答题

1.简述二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像与系数$a$、$b$、$c$之间的关系。

2.给定一个向量$\overrightarrow{a}=(3,4)$，请构造一个向量$\overrightarrow{b}$，使得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直，并写出$\overrightarrow{b}$的坐标。

3.如何判断一个二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的根的情况（有两个不相等的实根、两个相等的实根或没有实根）？

4.请解释向量的数量积$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>$在几何意义上的含义。

5.若函数$y=\frac{1}{x}$的图像上任意一点$(x_1,y_1)$与点$(1,0)$的连线斜率为$k$，请写出$k$的表达式，并说明其几何意义。

五、计算题

1.计算下列极限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}$。

2.解下列不等式：$2x^2-5x+3>0$。

3.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。

4.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=30$，$S_8=72$，求该等差数列的首项$a_1$和公差$d$。

5.已知平面直角坐标系中，点$A(2,3)$和点$B(-1,4)$，求线段$AB$的中点坐标。

六、案例分析题

1.案例背景：某班级的学生成绩分布如下表所示：

|成绩区间|学生人数|

|----------|----------|

|0-59|5|

|60-69|10|

|70-79|15|

|80-89|20|

|90-100|10|

案例分析：

（1）请根据上述数据，绘制该班级学生成绩分布的直方图。

（2）分析该班级学生成绩分布的特点，并提出一些建议，以帮助提高整体成绩水平。

2.案例背景：某工厂生产的产品质量检测数据如下表所示：

|检测项|检测值范围|频数|

|--------------|------------|------|

|产品长度|10-15|50|

|产品直径|20-25|100|

|产品重量|100-120|150|

案例分析：

（1）请根据上述数据，绘制该工厂产品质量检测的频数分布直方图。

（2）分析该工厂产品质量检测的特点，并提出一些建议，以提高产品质量。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，每天生产的产品数量为$y$件，生产成本为$C(x)$元，其中$x$为生产天数。已知每天增加1天，生产成本增加200元，且第1天的生产成本为500元。求该工厂生产这批产品总成本$T(x)$的表达式，并计算生产第10天时的总成本。

2.应用题：一辆汽车从静止开始加速，其速度$v$随时间$t$的变化关系为$v=at^2+bt+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数。已知在$t=1$秒时，汽车的速度为$5$米/秒，在$t=2$秒时，汽车的速度为$20$米/秒。求常数$a$、$b$、$c$的值，并计算汽车在$t=3$秒时的速度。

3.应用题：一个长方形的长和宽分别为$x$和$y$，其面积为$S$。如果长方形的长增加$1$单位，宽减少$1$单位，此时长方形的面积变为$S-12$。求原长方形的长$x$和宽$y$。

4.应用题：一个正方形的边长为$a$，其周长为$P$，面积为$A$。如果正方形的边长增加$k$单位，使得新的正方形的周长比原来的周长增加$20$单位，求$k$的值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.D

2.A

3.B

4.C

5.A

6.A

7.B

8.B

9.D

10.D

二、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.×

三、填空题

1.$h=-\frac{b}{2a}$，$k=c-\frac{b^2}{4a}$

2.$a_n=a_1+(n-1)d$

3.$-4$

4.$(1,3)$

5.$\{x|x>-1\}$

四、简答题

1.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像与系数$a$、$b$、$c$之间的关系如下：

-当$a>0$时，图像开口向上，顶点为函数的最小值点；

-当$a<0$时，图像开口向下，顶点为函数的最大值点；

-顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$；

-当$b^2-4ac<0$时，函数没有实根；

-当$b^2-4ac=0$时，函数有一个重根；

-当$b^2-4ac>0$时，函数有两个不相等的实根。

2.向量$\overrightarrow{b}$的坐标为$(-4,3)$，因为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直，所以它们的点积为0，即$2*(-4)+3*(-1)=0$。

3.判断二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的根的情况如下：

-当$b^2-4ac<0$时，方程没有实根；

-当$b^2-4ac=0$时，方程有一个重根；

-当$b^2-4ac>0$时，方程有两个不相等的实根。

4.向量的数量积$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>$在几何意义上表示两个向量之间的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积，即表示两个向量的投影长度。

5.$k=\frac{y_1-0}{x_1-1}=\frac{y_1}{x_1-1}$，几何意义为通过点$(x_1,y_1)$与点$(1,0)$的直线斜率，表示了该点相对于点$(1,0)$的倾斜程度。

五、计算题

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}\cdot\frac{1-\cosx}{1-\cosx}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}\cdot\frac{1-\cosx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。

2.$a=10$，$b=10$，$c=5$，汽车在$t=3$秒时的速度为$v=10*3^2+10*3+5=100$米/秒。

3.原长方形的长$x=9$，宽$y=9$。

4.$k=4$。

题型知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基本概念和定理的理解